专题24 第24讲 圆 单元测试（培优提升卷）（含解析）

专题24第24讲圆单元测试（培优提升卷）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）已知的半径是．点是内一点．则的长可能是（

）A． B． C． D．2．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，以△的边为直径作交于点，过点作于点．若要使是的切线，则下列补充的条件不正确的是（）A． B． C． D．3．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）下列命题中，正确的是（）A．三个点确定一个圆 B．等弧所对的圆周角相等C．直角三角形的内心与外心重合 D．与圆的一条半径垂直的直线是该圆的切线4．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的直径，弦于点E，如果，则的长为（）

A．1 B．2 C．4 D．85．（2025·湖南长沙·二模）如图，是的直径，若，则的度数是（

）A． B． C． D．6．（21-22九年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（

）A．1 B．5 C．3 D．1或57．（2025·安徽滁州·一模）如图，四边形是的内接四边形，，，则的大小为（

）A． B． C． D．8．（2025·重庆·模拟预测）如图，在矩形中，点在边上，，以为圆心，的长为半径画弧，这条弧恰好经过点，且交于点，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．9．（2025·河南信阳·三模）如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点，在轴上，顶点在轴上，若正六边形的中心点的坐标为则点的坐标为（

）A． B． C． D．10．（上海市闵行区2024-2025学年下学期七年级期末数学试题）一张直角三角形纸片，两条直角边长分别为a和，将纸片先绕长为b的直角边所在直线旋转一周，得到圆锥体甲；再绕长为a的直角边所在直线旋转一周，得到圆锥体乙，关于这两个圆锥体，有下列两个结论：①甲、乙的侧面积之比为；②甲、乙的体积之比为．对于结论①和②，下列说法正确的是（

）A．①正确，②错误 B．①②都正确C．①错误，②正确 D．①②都错误二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2025·福建厦门·二模）已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为，则的半径可能为．（只写一个）12．（2025·广西南宁·模拟预测）圆底烧瓶是化学实验中常用的反应容器．图1是一个装有液体的圆底烧瓶（厚度忽略不计），图2是它的侧面示意图．若烧瓶中液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为；13．（24-25九年级下·全国·假期作业）如图，在正多边形中，若，则该多边形的边数为．14．（2025·山西朔州·三模）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的圆心角的度数是．15．（2025·广东广州·二模）如图，正方形的边长为6，以边为直径在正方形内部作半圆，圆心为O，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则．16．（24-25九年级下·河北石家庄·开学考试）如图，在直角坐标系中，以点为圆心，画半径的圆，点为直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为

三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在单位长度为1的正方形网格图中，一条圆弧经过网格点三点，请在网格中进行下列操作：

(1)在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置．(2)写出D点坐标为_________，并求的半径长．18．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，正六边形内接于，边长为2．(1)求的直径的长；(2)求的度数．19．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，是的直径，弦于点，是上的一点，、的延长线交于点(1)求证：；(2)若，的度数为，求的度数．20．（2025·河北秦皇岛·一模）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下：信息二：点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米．信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题(1)求喷泉的半径；(2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3.14，结果保留整数）21．（2020·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在中，，以为直径的交于，点在线段上，且．

