（暑假班-基础班）2025年人教A版高二数学暑假讲义第08讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系+课后巩固练习+随堂检测（教师版）

第第页第08讲用空间向量研究直线、平面的位置关系1.理解与掌握直线的方向向量，平面的法向量.2.会用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系；会用平面法向量证明线面和面面垂直，并能用空间向量这一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题.知识点1空间中点、直线和平面的向量表示1．空间直线的向量表示式设A是直线上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，设P是直线l上任意一点，(1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝ta，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→)).(2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t.使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta.(3)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→)).注意点：(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合．(2)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．(3)空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．2．空间平面的向量表示式①如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝xa＋yb.②如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．③由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0}．注意点：(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．(2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行．易错辨析：（1）空间中给定一个点A和一个方向向量能唯一确定一条直线吗？答案：能（2）一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？答案：不一定，若两个定方向向量共线时不能确定，若两个定方向向量不共线能确定．（3）由空间点A和直线l的方向向量能表示直线上的任意一点？答案：能知识点2空间平行、垂直关系的向量表示设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量．线线平行l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2注：此处不考虑线线重合的情况．但用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合证明线线平行的两种思路：①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明．②建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示．线面平行l1∥α⇔u1⊥n1⇔u1·n1＝0注：证明线面平行时，必须说明直线不在平面内；(1)证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)特别强调直线在平面外．面面平行α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2注:证明面面平行时，必须说明两个平面不重合．(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．线线垂直l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直．(2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0.线面垂直l1⊥α⇔u1∥n1⇔∃λ∈R，使得u1＝λn1（1）基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．（2）坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．（3）法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论．面面垂直α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直1、理解直线方向向量的概念(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．(2)直线的方向向量不唯一．2、利用待定系数法求法向量的步骤3、求平面法向量的三个注意点（1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量（2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量（3）注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为04、用空间向量证明平行的方法(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线．(2)线面平行：①证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．②证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．③先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．在证明线面平行时，需注意说明直线不在平面内．(3)面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题．5、用空间向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线的方向向量互相垂直，即证明它们的数量积为零．(2)线面垂直：①基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．②坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．③法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论．(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．考点一：求直线的方向向量例1．已知直线的一个方向向量为，另一个方向向量为，则________，________.【答案】－2012【分析】由直线的方向向量平行的性质即可求解.【详解】∵直线的方向向量平行，∴，∴，故答案为：；.变式1．【多选】如图，在正方体中，E为棱上不与，C重合的任意一点，则能作为直线的方向向量的是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】结合立体图形，得到平行关系，从而确定答案.【详解】因为，所以，，都可作为直线的方向向量.故选：ABD.变式2．已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于（

）A．0B．1C．2D．3【答案】A【分析】根据求解即可.【详解】由题知：，因为，所以，解得，所以.故选：A考点二：求平面的法向量例2．已知，则平面的一个单位法向量是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】待定系数法设平面的一个法向量为，由法向量的性质建立方程组解出分析即可.【详解】设平面的一个法向量为，又，由，即，又因为单位向量的模为1，所以B选项正确，故选：B.变式1．已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（

）A．与是共线向量B．与同向的单位向量是C．在方向上的投影向量是D．平面ABC的一个法向量是【答案】BCD【分析】A：由向量共线定理，应用坐标运算判断是否存在使；B：与同向的单位向量是即可判断；C：由投影向量的定义可解；D：应用平面法向量的求法求平面ABC的一个法向量，即可判断.【详解】A：若与共线，存在使，则无解，故不共线，错误；B：与同向的单位向量是，正确；C：由，则在方向上的投影向量是，正确；D：若是面ABC的一个法向量，则，令，则，正确.故选：BCD考点三：用空间向量证明平行问题判断直线、平面的位置关系例3．若平面与的法向量分别是，，则平面与的位置关系是（

