《矩形的判定》教案

第2课时矩形的判定课时目标1.经历探索矩形判定定理的过程,掌握矩形的判定定理,培养学生的合情推理与演绎推理的能力.2.通过对比平行四边形判定的学习方法,体会证明过程中类比、转化、由一般到特殊的数学思想方法,发展学生的数学思维.达成目标1的标志:学生通过对比平行四边形判定的学习方法,可以提出矩形判定的猜想,然后经历验证并证明猜想的过程,最终能够得出矩形的判定定理.达成目标2的标志:学生能够主动想到类比平行四边形判定的学习方法来学习矩形的判定定理,在探究判定的过程中能自己设计探究过程并分步实施,最终得出结论.学习重点矩形的判定定理.学习难点矩形判定定理的应用.课时活动设计回顾平行四边形的判定定理是怎样研究的?平行四边形的性质与判定有什么联系?矩形有哪些性质?矩形的判定从何处入手研究?设计意图:引导学生回顾矩形的性质以及平行四边形判定的研究路径,思考几何图形性质与判定的逻辑关系,为矩形判定的研究提供研究思路,让学生体会它们的研究路径和方法是一致的.你现在知道的判定矩形的方法是什么?判定矩形需要几个条件?分别是什么?请写出矩形性质的逆命题?你能对矩形的判定提出猜想吗?学生活动:先独立写出矩形性质的逆命题,再小组讨论,最后形成一致意见进行展评.矩形的性质1:矩形的四个角都是直角.逆命题1:四个角都是直角的(平行)四边形是矩形.矩形的性质2:矩形的对角线相等.逆命题2:对角线相等的(平行)四边形是矩形.对于逆命题中的条件,是用四边形还是用平行四边形这个条件呢?为什么?设计意图:引导学生回忆矩形的定义,明确定义具有双重性,既是性质也是判定.引导学生通过性质猜想判定,让学生体会数学知识间的联系,建立知识的整体结构框架,理清各个知识点之间的联系,使学生头脑中的知识结构化、系统化.通过分析逆命题中的条件,让学生体会定理条件的精简,体会数学的简洁美.画图验证得出的两个逆命题的真假:逆命题1:四个角都是直角的四边形是矩形.逆命题2:对角线相等的平行四边形是矩形.设计意图:让学生经历猜想——验证——证明——得出结论的科学的探究过程,培养学生科学的思维方法,发展学生的核心素养.通过画图验证,培养学生动手作图的能力,发展学生的几何直观.你能证明教学活动3中的两个命题吗?证明命题的步骤:画图——写出已知和求证——证明,请同学们按照步骤对上述命题进行证明,然后小组展评.1.已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.求证:四边形ABCD是矩形.证明:∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC,AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.∵∠D=90°,∴四边形ABCD是矩形.2.已知:如图,在▱ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC=DB.求证:▱ABCD是矩形.证明:∵在▱ABCD中,AB=DC,BC=CB,且AC=DB.∴△ABC≌△DCB(SSS).∴∠ABC=∠DCB.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠DCB=180°.∴∠ABC=∠DCB=90°.又∵四边形ABCD是平行四边形,∴▱ABCD是矩形.设计意图:引导学生在经过合情推理之后对得到的结论进行严密的逻辑推理证明,让学生明白每一个数学定理的得出都要经过严谨的演绎推理的过程,培养学生思维的缜密性以及推理能力.通过小组合作讨论、展评,培养学生的合作意识以及语言表达能力.再次理解:对于“四个角都是直角的四边形是矩形”这一命题,条件可以再精简吗?三个直角可以吗?两个直角可以吗?为什么?解:可以精简为三个直角,因为四边形的内角和为360°,其中三个角为90°,则第四个角一定是90°,所以三个角都是直角的四边形一定是矩形.不可以精简为两个直角,如直角梯形有两个角为直角,但它不是矩形.设计意图:通过弱化矩形判定的条件,让学生再次感知数学的简洁美,培养学生的推理能力,让学生站在更高的角度思考定理的合理性,培养学生科学的思维方法.例题练习,巩固理解先独立完成教材第54页例2,然后学生代表讲解,全班分享,共同完善修正答案.例如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD,∠OAD=50°,求∠OAB的度数.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC=12AC,OB=OD=1又OA=OD,∴AC=BD.∴四边形ABCD是矩形.∴∠DAB=90°.又∠OAD=50°,∴∠OAB=40°.设计意图:本环节力求提高学生运用知识的能力和推理能力,培养学生的语言表达能力,加深学生对性质的理解.本节课我们研究了矩形的判定定理,请同学们带着以下问题进行总结:(1)在探寻矩形的判定定理时,你经历了怎样的研究过程?这个过程中用到了哪些数学方法?积累了哪些活动经验?(2)矩形是特殊的平行四边形,特殊在哪里?还有其他的特殊的平行四边形吗?还可以从哪方面进行研究?你能设计研究路径吗?设计意图:学生通过自主反思,不但可以梳理本节所学的知识,更重要的是能将数学思想方法进行内化吸收,通过引导学生矩形是平行四边形角特殊的情况,容易想到我们还要研究平行四边形边特殊的情况,引出下一节的内容,这样既可以将学生头脑中的知识结构化、系统化,还为下一节的研究做好铺垫并提供研究思路及研究方法.知能演练提升能力提升1.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是()A.对边相等 B.对角相等C.对角线相等 D.对角线互相平分2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点H,E,F分别是边AB,BC,CA的中点,若EF+CH=8,则CH的值为()A.3 B.4 C.5 D.63.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,以点B为圆心,BC的长为半径画弧交AD于点E,再分别以点C,E为圆心、大于12CE的长为半径画弧,两弧交于点F,作射线BF交CD于点G,则CG的长为.4.如图,将矩形纸片ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,若EH=3cm,EF=4cm,则边AD的长是cm.