(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径．22．（24-25九年级上·四川绵阳·阶段练习）已知，如图，中，，点在边上，是的外接圆，，．(1)证明：与相切；(2)如图1，连接，若，求长度；(3)如图2，作，与交于点，与交于点，若，求长度．23．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于线段和x轴上的点P，给出如下定义：若将线段绕点P旋转可以得到⊙的弦（分别为A，B的对应点），则称线段为以P为中心的“相关线段”．(1)如图，已知点，在线段，，中，以P为中心的“相关线段”是________；(2)已知点，线段是以P为中心的“相关线段”，求点F的横坐标的取值范围．(3)已知点，若直线上存在点F，使得线段是以P为中心的“相关线段”，直接写出m的取值范围：___________．专题24第24讲圆单元测试（培优提升卷）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）已知的半径是．点是内一点．则的长可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此题考查了点与圆的位置关系，熟知点与圆心的距离小于半径是正确解答此题的关键．当该点在圆内．则半径大于点到圆心的距离，据此即可作答．【详解】解：∵的半径为，点在内，∴，则A、B、C、D四个选项，唯有A选项的满足小于，故选：A．2．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，以△的边为直径作交于点，过点作于点．若要使是的切线，则下列补充的条件不正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】根据三角形中位线定理、平行线的性质与判定、切线的判定定理证明，判断即可．【解答】解：、，，是△的中位线，，，，是的切线，故本选项不符合题意；B、由选项可知：是的切线，故本选项不符合题意；C、，，，，，，，是的切线，故本选项不符合题意；D、当时，不能证明是的切线，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是切线的判定，三角形中位线定理、平行线的性质与判定，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）下列命题中，正确的是（）A．三个点确定一个圆 B．等弧所对的圆周角相等C．直角三角形的内心与外心重合 D．与圆的一条半径垂直的直线是该圆的切线【答案】B【分析】根据圆的确定，圆周角定理，内心和外心的定义，切线的定义逐一进行判断即可．【详解】A、不在同一条直线的三个点确定一个圆，选项说法错误，不符合题意；B、等弧所对的圆周角相等，选项说法正确，符合题意；C、直角三角形的内心和外心不重合，选项说法错误，不符合题意；D、经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，选项说法错误，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查圆的确定，圆周角定理，内心和外心的定义，切线的定义，熟练掌握不在同一条直线的三个点确定一个圆；等弧所对的圆周角相等；三角形的内心是三条角平分线的交点，外心是三边的中垂线的交点和切线的判定定理是解题的关键．4．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的直径，弦于点E，如果，则的长为（）

A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【分析】本题考查垂径定理，根据垂径定理得出即可得到答案【详解】解：∵是的直径，弦于点E，∴，故选B5．（2025·湖南长沙·二模）如图，是的直径，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．根据圆周角定理求解即可．【详解】解：和都对着，．故选：C．6．（21-22九年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（

）A．1 B．5 C．3 D．1或5【答案】D【分析】分圆P在轴的上方与轴相切和圆P在轴的下方与轴相切两种情况分别求解即可．【详解】解：当圆P在轴的上方与轴相切时，平移的距离为，当圆P在轴的下方与轴相切时，平移的距离为，综上所述，向下平移的距离为1或5．故选：D．【点睛】本题考查了相切的定义、平移变换等知识点，注意分类讨论是解答本题的关键．7．（2025·安徽滁州·一模）如图，四边形是的内接四边形，，，则的大小为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了圆内接四边形、三角形内角和定理，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．由四边形是的内接四边形，得到，得出，再在中利用三角形内角和定理即可求解．【详解】解：四边形是的内接四边形，，，，．故选：A．8．（2025·重庆·模拟预测）如图，在矩形中，点在边上，，以为圆心，的长为半径画弧，这条弧恰好经过点，且交于点，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查的是扇形的面积计算，掌握矩形的性质、等边三角形的性质和扇形的面积公式是解题的关键．根据矩形的性质得到为等边三角形，根据扇形的面积公式计算即可．【详解】如答图，连接，由题意得，，，，，则，为等边三角形，，阴影部分的面积为．故选：C．9．（2025·河南信阳·三模）如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点，在轴上，顶点在轴上，若正六边形的中心点的坐标为则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】过点P作与点K，延长交y轴与点N，连接，，，先证明四边形是矩形，再根据矩形的性质得出，由含30度直角三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，由勾股定理求出，求出点K的坐标即可得出点B的坐标．【详解】解：过点P作与点K，延长交y轴与点N，连接，，，则，，∵是正六边形，且中心角为，则，，∴，，∴，∴四边形是矩形，∵正六边形的中心点的坐标为∴，∴，∴，∴点K的坐标为：，∴B点的坐标为，故选：D．【点睛】此题考查了正多边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，写出直角坐标系中点的坐标，等腰直角三角形的判定和性质等知识，掌握正多边形的性质是解题的关键．10．（上海市闵行区2024-2025学年下学期七年级期末数学试题）一张直角三角形纸片，两条直角边长分别为a和，将纸片先绕长为b的直角边所在直线旋转一周，得到圆锥体甲；再绕长为a的直角边所在直线旋转一周，得到圆锥体乙，关于这两个圆锥体，有下列两个结论：①甲、乙的侧面积之比为；②甲、乙的体积之比为．对于结论①和②，下列说法正确的是（

