2018年高考数学（理）二轮复习练习专题限时集训1三角函数问题

专题限时集训(一)三角函数问题(对应学生用书第81页)(限时：40分钟)题型1三角函数的图象问题3,5,11题型2三角函数的性质问题1,4,6,7,8,12,13,14题型3三角恒等变换2,9,10一、选择题1．(2017·洛阳一模)下列函数中，是周期函数且最小正周期为π的是()A．y＝sinx＋cosx B．y＝sin2x－eq\r(3)cos2xC．y＝cos|x| D．y＝3sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)B[对于A，函数y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的最小正周期是2π，不符合题意；对于B，函数y＝sin2x－eq\r(3)cos2x＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－cos2x))－eq\f(\r(3),2)(1＋cos2x)＝eq\f(1－\r(3),2)－eq\f(1＋\r(3),2)cos2x的最小正周期是π，符合题意；对于C，y＝cos|x|＝cosx的最小正周期是2π，不符合题意；对于D，函数y＝3sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝eq\f(3,2)sinx的最小正周期是2π，不符合题意．故选B.]2．(2017·石家庄二模)若sin(π－α)＝eq\f(1,3)，且eq\f(π,2)≤α≤π，则sin2α的值为()【导学号：07804006】A．－eq\f(4\r(2),9) B．－eq\f(2\r(2),9)C．eq\f(2\r(2),9) D．eq\f(4\r(2),9)A[因为sin(π－α)＝sinα＝eq\f(1,3)，eq\f(π,2)≤α≤π，所以cosα＝－eq\f(2\r(2),3)，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)))＝－eq\f(4\r(2),9)，故选A.]3．(2017·广州毕业班模拟)若将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象向左平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是()A．eq\f(π,8) B．eq\f(π,4)C．eq\f(3π,8) D．eq\f(3π,4)A[将函数f(x)＝sin2x＋cos2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象向左平移φ个单位长度，得到函数g(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x＋φ＋\f(π,4)))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2φ＋\f(π,4)))的图象，∵所得图象关于y轴对称，∴2φ＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，∴φ＝eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)，∴φ的最小正值是φ＝eq\f(π,8).]4．(2017·广东惠州三调)函数y＝cos2x＋2sinx的最大值为()【导学号：07804007】A．eq\f(3,4) B．1C．eq\f(3,2) D．2C[y＝cos2x＋2sinx＝－2sin2x＋2sinx＋1.设t＝sinx(－1≤t≤1)，则原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,2)，∴当t＝eq\f(1,2)时，函数取得最大值eq\f(3,2).]5．(2017·武汉4月模拟)如图1­5所示，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象，则这段曲线的函数解析式可以为()图1­5A．y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(3π,4)))＋20，x∈[6,14]B．y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(5π,4)))＋20，x∈[6,14]C．y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(3π,4)))＋20，x∈[6,14]D．y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(5π,8)))＋20，x∈[6,14]A[由三角函数的图象可知，b＝eq\f(10＋30,2)＝20，A＝eq\f(30－10,2)＝10，eq\f(T,2)＝14－6＝8⇒T＝16＝eq\f(2π,ω)⇒ω＝eq\f(π,8)，则y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋φ))＋20，将(6,10)代入得10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6π,8)＋φ))＋20＝10⇒sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋φ))＝－1⇒φ＝eq\f(3π,4)＋2kπ(k∈Z)，故选A.]6．(2017·安徽百所重点中学二模联考)将函数f(x)＝sin2x－cos2x＋1的图象向左平移eq\f(π,8)个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则下列关于函数y＝g(x)的说法错误的是()A．函数y＝g(x)的最小正周期为πB．函数y＝g(x)是奇函数C．函数y＝g(x)的图象与直线x＝0，x＝eq\f(2π,3)，y＝0围成的图形的面积为eq\f(5\r(2),4)D．函数y＝g(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)D[f(x)＝sin2x－cos2x＋1＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＋1，将其图象向左平移eq\f(π,8)个单位长度得到y＝eq\r(2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,8)))－\f(π,4)))＋1＝eq\r(2)sin2x＋1的图象，再向下平移1个单位长度得到g(x)＝eq\r(2)sin2x的图象，易知A，B正确；对于C，所求图形面积S＝∫eq\f(π,2)0eq\r(2)sin2xdx－∫eq\f(2π,3)eq\f(π,2)eq\r(2)sin2xdx＝－eq\f(\r(2),2)cos2xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),0))＋eq\f(\r(2),2)cos2xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3),\f(π,2)))＝eq\f(5\r(2),4)，C正确；令－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，解得－eq\f(π,4)＋kπ≤x≤eq\f(π,4)＋kπ(k∈Z)，故g(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋kπ，\f(π,4)＋kπ))(k∈Z)，D错误．]7．(2017·沈阳二模)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))))对x∈R恒成立，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＞f(π)，则f(x)的单调递增区间是()【导学号：07804008】A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))(k∈Z)C[因为f(x)≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))))对x∈R恒成立，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))))＝1，所以φ＝kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)．