18用样本估计总体的方法-解析

第18讲用样本估计总体的方法一、频率分布直方图作频率分布直方图的步骤①求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差.②决定组距与组数：将数据分组时，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来.③将数据分组④列频率分布表：各小组的频率＝eq\f(小组频数,样本容量).⑤画频率分布直方图纵轴表示eq\f(频率,组距)，eq\f(频率,组距)实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，小长方形的面积＝组距×eq\f(频率,组距)＝频率.二、频率分布直方图的性质①因为小矩形的面积＝组距×eq\f(频率,组距)＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.③eq\f(频数,相应的频率)＝样本容量.④频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性.三、百分位数①百分位数定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值.②常用的百分位数1.四分位数：第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数.2.其它常用的百分位数：第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数，第99百分位数.③计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤如下：第1步，按从小到大排列原始数据；第2步，计算i＝n×p%；第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数.【例题1】1、一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，则该组数据的第75百分位数为_____．【答案】14.5【分析】根据百分位数的计算方法求解即可.故答案为：14.52、某科研单位对ChatGPT的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第75百分位数为（

）A．78.5 B．82.5 C．85 D．87.5【解题思路】根据百分位数计算规则计算可得.【解答过程】因为0.01+0.025+0.035×10=0.7<0.750.01+0.025+0.035+0.02×10=0.9>0.75所以第75百分位数位于80,90，设为x，则0.01+0.025+0.035×10+0.02x−80=0.75故选：B.【练习】1、为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顾序排列，单位：）56

56

57

58

59

59

61

63

64

65

66

68

69

70

73

74

83据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为______【答案】【分析】根据百分位数的求法求得正确答案.数据从小到大第个数是，所以第75百分位数为故答案为：第80百分位数为66（2）由频率分布直方图可知，40名读书者年龄的众数约为55；所以这40名读书者年龄的第80百分位数约为66.A．该班学生体能成绩的中位数是75分B．该班占40%的同学体能成绩达到优秀（80分及以上为优秀）C．该班学生体能成绩的平均数是77分D．该班学生体能成绩的众数是78分【答案】C【分析】根据公式，根据频率分布直方图，分别计算中位数，平均数，众数等.D.众数应该是77.5，故D错误.故选：C【练习】1、在一次数学智力测验中，将100名参赛者的成绩进行分组整理后得到如下频率分布直方图（每组为左闭右开的区间），根据此频率分布直方图，下列结论正确的是（

）

A．这100名学生中成绩在80,90内的频率为0.012B．这100名学生中成绩在70,90内的人数为14C．这100名学生的平均成绩为68.2（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）D．这100名学生成绩的中位数为75【解题思路】由概率之和为1可判断A；结合频率与频数的关系可判断B；结合平均数的公式可判断C；由中位数的公式可判断D.【解答过程】由频率分布直方图可得0.008+a+0.020+0.032+0.020+0.008×10=1，解得a=0.012所以成绩在80,90内的频率为0.012×10=0.12，故A不正确；这100名学生中成绩在70,90内的频率为0.020+0.012×10=0.32所以成绩在70,90内的人数为32，故B不正确；根据频率分布直方图平均数的计算公式可得x=45×0.08+55×0.2+65×0.32+75×0.2+85×0.12+95×0.08=68.2根据频率分布直方图可得，中位数在60,70之间，故D不正确.故选：C.2、某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（