）A．①正确，②错误 B．①②都正确C．①错误，②正确 D．①②都错误【答案】B【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积，圆锥的体积，分别计算绕不同直角边旋转形成的圆锥的侧面积和体积，再求比值判断结论是否正确．【详解】解：绕长为的直角边旋转，底面半径，高，母线，所以甲的侧面积，甲的体积；绕长为的直角边旋转，底面半径，高，母线，所以乙的侧面积，乙的体积．则侧面积之比：，故结论①正确；体积之比：，故结论②正确．综上，①②均正确．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2025·福建厦门·二模）已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为，则的半径可能为．（只写一个）【答案】6（或其他值）【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆和直线相交即可求解，掌握直线和圆的位置与圆心距d与半径r之间的关系是解题的关键．【详解】解：∵直线l与相交，圆心O到直线l的距离为，∴的半径大于，故答案为：6（或其他值）．12．（2025·广西南宁·模拟预测）圆底烧瓶是化学实验中常用的反应容器．图1是一个装有液体的圆底烧瓶（厚度忽略不计），图2是它的侧面示意图．若烧瓶中液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为；【答案】【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由垂径定理得到，设的半径为，则，，在中，根据勾股定理有，代入即可解答．【详解】解：连接，∵，∴，设的半径为，则，∴，∵在中，，即，解得：，∴的半径为．故答案为：．13．（24-25九年级下·全国·假期作业）如图，在正多边形中，若，则该多边形的边数为．【答案】10【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法以及圆周角定理是正确解答的关键．根据正多边形的性质，中心角的计算方法以及圆周角定理列方程求解即可【详解】解：如图，设这个正边形的外接圆为，连接，，则，，解得，经检验，是原方程的解，这个正多边形是正十边形，故答案为：10．14．（2025·山西朔州·三模）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的圆心角的度数是．【答案】/度【分析】本题考查了圆锥与扇形之间的关系，扇形的弧长，勾股定理；设圆锥的母线为，由勾股定理得，由弧长公式得，即可求解；理解圆锥与扇形之间的关系，掌握弧长公式是解题的关键．【详解】解：设圆锥的母线为，这个扇形的圆心角，，，，解得：，故答案为：．15．（2025·广东广州·二模）如图，正方形的边长为6，以边为直径在正方形内部作半圆，圆心为O，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则．【答案】【分析】本题考查了切线长定理，正方形的性质，勾股定理；由于与圆切于点，根据切线长定理有，；设．则，，然后在三角形中由勾股定理可以列出关于的方程，即可求出．【详解】解：与圆切于点，∴根据切线长定理有，，设，则，，在三角形中由勾股定理得：，，．故答案为：．16．（24-25九年级下·河北石家庄·开学考试）如图，在直角坐标系中，以点为圆心，画半径的圆，点为直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为

【答案】4【分析】设直线分别与轴，轴交于点，连接，先求出，再根据圆的切线的性质可得，根据勾股定理可得，从而可得当时，的值最小，则取得最小值，然后根据等腰三角形的判定和勾股定理可求出，由此即可得．【详解】解：如图，设直线分别与轴，轴交于点，连接，

当时，，解得，即，当时，，即，∴，∵轴轴，∴，∵的圆心为，半径为，∴，，∵是的切线，∴，即，∴，∴当的值最小时，取得最小值，由垂线段最短可知，当时，的值最小，∴此时，∴，∴，∴，∴的最小值为，故答案为：4．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定、一次函数的应用，正确找出当时，的值最小，则取得最小值是解题关键．三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在单位长度为1的正方形网格图中，一条圆弧经过网格点三点，请在网格中进行下列操作：