5.已知四边形ABCD是矩形,点E是矩形ABCD的边上的点,且EA=EC.若AB=6,AC=210,则DE的长是.

6.如图,已知在矩形ABCD中,E是AD上的一点,F是AB上的一点,EF⊥EC,且EF=EC,DE=4cm,矩形ABCD的周长为32cm,求AE的长.7.如图,在矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M,N,与边AD交于点E,垂足为点O.(1)求证:△AOM≌△CON;(2)若AB=3,AD=6,请直接写出AE的长.8.如图,▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,H,G,F,连接EG,FH.求证:EG=FH.创新应用9.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E是▱ABCD外一点,且∠AEC=∠BED=90°.求证:▱ABCD是矩形.★10.如图,在△ABC中,点O是AC边上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,连接AE,AF.那么当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.

知能演练·提升能力提升1.C2.B∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点H,E,F分别是边AB,BC,CA的中点,∴EF=12AB,CH=12AB,∴∵EF+CH=8,∴CH=EF=12×8=43.103如图,连接EG由题意知,BF是∠EBC的平分线,∴∠EBG=∠CBG.在△EBG和△CBG中,EB∴△EBG≌△CBG(SAS),∴GE=GC.在Rt△ABE中,AB=6,BE=BC=10,∴AE=BE2∴DE=AD-AE=10-8=2.在Rt△DGE中,DE=2,DG=DC-CG=6-CG,EG=CG,EG2-DE2=DG2,∴CG2-22=(6-CG)2,解得CG=1035.2343或∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=6,AD=BC,∠ABC=∠ADC=90°,∴BC=AC2-AB2当点E在CD上时,∵AE2=DE2+AD2=EC2,∴(6-DE)2=DE2+4,∴DE=83当点E在AB上时,不妨设此时点E为E',∵CE'2=BE'2+BC2=AE'2,∴AE'2=(6-AE')2+4,∴AE'=103∴DE'=AD综上所述,DE=2346.解在Rt△AEF和Rt△DCE中,∵EF⊥CE,∴∠FEC=90°,∴∠AEF+∠DEC=90°,而∠ECD+∠DEC=90°,∴∠AEF=∠ECD.又∠FAE=∠EDC=90°,EF=EC,∴Rt△AEF≌Rt△DCE.∴AE=CD.∵矩形ABCD的周长为32cm,∴2(AD+CD)=2(AE+AE+4)=32,解得AE=6(cm).7.(1)证明∵MN是AC的垂直平分线,∴AO=CO,∠AOM=∠CON=90°.∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠M=∠N.在△AOM和△CON中,∠∴△AOM≌△CON(AAS).(2)解如图,连接CE,∵MN是AC的垂直平分线,∴CE=AE.设AE=CE=x,则DE=6-x,∵四边形ABCD是矩形,∴∠CDE=90°,CD=AB=3.在Rt△CDE中,CD2+DE2=CE2,即32+(6-x)2=x2,解得x=154,即AE的长为158.分析要证对角线EG=FH,只需证四边形EHGF是矩形.由已知条件可得∠EFG=∠AFB=90°,同理四边形EHGF的其余三角也为直角,因此四边形EHGF是矩形.证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠DAB+∠ABC=180°.∵AF,BF分别平分∠DAB,∠ABC,∴∠FAB=12∠DAB,∠FBA=12∠∴∠FAB+∠FBA=12×180°=90°∴∠EFG=∠AFB=90°.同理,四边形EHGF的其余三角也为直角.∴四边形EHGF是矩形,∴EG=FH.创新应用9.证明如图,连接OE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.∵∠AEC=∠BED=90°,∴OE=12AC=12∴AC=BD.∴▱ABCD是矩形.10.分析如图,当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时,四边形AECF是矩形.由于CE平分∠BCA,那么有∠1=∠2,而MN∥BC,利用平行线的性质有∠1=∠3,等量代换有∠2=∠3,于是有OE=OC,同理OC=OF.于是OE=OF,而OA=OC,那么可证四边形AECF是平行四边形.又CE,CF分别是∠B