）A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的占比为0.3C．估计该学生每日完成作业时间的平均数为2.75小时D．估计该学生每日完成作业时间的中位数与平均数相等【解题思路】直接根据直方图来计算判断每一个选项.【解答过程】对于A：估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有100×0.5×0.5=25天，A错误；对于B：估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3+0.2+0.1+0.1×0.5=0.35对于C：1.25×0.1+1.75×0.3+2.25×0.5+2.75×0.4+3.25×0.3+3.75×0.2+4.25×0.1+4.75×0.1×0.5=2.75对于D：估计该学生每日完成作业时间的中位数为x，则0.1+0.3+0.5×0.5+0.4×x−2.5=0.5故选：C.（1）求的值，并估计此次校内测试分数的平均值；(2)，进入【分析】（1）由各组的频率和为1，可求出的值，再根据平均数的定义可求出；该次校内考试测试分数的平均数的估计值为：【练习】1、某“双一流A类”大学就业部从该校2020年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率直方图，同一组数据用该区间的中点值作代表.（1）求这100人月薪收入的样本平均数和样本方差；（2）该校在某地区就业的上届毕业生共50人，决定于今年国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：方案二：按每人个月薪水的3%收取.用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用.(2)方案一【分析】（1）以每组的中点值代表该组的数据求解平均数，再根据公式计算方差即可；（2）根据题意分别计算两种方案的费用，再判断即可.（1）（2）故方案一能收到更多的费用.【例题4】BMI（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：BMI=体重(单位:kg)身高2单位:m2．中国成人的（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比；（2）估计该公司员工的BMI值的众数，中位数；（3）已知样本中60名男员工BMI值的平均数为u1=22.4，根据频率分布直方图，估计样本中40名女员工BMI值的平均数【解题思路】（1）利用频率之和为1可计算a的值，再结合频率分布直方图即可得肥胖的百分比；（2）利用频率分布直方图即可估计众数，中位数；（3）先计算整体的平均数，然后由分层抽样平均数的公式即可得解．【解答过程】（1）由题，2×(0.01+0.02+0.03+0.06+0.07+0.08+a+0.13)=1，解得：a=0.1，由频率分布直方图可得，该公司员工为肥胖的百分比为2×(0.01+0.03)×100%（2）由频率分布直方图可得，众数为18+202因为2×(0.08+0.13)=0.42<0.5，2×(0.08+0.13+0.1)=0.62>0.5，故中位数在[20,22)，设为m，则m=20+0.5−0.42（3）设样本平均数为x，则由频率分布直方图可得；x=2×(17×0.08+19×0.13+21×0.1+23×0.06+25×0.07+27×0.02+29×0.01+31×0.03)=21.64又x=即60×22.4+40μ2100【练习】1、肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题.目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康.我国成人的BMI数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖.为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了60名男员工、40名女员工的身高和体重数据，通过计算得到男女员工的BMI值并将女员工的BMI值绘制成如图所示的频率分布直方图：（1）求图中a的值，并估计样本中女员工BMI值的70%分位数；（2）已知样本中男员工BMI值的平均数为22，试估计该公司员工BMI值的平均数.【解题思路】（1）根据频率分布直方图的矩形面积之和为1可求出a的值，再根据百分位数的定义求解70%分位数；（2）先根据频率分布直方图计算女员工的平均BMI值，再求解该公司员式BMI值的平均数即可.【解答过程】（1）由题意得2×(0.08+0.13+a+0.06+0.07+0.02+0.01+0.03)=1，解得a=0.10，因为2×(0.08+0.13+0.10)=0.62<0.7，2×(0.08+0.13+0.10+0.06)=0.74>0.7，所以70%分位数在[22,24)，设70%分位数为0.62+0.06×(x−22)=0.7，解得x=70所以样本中女员工BMI值的70%分位数为703（2）由题意得，样本中女员工BMI值的平均数为2×(17×0.08+19×0.13+21×0.10+23×0.06+25×0.07+27×0.02+29×0.01+31×0.03）=21.64，所以估计该公司员工BMI值的平均数为22×60+21.64×40100【例题5】2017年至2022年某省年生产总量及其增长速度如图所示，则下列结论错误的是（

）A．2017年至2022年该省年生产总量逐年增加B．2017年至2022年该省年生产总量的极差为14842.3亿元C．2017年至2022年该省年生产总量的增长速度逐年降低D．2017年至2022年该省年生产总量的增长速度的中位数为7.6%【解题思路】根据给定的条形图和折线图，逐项分析判断即得.【解答过程】对于A，观察条形图知，2017年至2022年该省年生产总量逐年增加，A正确；对于B，2017年至2022年该省年生产总量的极差为48670.4−33828.1=14842.3（亿元），B正确；对于C，2017年至2020年该省年生产总量的增长速度逐年降低，而2021年该省年生产总量的增长速度比2020年该省年生产总量的增长速度高，C错误；对于D，2017年至2020年该省年生产总量的增长速度由小到大排列为：3.8%因此增长速度的中位数为7.6%故选：C.【练习】1、下图为某同学两次月考成绩占总成绩百分数的扇形统计图，已知该同学第一次月考总分低于第二次月考总分，则（

