《函数》教学教案

第2课时函数课时目标1.通过丰富的实例,了解函数的概念,能举出函数的实例,初步形成模型观念.2.以问题情境为载体,初步了解函数的三种表示方法及其特点,提高创新意识和应用意识.3.能确定简单函数的自变量的取值范围,并会求函数值,发展运算能力.学习重点自变量和函数的意义.学习难点从变化的角度分析问题.课时活动设计观察与思考回顾一下上节课教学活动2中的三个问题,分别有几个变量?指出其中的变量.举例说明当其中一个量取定一个值时,另一个量是否也相应地取定一个值?教学活动2中每个问题都有两个变量.问题1中,经计算可以发现:每当售票数量x取定一个值时,票房收入y就随之确定一个值.例如当早场x=150时,y=1500;当午场x=205时,y=2050;当晚场x=310时,y=3100.问题2中,通过试验可以看出:每当重物的质量m确定一个值时,弹簧的总长l就随之确定一个值.如果弹簧的原长为10cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm,当m=10时,l=15;当m=20时,l=20.问题3中,我们根据题意可知每确定矩形的一边长x,即可得出它的邻边长y.例如,当x=1m时,y=(10-1×2)÷2=4(m);当x=2m时,y=(10-2×2)÷2=3(m).因此可知,每当矩形的一边长x确定一个值时,它的邻边长y就随之确定一个值.以上回顾我们可以归纳出什么样的结论?尝试用自己的语言表述这两个变量的关系.设计意图:通过分析三个实例的共性可知当都有两个变量,且一个量变化时,另一个量也在相应地变化;当一个变量取定一个值时,另一个变量随之确定一个值.学生充分感知后再用语言表达,为抽象函数概念做准备.强调:一变化过程,二相互依赖的关系,三“值”的唯一性.一起探究下面用图或表格表达的问题中,是否也存在两个变量间的这种关系?通过观察、思考、讨论后回答:1.如图是体检时的心电图,其中图上点的横坐标x表示时间,纵坐标y表示心脏部位的生物电流,它们是两个变量.在心电图中,对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应吗?2.在下面的我国人口数统计表中,年份与人口数可以分别记作两个变量x与y,对于表中每一个确定的年份x,都对应着一个确定的人口数y吗?中国人口数统计表年份人口数/亿198410.43198911.27199411.98199912.57设计意图:通过观察不难发现在问题1的心电图中,对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应;在问题2中,对于表中每一个确定的年份x,都对应着一个确定的人口数y.进而得到函数的概念,一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.从具体到抽象、从感性认识到理性认识的转变中,得出了函数的概念,学生经历了概念形成的过程,通过对概念的感知、归纳,培养学生抽象概括的能力.师生辨析说出上面问题中的自变量和函数,同桌交流.注:如果y是x的函数,那么我们也说y与x具有函数关系.那么哪个量是自变量,哪个量是自变量的函数?设计意图:在归纳出函数的概念后,对概念进行辨析巩固,同时体会三种不同的函数表示方法及特点.学生了解函数是刻画变量之间对应关系的数学模型,许多问题中变量之间的关系都可以用函数来表示,之后让学生用不同的方式举例,有利于发散思维的培养,学生经过充足的思考、交流达成共识,养成良好的学习习惯,促进学生核心素养的发展.大家谈谈上面问题中自变量可取哪些值?取任意值时,原问题有意义吗?例1下列式子中的y是x的函数吗?为什么?(1)y=2x+1;(2)y=2x(x+1);解:(1)(2)(3)中y均是x的函数.理由:因为(1)(2)(3)中,当x的值确定时,y的值也随之确定.追加求上面函数的自变量x的取值范围.当x=5时,对应的函数值是多少?解:(1)x为全体实数;(2)x≠0且x≠-1;(3)x>2.当x=5时,(1)y=11;(2)y=115;(3)y=13=例2汽车油箱中现有汽油50L,如果不再加油,那么油箱中的油量y(单位:L)随行驶路程x(单位:km)的增加而减少,平均耗油量为0.1L/km.(1)写出表示y与x的函数关系的式子;(2)指出自变量x的取值范围;(3)汽车行驶200km时,油箱中还有多少汽油?解:(1)行驶路程x是自变量,油箱中的油量y是x的函数,它们的关系为y=50-0.1x.(2)仅从式子y=50-0.1x看,x可以取任意实数.但是考虑到x代表的实际意义为行驶路程,因此x不能取负数.行驶中的耗油量为0.1x,它不能超过油箱中现有汽油量50,即0.1x≤50.因此,自变量x的取值范围是0≤x≤500.(3)汽车行驶200km时,油箱中的汽油量是函数y=50-0.1x在x=200时的函数值.将x=200代入y=50-0.1x,得y=50-0.1×200=30.汽车行驶200km时,油箱中还有30L汽油.设计意图:先让学生独立思考,再交流,给学生充分的时间,让学生在具体实例中体会函数的自变量的取值范围,超出范围可能会失去意义.学生在巩固函数意义、理解认识及确立函数关系式的基础上,学会如何确定自变量的取值范围和求函数值的方法,知道自变量的取值范围的确定,不仅要考虑函数关系式的意义,而且还要注意问题的实际意义.根据学生不同的基础,给学生提供具有层次的练习,激发学生的学习兴趣,建立学生学习数学的自信心.第2课时函数函数的概念自变量的取值范围函数值例1例2知能演练提升能力提升1.下列各曲线中表示y是x的函数的是()2.若函数y=x2+2,x≤2,2A.±6 B.4C.±6或4 D.4或-6★3.如图,小球从点A运动到点B,速度v(单位:m/s)和时间t(单位:s)的函数解析式是v=2t.如果小球运动到点B时的速度为6m/s,那么小球从点A到点B的时间是()A.1s B.2s C.3s D.4s4.如图,根据程序计算函数值,若输入x的值为52,则输出的函数值为.5.如图,将一个边长为a的正方形纸片,剪成4个大小一样的正方形,然后将其中的一个再按同样的方法剪成4个小正方形,如此循环下去,观察图形和下列表格中的数据后回答问题:当操作的次数为n时,得到的正方形个数S=.