）A．平行B．垂直C．相交不垂直D．无法判断【答案】A【分析】利用平面法向量的位置关系，即可判断两平面的位置关系.【详解】因为，是平面与的法向量，则，所以两法向量平行，则平面与平行.故选：A变式1．已知平面与平面是不重合的两个平面，若平面α的法向量为，且，，则平面与平面的位置关系是________.【答案】平行【分析】分别计算，，可得，，从而可知，，平面，所以可得平面与平面平行.【详解】平面α的法向量为，且，，，，所以，，平面，平面的一个法向量为，又因为平面与平面是不重合的两个平面，所以平面与平面平行.故答案为：平行.（二）已知直线、平面的平行关系求参数例4．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量，若，则实数_______．【答案】10【分析】根据直线与平面平行，得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，进而利用空间向量数量积为0列出方程，求出的值.【详解】因为，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直，即，解得：.故答案为：10变式1．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为______【答案】6【分析】因为法向量定义，把转化为，可得k的值.【详解】因为平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，又因为，所以，可得，即得.故答案为：6.（三）证明直线、平面的平行问题例5．如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形，线段AD的中点为O且底面ABCD，，，E是PD的中点．

证明：平面PAB；【解析】连接OC，因为，所以四边形OABC为平行四边形，所以，所以，以OC，OD，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，．，，，设平面的一个法向量为，则，则，令，，平面PAB的一个法向量，，则，又平面PAB，所以平面PAB．变式1．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别是，的中点.

求证：平面；【解析】（1）由题意，在矩形中，，，,，分别是，的中点，∴，，在四棱锥中，面平面，面面，，∴面，面，∴，取中点，连接，由几何知识得，∵，∴，∵面，面，∴面，∴以、、为、、轴建立空间直角坐标系如下图所示，

∴，∴，面的一个法向量为，∵，∴平面.考点四：利用空间向量证明垂直问题（一）判断直线、平面的位置关系例6．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线l和平面位置关系是（

）A．B．C．D．不确定【答案】A【分析】根据题意判断直线l的方向向量和平面的法向量的关系，即可判断直线l和平面位置关系.【详解】由题意直线l的方向向量为，平面的法向量为,可知，故,故选：A（二）已知直线、平面的垂直关系求参数例7．已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（

）A．B．C．1D．4【答案】A【分析】根据题意得到，进而得到方程组，求得的值，即可求解.【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为，因为，可得，所以，即，解得，所以.故选：A.变式1．如图，在正三棱锥D-ABC中，，，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且，若平面PBC，则实数（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由正棱锥的结构特征构建空间直角坐标系，根据已知条件确定相关点坐标并求出面PBC的法向量，结合线面平行及向量共线定理求参数即可.【详解】由题设，△为边长为的等边三角形，且，等边△的高为，在正棱锥中，以为原点，平行为x轴，垂直为y轴，为z轴，如上图示，则，且，所以，，，若为面PBC的法向量，则，令，则，又平面PBC，则且k为实数，，故.故选：D（三）证明直线、平面的垂直问题例8．如图，在四棱锥中，平面，底面是梯形，点E在上，．求证：平面平面；【解析】（1）证明：因为平面，平面，所以，因为，所以两两垂直，所以以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，所以，所以，所以，所以，即，因为,，所以平面，因为平面，所以平面平面.一、单选题1．若在直线l上，则直线l的一个方向向量为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据向量的坐标运算可得，再根据方向向量的定义即可得出结果.【详解】因为，由共线向量可知与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量，又，所以是直线l的一个方向向量.故选：B.2．如图，在三棱锥中，底面，，，，D为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】建系，利用空间向量解决异面直线夹角的问题.【详解】如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，则,∵，则，∴异面直线与所成角的余弦值为.故选：D.3．已知直线，则下列结论正确的个数是（

）①直线的截距为

②向量是直线的一个法向量③过点与直线平行的直线方程为④若直线，则A．B．C．D．【答案】B【分析】求出直线的截距可判断①，由直线的方向向量可判断②，由直线平行设所求直线方程为，代入点即可判断③，由直线垂直可判断④.【详解】对于①,令,则;令,则,故①错误;对于②,因为直线的方向向量为或,则,所以向量是直线的一个法向量,故②正确;对于③,设与直线平行的直线方程为,因为直线过点,所以,所以过点与直线平行的直线方程为,故③正确;对于④,直线,直线,则,所以两直线垂直，故④正确,所以结论正确的个数为3，故选:B.4．不重合的两条直线，的方向向量分别为，．不重合的两个平面，的法向量分别为，，直线，均在平面，外．下列说法中错误的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据直线与平面的位置关系得到直线的方向向量与平面的法向量的关系，进而推导出答案.【详解】A选项，因为，A正确；B选项，，所以，故错误；C选项，，C正确；D选项，，D正确.故选：B5．如图，在空间直角坐标系中，有正方体，给出下列结论：①直线的一个方向向量为；②直线的一个方向向量为；③平面的一个法向量为；④平面的一个法向量为．其中正确的个数为（