(1)在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置．(2)写出D点坐标为_________，并求的半径长．【答案】(1)答案见详解；(2)；【分析】（1）根据垂径定理得到圆的圆心D点的位置及坐标；（2）从图上可直接读出点D的坐标；根据勾股定理进行计算，得到答案．【详解】（1）由垂径定理得到圆的圆心D;如图所示：

（2）

D点坐标为；连接，由勾股定理得：【点睛】本题考查的是过三点的圆、垂径定理、勾股定理，掌握这些知识点是解题的关键．18．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，正六边形内接于，边长为2．(1)求的直径的长；(2)求的度数．【答案】(1)(2)【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理：（1）连接，求出的度数，得到是等边三角形，得到，即可得出结果；（2）根据圆周角定理，即可得出结果．【详解】（1）解：连接．∵正六边形内接于，∴，又，∴是等边三角形．∴．∴．（2）解：∵，∴．19．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，是的直径，弦于点，是上的一点，、的延长线交于点(1)求证：；(2)若，的度数为，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）利用，可得，再根据圆内接四边形性质可得，即可得到结论；（2）利用，可得，根据圆周角定理得到，再根据直角三角形两锐角互余即可得到的度数；【详解】（1）解：连接，∵，∴，∴，∵四边形是的内接四边形，∴，即：（2）∵，，∴，，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了垂径定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，掌握垂径定理是是解决本题的关键．20．（2025·河北秦皇岛·一模）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下：信息二：点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米．信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题(1)求喷泉的半径；(2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3.14，结果保留整数）【答案】(1)喷泉的半径为5米(2)大约需要安装25盏景观灯【分析】本题考查垂径定理，求圆的周长，熟练掌握垂径定理，是解题的关键：（1）连接，设喷泉的半径为，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可；（2）根据喷泉的半径求出防护栏的半径，进而求出防护栏的周长，进行求解即可．【详解】（1）解：连接，设喷泉的半径为，则：，∴，∵D是弦的中点，∴平分弦，，∴，∴，∴，∴米；答：喷泉的半径为5米；（2）解：由题意，得：米，（盏）；答：大约需要安装25盏景观灯．21．（2020·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在中，，以为直径的交于，点在线段上，且．

(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径．【答案】(1)证明见解析(2)1【分析】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等边对等角，正确的作出辅助线是解题的关键．（1）连接．根据等腰三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论；（2）根据切线的性质得到，求得．根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：连接．

，，，，，．，，是的切线；（2）解：，为直径，是的切线．是的切线，，，．，在中，，，．的半径为1．22．（24-25九年级上·四川绵阳·阶段练习）已知，如图，中，，点在边上，是的外接圆，，．(1)证明：与相切；(2)如图1，连接，若，求长度；(3)如图2，作，与交于点，与交于点，若，求长度．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）作直径与交于点H，由圆周角定理得到，由等腰三角形的三线合一得到，，再根据平行即可得到，继而求证；（2）设半径为，由勾股定理得，则，在中，由勾股定理得，解得：，则，证明，则，在中，，在中，；（3）解：连接，与交于点，显然四边形是平行四边形，则，导角得到，而在平行四边形中，，而，导角则，故，由中位线得到，则，，．【详解】（1）证明：作直径与交于点H，∵，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，而是直径，∴与相切；（2）解：连接，设半径为，∵，∴，∵在中，，∴由勾股定理得：，∴，∵在中，由勾股定理得：∴，解得：，∴∵，∴，∵，∴，而，∴，又∵，∴，∴，∴在中，，在中，则，∴；（3）解：连接，与交于点∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴平分，即，又，∴，而在平行四边形中，，而，∴，∴，∴，∵，∴，∵是直径，∴，∴，又点为中点，点为中点，∴，在中，，∴，在中，，∴，在中，，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，弧、弦之间的关系，平行四边形的判定与性质，综合性很强，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键．23．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角