操作的次数1234…正方形个数471013…6.校运动会上,八年级组织了一个梯形鲜花队参加开幕式,要求共站60排,第一排40人,后面每一排都比前一排多站一人,则每排人数y与该排排数x之间的函数解析式为.

7.如图,长方形ABCD的四个顶点在互相平行的两条直线上,AD=20cm,当B,C在平行线上同方向匀速运动时,长方形的面积发生了变化.(1)在这个变化过程中,自变量、函数各是什么?(2)如果长方形的长AB为x(单位:cm),那么长方形的面积y(单位:cm2)可以表示为.

(3)当长AB从25cm变到40cm时,长方形的面积从cm2变到cm2.

8.求下列函数自变量的取值范围:(1)y=2x+2;(2)y=1x(3)y=2x+1; (4)y=9.用40m长的绳子围成长方形ABCD,设AB=xm,长方形的面积为Sm2.(1)求S与x之间的函数解析式及x的取值范围;(2)填写下表中与x相对应的S的值;x…899.51010.51112…S……(3)观察上表,指出当x为何值时,S的值最大?最大值是多少?10.如图,某种旅行帽的帽檐接有两个塑料带,其中一个塑料带上有7个等距的小圆柱体扣,另一个塑料带上扎有7个等距的扣眼,下表列出的是用第一扣分别去扣不同扣眼所测得的帽圈直径的有关数据(单位:cm).扣眼号数/x1234567帽圈直径/y22.9222.6022.2821.9621.6421.3221.00(1)求帽圈直径y与扣眼号数x之间的函数解析式;(2)小英的头围约为68.94cm,她将第1扣扣到4号扣眼,你认为松紧合适吗?创新应用★11.将一张长方形的纸对折,如图①,可得到一条折痕.继续对折,对折时每条折痕与上次的折痕保持平行,如图②.连续对折三次后,可以得到7条折痕,如图③.回答下列问题:(1)对折四次可以得到条折痕;

(2)写出折痕的条数y与对折次数n之间的函数解析式;(3)求出对折10次后的折痕条数.知能演练·提升能力提升1.D2.D3.C4.25∵x=52在范围2≤x≤4∴把x=52代入y=1x,得y=5.3n+1(n为正整数)6.y=39+x(1≤x≤60,且x是整数)7.解(1)变化过程中,自变量是AB的长度,函数是长方形的面积.(2)y=20x(x>0);(3)5008008.分析(1)x为任何实数时,整式都有意义;(2)要满足分母不为0;(3)被开方数2x+1一定为非负数;(4)应满足1-|x|≠0,且2x+4≥0.解(1)全体实数.(2)由x+1≠0,得x≠-1,故自变量x的取值范围为x≠-1.(3)由2x+1≥0,得x≥-12故自变量x的取值范围为x≥-12(4)由1-|x|≠0,2x+4≥0,得x故自变量x的取值范围为x≥-2,且x≠±1.9.解(1)S=x(20-x),整理,得S=-x2+20x,由x>0,20-故x的取值范围是0<x<20.(2)x…899.51010.51112…S…969999.7510099.759996…(3)当x=10时,S的值最大,最大值是100.10.分析由表格中已知数值可知,扣眼号数x每增加1,帽圈直径y就减少0.32cm.解(1)由已知,得y=22.92-0.32(x-1),即y=23.24-0.32x,其中