2017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案第一章1.31.3.1圆幂定理

_1.3圆幂定理与圆内接四边形1．3.1圆幂定理[对应学生用书P25][读教材·填要点]1．相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．2．切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．3．圆幂定理已知⊙(O，r)，通过一定点P，作⊙O的任一条割线交圆于A，B两点，则PA·PB为定值，设定值为k，则：(1)当点P在圆外时，k＝PO2－r2，(2)当点P在圆内时，k＝r2－OP2，(3)当点P在⊙O上时，k＝0.[小问题·大思维]1．从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积有什么关系？提示：相等．2．从圆外一点引圆的切线，则这一点、两个切点及圆心四点是否共圆？若共圆，圆的直径是什么？提示：四点共圆．且圆心为圆外一点与原圆心连线的中点，直径为圆外一点到原圆心的距离．[对应学生用书P26]相交弦定理的应用[例1]如图，AB、CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD＝eq\f(2,3)a，∠OAP＝30°，求CP的长．[思路点拨]本题考查相交弦定理及垂径定理、勾股定理的综合应用．解决本题需要先在Rt△OAP中，求得AP的长，然后利用相交弦定理求解．[精解详析]∵P为AB的中点，∴由垂径定理得OP⊥AB.在Rt△OAP中，BP＝AP＝acos30°＝eq\f(\r(3),2)a.由相交弦定理，得BP·AP＝CP·DP，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a))2＝CP·eq\f(2,3)a，解之得CP＝eq\f(9,8)a.在实际应用中，若圆中有两条相交弦，要想到利用相交弦定理．特别地，如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．1．如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝eq\f(3,2)，则线段CD的长为________．解析：因为AF＝3，EF＝eq\f(3,2)，FB＝1，所以CF＝eq\f(AF·FB,EF)＝eq\f(3×1,\f(3,2))＝2，因为EC∥BD，所以△ACF∽△ADB，所以eq\f(AF,AB)＝eq\f(CF,BD)＝eq\f(AC,AD)＝eq\f(AD－CD,AD)＝eq\f(3,4)，所以BD＝eq\f(CF·AB,AF)＝eq\f(2×4,3)＝eq\f(8,3)，且AD＝4CD，又因为BD是圆的切线，所以BD2＝CD·AD＝4CD2，所以CD＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)切割线定理的应用[例2]自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆的割线交圆于B，C两点，且∠BMP＝100°，∠BPC＝40°.求∠MPB的大小．[思路点拨]本题考查切割线定理，由定理得出△BMP∽△PMC而后转化角相等进行求解．[精解详析]因为MA为圆O的切线，所以MA2＝MB·MC.又M为PA的中点，所以MP2＝MB·MC.因为∠BMP＝∠PMC，所以△BMP∽△PMC，于是∠MPB＝∠MCP.在△MCP中，由∠MPB＋∠MCP＋∠BPC＋∠BMP＝180°，得∠MPB＝20°.相交弦定理、切割线定理涉及与圆有关的比例线段问题，利用相交弦定理能做到知三求一，利用切割线定理能做到知二求一．2.(北京高考)如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________；AB＝________.解析：设PD＝9t，DB＝16t，则PB＝25t，根据切割线定理得32＝9t×25t，解得t＝eq\f(1,5)，所以PD＝eq\f(9,5)，PB＝5.在直角三角形APB中，根据勾股定理得AB＝4.答案：eq\f(9,5)4三个定理的综合应用[例3]如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.(1)求证：∠P＝∠EDF；(2)求证：CE·EB＝EF·EP；(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长．[思路点拨]本题考查切割线定理、相交弦定理．以及相似三角形的判定与性质的综合应用．解答本题需要分清各个定理的适用条件，并会合理利用．[精解详析](1)证明：∵DE2＝EF·EC，∴DE∶CE＝EF∶ED.∵∠DEF是公共角，∴△DEF∽△CED.∴∠EDF＝∠C.∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.∴∠P＝∠EDF.(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，∴△DEF∽△PEA.∴DE∶PE＝EF∶EA.即EF·EP＝DE·EA.∵弦AD、BC相交于点E，∴DE·EA＝CE·EB.∴CE·EB＝EF·EP.(3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，∴EC＝9.∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.∵CE·EB＝EF·EP，∴9×6＝4×EP.解得：EP＝eq\f(27,2).∴PB＝PE－BE＝eq\f(15,2)，PC＝PE＋EC＝eq\f(45,2).由切割线定理得：PA2＝PB·PC，∴PA2＝eq\f(15,2)×eq\f(45,2).∴PA＝eq\f(15,2)eq\r(3).相交弦定理、切割线定理是最重要的定理，在与圆有关的问题中经常用到，这是因为这三个定理可得到的线段的比例或线段的长，而圆周角定理、弦切角定理得到的是角的关系，这两者的结合，往往能综合讨论与圆有关的相似三角形问题．因此，在实际应用中，见到圆的两条相交弦要想到相交弦定理；见到切线和割线要想到切割线定理．3．如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．解析：设⊙O的半径为r(r>0)，∵PA＝1，AB＝2，∴PB＝PA＋AB＝3.