2024-2025学年江苏省南京师大附属实验学校高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省南京师大附属实验学校高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知A10n=10×9×8×7×6，则n的值为A.3 B.4 C.5 D.62.已知P(AB)=12，P(A)=35，则P(B|A)A.56 B.910 C.3103.已知随机变量X～N(2,σ2)，P(X≤1)=0.3，则P(X<3)=A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.84.如果记录了x，y的几组数据分别为(0,1)，(1,3)，(2,5)，(3,7)，那么y关于x的经验回归直线必过点(

)A.(2,2) B.(1.5,2) C.(1,2) D.(1.5,4)5.某省新高考采用“3+1+2”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史科目中选择1个科目；“2”为再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、生物4个科目中选择2个科目.已知小明同学必选化学，那么他可选择的方案共有(

)A.4种 B.6种 C.8种 D.12种6.已知一批产品的次品率为0.3，从中有放回地随机抽取50次，X表示抽到的次品的件数，则DX=(

)A.9.5 B.10.5 C.11.5 D.12.57.直线l的一个方向向量为(−2,1,−1)，平面α的一个法向量为n=(3,3,−3)，则(

)A.l//α B.l⊥α

C.l//α或l⊂α D.l与α的位置关系不能判断8.此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是12，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为(

)A.0.625 B.0.75 C.0.5 D.0二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(1,−1,m)，b=(−2,m−1,2)，则下列结论中正确的是(

)A.若|a|=2，则m=±2B.若a⊥b，则m=−1

C.不存在实数λ，使得a10.已知X的分布列为X012P11a则下列说法正确的有(

)A.P(X=2)=512 B.P(X>0)=23

C.11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1A.直线B1C与直线AD1所成的角为90°

B.直线B1C与平面ACD1所成角的余弦值为33

C.B1D⊥平面ACD1

D.12.已知(2x+ax)5的展开式中，x3的系数为80，则13.有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，其中次品的件数记为X，则次品件数X的期望为______．14.现有5双鞋子，从中任取4只鞋子，则取出的4只鞋子中，恰好有1双的取法总数为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知(x+2x)n的展开式中共有9项．

(1)求n的值；

(2)求展开式中x416.(本小题15分)

已知空间向量a=(2,4,−2)，b=(−1,0,2)，c=(x,2,−1)．

(1)若a//c，求|c|；

(2)若b17.(本小题15分)

3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数．

(1)全体站成一排，甲、乙不在两端；

(2)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；

(3)全体站成一排，男生彼此不相邻．18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB//DC，DA⊥AB，AB=AP=2，DA=DC=1，E为PC上一点，且PE=23PC．

(1)求证：AE⊥平面PBC；

(2)求证：PA//平面19.(本小题17分)

某生物公司将A型病毒疫苗用100只小白鼠进行科研和临床试验，得到统计数据如表：未感染病毒感染病毒总计未注射10xA注射40yB总计5050100现从所有试验的小白鼠中任取一只，取得注射疫苗小白鼠的概率为12．

(1)能否有99.9%的把握认为注射此型号疫苗有效？

(2)现从感染病毒的小白鼠中任取3只进行病理分析，记已注射疫苗的小白鼠只数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

附：P(0.100.0100.001k2.7066.63510.828

参考答案1.C

2.A

3.C

4.D

5.B

6.B

7.C

8.A

9.AC

10.ABD

11.ABC

12.1

13.1.2

14.120

15.解：(1)由题意得：n+1=9，解得：n=8．

(2)由(1)可知：(x+2x)8展开式的通项为

Tr+1=C8r⋅x8−r⋅(2x)r

=2r⋅C8r⋅x8−2r16.解：(1)空间向量a=(2,4,−2)，c=(x,2,−1)，b=(−1,0,2)，

∵a//c，

∴存在实数k，使得c=ka，

所以x=2k2=4k−1=−2k，则x=1，

则|c|=12+217.解：(1)先在中间五个位置选两个位置安排甲，乙有A52种，然后剩余5个人在剩余五个位置全排列，

所以有A52⋅A55=2400种．

(2)根据题意，相邻问题，利用捆绑法，共有A33⋅A4418.证明：(1)如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,2)，

所以PA=(0,0,−2)，PB=(2,0,−2)，PC=(1,1,−2)，

因为PE=23PC，所以PE=23(1,1,−2)=(23,23,−43)，

所以AE=PE−PA=(23,23,23)，

所以AE⋅PB=23×2+0−23×2=0，AE⋅PC=23×1+23×1−23×2=0，即AE⊥PB，AE⊥PC，

又因为PB∩PC=P，PB，PC⊂平面PBC19.解：(1)由条件知，x=40，y=10，A=50，B=50，

∴K2