因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＞f(π)，所以sin(π＋φ)＞sin(2π＋φ)，即sinφ＜0，所以φ＝－eq\f(5,6)π＋2kπ(k∈Z)，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(5,6)π))，所以由三角函数的单调性知2x－eq\f(5π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)，故选C.]8．(2017·山西太原一模)已知函数f(x)＝sinωx－eq\r(3)cosωx(ω＞0)，若方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(13,6)，\f(7,2))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，\f(25,6)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(25,6)，\f(11,2))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(11,2)，\f(37,6)))B[因为f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,3)))，方程2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,3)))＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,3)))＝－eq\f(1,2)在(0，π)上有且只有四个实数根．设t＝ωx－eq\f(π,3)，因为0＜x＜π，所以－eq\f(π,3)＜t＜ωπ－eq\f(π,3)，所以eq\f(19π,6)＜ωπ－eq\f(π,3)≤eq\f(23π,6)，解得eq\f(7,2)＜ω≤eq\f(25,6)，故选B.]二、填空题9．(2017·郑州第一次质量预测)在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点和点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点M的坐标为(1，eq\r(3))，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________.【导学号：07804009】－2－eq\r(3)[依题意得tanα＝eq\r(3)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝eq\f(\r(3)＋1,1－\r(3))＝－2－eq\r(3).]10．(2017·合肥一模)已知sin2α－2＝2cos2α，则sin2α＋sin2α＝________.1或eq\f(8,5)[由sin2α－2＝2cos2α得sin2α＝2＋2cos2α，即2sinαcosα＝4cos2α，即cosα＝0或tanα＝2.当cosα＝0时，sin2α＋sin2α＝1；当tanα＝2时，sin2α＋sin2α＝eq\f(sin2α＋2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α＋2tanα,tan2α＋1)＝eq\f(8,5).综上，sin2α＋sin2α＝1或eq\f(8,5).]11．(2016·兰州模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图1­6所示，△EFG(点G在图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________.图1­6－eq\r(3)[由函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)是奇函数可得φ＝eq\f(π,2)，则f(x)＝Acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,2)))＝－Asinωx(A＞0，ω＞0)．又由△EFG是边长为2的等边三角形可得A＝eq\r(3)，最小正周期T＝4＝eq\f(2π,ω)，ω＝eq\f(π,2)，则f(x)＝－eq\r(3)sineq\f(π,2)x，f(1)＝－eq\r(3).]12．(2017·河北石家庄一模)若函数f(x)＝eq\r(3)sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0＜θ＜π)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))对称，则函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,6)))上的最小值是________．－eq\r(3)[f(x)＝eq\r(3)sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋θ＋\f(π,6)))，则由题意，知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋θ＋\f(π,6)))＝0，又因为0＜θ＜π，所以eq\f(7π,6)＜π＋θ＋eq\f(π,6)＜eq\f(13π,6)，所以π＋θ＋eq\f(π,6)＝2π，所以θ＝eq\f(5π,6)，所以f(x)＝－2sin2x，又因为函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,6)))上是减函数，所以函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,6)))上的最小值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝－2sineq\f(π,3)＝－eq\r(3).]三、解答题13．(2017·三湘名校4月联考)已知函数f(x)＝sinωx－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0).【导学号：07804010】(1)若f(x)在[0，π]上的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1))，求ω的取值范围；(2)若f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调，且f(0)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝0，求ω的值．[解]f(x)＝sinωx－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,3))).(1)由x∈[0，π]⇒ωx－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，ωπ－\f(π,3)))，又f(x)在[0，π]上的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1))，即最小值为eq\f(－\r(3),2)，最大值为1，则由正弦函数的图象可知eq\f(π,2)≤ωπ－eq\f(π,3)≤eq\f(4π,3)，得eq\f(5,6)≤ω≤eq\f(5,3).∴ω的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,6)，\f(5,3))).(2)因为f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调，所以eq\f(T,2)≥eq\f(π,3)－0，则eq\f(π,ω)≥eq\f(π,3)，即ω≤3，又ω＞0，所以0＜ω≤3，由f(0)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝0且f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))是f(x)图象的对称中心，∴eq\f(ωπ,6)－eq\f(π,3)＝kπ，k∈Z⇒ω＝6k＋2，k∈Z，又0＜ω≤3，∴ω＝2.14．(2017·合肥二模)已知a＝(sinx，eq\r(3)cosx)，b＝(cosx，－cosx)，函数f(x)＝a·b＋eq\f(\r(3),2).(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；(2)若方