2024-2025学年甘肃省武威一中高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年甘肃省武威一中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内，复数z=（1+i）（2-i）对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.与向量平行的单位向量为（）A. B.

C.或 D.3.正方体ABCD-A1B1C1D1中AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成的角是（）A.0° B.45° C.60° D.90°4.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(

)A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.75.饱和潜水是一种在超过百米的大深度条件下开展海上长时间作业的潜水方式，是人类向海洋空间和生命极限挑战的前沿技术，我国海上大深度饱和潜水作业能力走在世界前列．某项饱和潜水作业一次需要3名饱和潜水员完成，利用计算机产生0～9之间整数随机数，我们用0，1，2，3表示饱和潜水深海作业成功，4，5，6，7，8，9表示饱和潜水深海作业不成功，现以每3个随机数为一组，作为3名饱和潜水员完成潜水深海作业的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：713，517，659，491，275，937，740，632，845，946．由此估计“3名饱和潜水员中至少有1人成功”的概率为（）A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.96.在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（）A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形7.从分别标有1，2，3，…，10的10个小球中，不放回的随机选取两个小球，记这两个小球的编号分别为x,y.若i2=-1，则ix+iy为实数的概率为（）A. B. C. D.8.在△ABC中，点M，N在边BC上，且满足：，，若，，，则△ABC的面积等于（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.假定生男孩和生女孩是等可能的，若一个家庭中有三个小孩，记事件A=“家庭中没有女孩”，B=“家庭中最多有一个女孩”，C=“家庭中至少有两个女孩”，D=“家庭中既有男孩又有女孩”，则（）A.A与C互斥 B.A∪D=B C.B与C对立 D.B与D相互独立10.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（）

A.圆柱的侧面积为2πR2 B.圆锥的侧面积为2πR2

C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：211.若正四面体ABCD的棱长为a,P是棱AC上一动点，其外接球、内切球的半径分别为R，r,则（）A.

B.R=4r

C.正四面体ABCD棱切球的体积为

D.若F是棱AD的中点，则当BP+PF最小时，CP=2PA三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知cosαsin（α-β）-sinαcos（β-α）=，则sinβ=______.13.在二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥l，BD⊥l，若AB=1，AC=BD=2，二面角α-l-β的余弦值为，则CD=______；直线CD与平面β所成角正弦值为______．

14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，AA1=3，过点A1作平面α与AB，AD分别交于M，N两点，且AA1与平面α所成的角为30°，给出下列说法：

①异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为；

②A1B∥平面B1D1C1；

③点B到平面B1CD1的距离为；

④截面A1MN面积的最小值为6．

其中正确的是______．（请填写所有正确说法的编号）四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上.

（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，设=λ+μ，求λ+μ的值；

（2）若AB=，BC=2，求•的取值范围.16.(本小题15分)

2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭成功发射，我国载人航天工程2024年发射任务首战告捷.为普及航天知识，某学校开展组织学生举办了一次主题为“我爱星辰大海”的航天知识竞赛，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：

（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值.若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；

（Ⅱ）用样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；

（Ⅲ）若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率.

​​​​​​​17.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知asinA+asinCcosB+bsinCcosA=bsinB+csinA.

（1）求角B的大小；

（2）若a=2，且△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的取值范围.18.(本小题17分)

n维空间中点的坐标可以表示为（x1，x2，x3，⋯，xn），其中xi（i=1，2，3，⋯，n）为该点的第i个坐标.定义n维空间中任意两点A（x1，x2，x3，⋯，xn），B（y1，y2，y3，⋯，yn）之间的平均离差二乘距离.设n维空间点集M={（x1，x2，x3，⋯，xn）|xi=0或1，其中i=1，2，3，⋯，n}（n≥2）.

（1）若n=3，A，B∈M，且点，写出所有的点B的坐标；

（2）任取n维空间中的不同两点P，Q∈M.若n=4，求的概率.19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAB是边长为2的等边三角形，点A，B，C，D在同一个圆的圆周上，且∠BCD=90°，，平面PAB⊥平面PAD.

（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求三棱锥P-ABD的体积；

（Ⅲ）求二面角A-PB-C的正弦值.

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】ACD

10.【答案】CD

11.【答案】ACD

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】②④

15.【答案】解：（1）由题意知=+，

因为E是BC边的中点，点F是CD上靠近C的三等分点，

所以=+，

在矩形ABCD中，=，=-，

所以=-+，

即λ=-，μ=，

则λ+μ=-+=．

（2）以AB、AD分别为x、y轴建立平面直角坐标系，如图所示：

设F（x，2），其中0≤x≤；

则：A（0，0），E（，1）；=（x，2），=（x-，1）；

所以•=x2-x+2=+，其中0≤x≤；

当x=时•取得最小值为，

x=0或时•取得最大值为2，

所以•的取值范围是[，2]．

16.【答案】解：（Ⅰ）由（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025+a）×10=1，

解得a=0.030，

因为0.01×10×200=20（人），0.015×10×200=30（人）．

所以不高于50分的抽（人）；

（Ⅱ）平均数．

由图可知，学生成绩在[40，70）内的频率为0.4，在[70，80）内的频率为0.3，

设学生成绩中位数为t,t∈[70，80），则：（t-70）0.03+0.4=0.5，解得，

所以中位数为．

（Ⅲ）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A，

则．

所以至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．

17.【答案】解：（1）∵asinA+asinCcosB+bsinCcosA=bsinB+csinA，

由正弦定理可得a2+accosB+bccosA=b2+ac,

又由余弦定理知2accosB=a2+c2-b2，2b