延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋r.设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.由圆的割线定理知，PA·PB＝PD·PC，∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r＝eq\r(6).答案：eq\r(6)[对应学生用书P27]一、选择题1.如右图，⊙O的直径CD与弦AB交于P点，若AP＝4，BP＝6，CP＝3，则⊙O半径为()A．5.5 B．5C．6 D．6.5解析：由相交弦定理知AP·PB＝CP·PD，∵AP＝4，BP＝6，CP＝3，∴PD＝eq\f(AP·BP,CP)＝eq\f(4×6,3)＝8.∴CD＝3＋8＝11，∴⊙O的半径为5.5.答案：A2．如图，P是圆O外一点，过P引圆O的两条割线PB，PD，PA＝AB＝eq\r(5)，CD＝3，则PC等于()A．2或－5 B．2C．3 D．10解析：设PC＝x，由割线定理知PA·PB＝PC·PD.即eq\r(5)×2eq\r(5)＝x(x＋3)，解得x＝2或x＝－5(舍去)．故选B.答案：B3.如图，AD、AE和BC分别切⊙O于D，E，F，如果AD＝20，则△ABC的周长为()A．20 B．30C．40 D．35解析：∵AD，AE，BC分别为圆O的切线．∴AE＝AD＝20，BF＝BD，CF＝CE.∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝AB＋AC＋BF＋CF＝(AB＋BD)＋(AC＋CE)＝AD＋AE＝40.答案：C4．如图，△ABC中，∠C＝90°，⊙O的直径CE在BC上，且与AB相切于D点，若CO∶OB＝1∶3，AD＝2，则BE等于()A.eq\r(3) B．2eq\r(2)C．2 D．1解析：连接OD，则OD⊥BD，∴Rt△BOD∽Rt△BAC.∴eq\f(OD,AC)＝eq\f(BD,BC).设⊙O的半径为a，∵OC∶OB＝1∶3，OE＝OC，∴BE＝EC＝2a.由题知AD、AC均为⊙O的切线，AD＝2，∴AC＝2.∴eq\f(a,2)＝eq\f(BD,4a)，∴BD＝2a2.又BD2＝BE·BC，∴BD2＝2a·4a＝8a2.∴4a4＝8a2，∴a＝eq\r(2).∴BE＝2a＝2eq\r(2).答案：B二、填空题5．(重庆高考)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC分别交圆于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝________.解析：如图所示，由切割线定理得PA2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)，即62＝PB·(PB＋9)，解得PB＝3(负值舍去)．由弦切角定理知∠PAB＝∠PCA，又∠APB＝∠CPA，故△APB∽△CPA，则eq\f(AB,CA)＝eq\f(AP,CP)，即eq\f(AB,8)＝eq\f(6,3＋9)，解得AB＝4.答案：46．如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝eq\r(2)，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为____________．解析：设BE＝x，则FB＝2x，AF＝4x，由相交弦定理得DF·FC＝AF·FB，即2＝8x2，解得x＝eq\f(1,2)，EA＝eq\f(7,2)，再由切割线定理得CE2＝EB·EA＝eq\f(1,2)×eq\f(7,2)＝eq\f(7,4)，所以CE＝eq\f(\r(7),2).答案：eq\f(\r(7),2)解析：由切割线定理知，AB·AC＝AD·AE.即4×6＝3×(3＋DE)，解得DE＝5.∵BD⊥AE，且E、D、B、C四点共圆，∴∠C＝90°.在直角三角形ACE中，AC＝6，AE＝8，∴CE＝eq\r(64－36)＝2eq\r(7).答案：52eq\r(7)8．(重庆高考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________．解析：由题意得BC＝AB·sin60°＝10eq\r(3).由弦切角定理知∠BCD＝∠A＝60°，所以CD＝5eq\r(3)，BD＝15，由切割线定理知，CD2＝DE·BD，则DE＝5.答案：5三、解答题9．如图，PT切⊙O于T，PAB，PDC是圆O的两条割线，PA＝3，PD＝4，PT＝6，AD＝2，求弦CD的长和弦BC的长．解：由已知可得PT2＝PA·PB，且PT＝6，PA＝3，∴PB＝12.同理可得PC＝9，∴CD＝5.∵PD·PC＝PA·PB，∴eq\f(PD,PB)＝eq\f(PA,PC)，∴△PDA∽△PBC，∴eq\f(AD,BC)＝eq\f(PD,PB)⇒eq\f(4,12)＝eq\f(2,BC)，∴BC＝6.10．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2＝PA·PC；(2)若⊙O的半径为2eq\r(3)，OA＝eq\r(3)OM，求MN的长．解：(1)证明：连接ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，则∠OBN＝∠ONB，∵∠PMN＝∠OMB＝90°－∠OBN，∠PNM＝90°－∠ONB，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN.由条件，根据切割线定理，有PN2＝PA·PC，所以PM2＝PA·PC.(2)依题意得OM＝2，在Rt△BOM中，BM＝eq\r(OB2＋OM2)＝4.延长BO交⊙O于点D，连接DN.由条件易知△BOM∽△BND，于是eq\f(BO,BN)＝eq\f(BM,BD)，即eq\f(2\r(3),BN)＝eq\f(4,4\r(3))，得BN＝6.所以MN＝BN－BM＝6－4＝2.11．如下图，已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线，交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O1，⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P.(1)求证：PA·PE＝PC·PD；(2)当AD与⊙O2相切，且PA＝6，PC