）．A．1B．2C．3D．4【答案】A【分析】由直线的方向向量及平面的法向量的定义即可求解.【详解】解：设正方体的边长为1，则，，，，，，对①：因为，所以直线的一个方向向量为正确；对②：因为，所以直线的一个方向向量为不正确；对③：因为平面，又，所以平面的一个法向量为不正确；对④：因为，，，，，所以平面的一个法向量为不正确.故选：A.6．设，是不重合的两个平面，，的法向量分别为，，和是不重合的两条直线，，的方向向量分别为，，那么的一个充分条件是（）A．，，且，B．，，且C．，，且D．，，且【答案】C【分析】利用面面平行的判定定理、向量位置关系及充分条件的定义即可判断．【详解】对于A，，，且，，则与相交或平行，故A错误；对于B，，，且，则与相交或平行，故B错误；对于C，，，且，得，则，故C正确；对于D，，，且，则与相交或平行，故D错误．故选：C．7．已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点P中，在平面内的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用平面法向量的性质，通过选项逐一排除.【详解】设，则；由题意知，，则，∴，化简得．验证得，在A中，，不满足条件；在B中，，满足条件；在C中，，不满足条件；在D中，，不满足条件．故A，C，D错误.故选：B．二、填空题8．已知直线l在平面外，直线l的方向向量是，平面的法向量是，则l与的位置关系是___________（填“平行”或“相交”）【答案】平行【分析】根据题意可得，进而可得结果.【详解】因为，则，且直线l在平面外，所以//.故答案为：平行.9．设平面的一个法向量分别为，则的位置关系为________．【答案】平行【分析】利用向量的共线定理及平面与平面平行的法向量的关系即可求解.【详解】因为，所以，所以，所以，故答案为：平行10．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则________.【答案】【分析】利用两平面平行法向量的关系及向量共线定理即可求解.【详解】因为，所以，所以，即，所以，解得，所以.故答案为：.11．已知是直线l的一个方向向量，是平面α的一个法向量，若l⊥α，则a，b的值分别为________.【答案】【分析】根据空间线面垂直结合空间向量运算求解.【详解】∵l⊥α，则∥，则，解得.故答案为：.三、解答题22．如图，正三棱柱中，分别是棱上的点，.

证明：平面平面；【解析】（1）证明：取的中点,连接，在正三棱柱中，不妨设;以为原点，分别为轴和轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则,，；设平面的一个法向量为，则,，取，则，即；设平面的一个法向量为，则,即，取得.因为，所以平面平面；

12.如图，在四棱锥中，平面，，四边形满足，，，点M为PC的中点.

求证：；【解析】证明：因为平面，平面，所以，.又，所以PA，AB，AD两两垂直.以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示.

则，，，，点M为PC的中点，故，故，，所以，所以.

用空间向量研究直线、平面的位置关系随堂检测1.已知直线的一个法向量是，则的倾斜角的大小是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设直线的倾斜角为，，直线的方向向量为，根据直线方向向量与法向量的关系得到得到，即可求解.【详解】设直线的倾斜角为，，直线的方向向量为.则，即，则，又，解得，故选：A.2.若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则（）A．l∥α或l⊂αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交【答案】A【分析】直线的一个方向向量，平面α的一个法向量为，计算数量积，可判断出结论．【详解】直线的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，，，或，故选：A3.直线的方向向量分别为，则（

）A．B．∥C．与相交不平行D．与重合【答案】A【分析】由题意可得，即得，从而得，即得答案.【详解】解：因为直线的方向向量分别为，，所以，即.故选：A.4.已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（

）A．B．C．D．【答案】A【