）A．该同学数学学科成绩一定下降 B．该同学政治学科成绩一定下降C．该同学化学学科成绩可能下降 D．该同学语文学科成绩一定提升【解题思路】根据扇形统计图一一分析即可.【解答过程】对于A：第一次月考数学成绩占16%，第二次月考数学成绩占17且第一次月考总分低于第二次月考总分，所以第二次月考数学成绩比第一次数学成绩要高，故A错误；对于B：第一次月考政治成绩占17%，第二次月考政治成绩占16由于只知道第一次月考总分低于第二次月考总分，故无法判断这两次月考政治学科成绩的变化，故B错误；对于C：第一次月考化学成绩占16%，第二次月考化学成绩占17且第一次月考总分低于第二次月考总分，所以第二次月考化学成绩比第一次化学成绩要高，故C错误；对于D：第一次月考语文成绩占16%，第二次月考语文成绩占18且第一次月考总分低于第二次月考总分，所以第二次月考语文成绩比第一次语文成绩要高，故D正确.故选：D.2、如图为近一年我国商品零售总额和餐饮收入总额同比增速情况折线图，根据该图，下列结论正确的是（

）（注：同比，指当前的数据与上一年同期进行比对；环比，指当前数据与上个月的数据进行比对.）A．2024年1∼2月份，商品零售总额同比增长9.2B．2023年3∼12月份，餐饮收入总额同比都降低C．2023年6∼10月份，商品零售总额同比都增加D．2023年12月，餐饮收入总额环比增速为−14.1【解题思路】根据折线统计图一一分析即可.【解答过程】对于A，2024年1∼2月份，商品零售总额同比增长2.9%对于B，2023年8月份，餐饮收入总额同比增加，故B错误；对于C，2023年6∼10月份，商品零售总额同比都增加，故C正确；对于D，2023年12月，餐饮收入总额环比增速并未告知，故D错误.故选：C.课堂检测1、下列4个抽样中，简单随机抽样的个数是（）①从无数个个体中抽取50个个体作为样本；②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；③某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的党员官兵赶赴某市参加抗震救灾工作；④一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签.A．0 B．1C．2 D．3【解题思路】根据简单随机抽样的特点逐个判断.【解答过程】①不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.②不是简单随机抽样.虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”.③不是简单随机抽样.因为50名党员官兵是从中挑出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求.④是简单随机抽样.因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，等可能的抽样.故选：B.2、某学校组建了演讲，舞蹈，航模，合唱，机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委将统计结果绘制成如下两个不完整的统计图，则合唱社团的人数占全体学生人数的百分比为40%.【解题思路】根据直方图和饼图中数据求总人数，再由合唱社团人数求其百分比即可.【解答过程】由统计图知，演讲社团共有50人，占比10%，则总人数为50又合唱社团共有200人，占比为200500故答案为：40%3、某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试，先将40个零件进行编号，编号分别为01,02,⋯⋯,40，从中抽取8个样本，下面提供随机数表的第1行到第3行：0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，62029774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，32141676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（

）A．37 B．32 C．14 D．16【解题思路】根据随机数表法的应用，按照已知的要求选出五个三个数字组成编号即可．【解答过程】依题意从第2行第7列开始的数为67（舍去），62（舍去），42（舍去），81（舍去），14，57（舍去），20，42（舍去），53（舍去），32，37，32（舍去），14（舍去），16，则满足条件的5个样本编号为14，20，32，37，16，则第5个编号为16．故选：D.4、已知全国农产品批发价格200指数月度变化情况如图所示，下列选项正确的是（

）A．全国农产品夏季价格比冬季低B．全国农产品批发价格200指数2023年每个月逐渐增加C．2023年“菜篮子”产品批发价格指数与农产品批发价格200指数的变化趋势基本保持一致D．2023年6月农产品批发价格200指数大于116【解题思路】由图表直接观察一一分析选项即可.【解答过程】对于A,图中给的是批发价格200指数，所以并不能确定农产品的价格变化，故A错误；对于B，全国农产品批发价格200指数2023年4－6月呈下降趋势，并未增加，故B错误；对于C，根据图中曲线的变化趋势可发现2023年“菜篮子”产品批发价格指数与农产品批发价格200指数的变化趋势基本保持一致，故C正确；对于D，2023年6月农产品批发价格200指数在115附近，故D错误．故选：C.5、已知数据x1，x2，⋯，x9的方差为25，则数据3x1+1，3xA．25 B．75 C．15 D．5【解题思路】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.【解答过程】因为数据x1，x2，⋯，所以另一组数据3x1+1，3x2+1，故所求的标准差为225=15故选：C.6、在某次高中数学模拟考试中，对800名考生的考试成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间分别为40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100.若考生成绩在70,80内的人数为m，考生成绩在80,100内的人数为n，则m−n=（

）A．20 B．10 C．60 D．40【解题思路】由频率分布直方图求出m、n，即可得解.【解答过程】由频率分布直方图可得m=800×0.03×10=240，n=800×0.01+0.015所以m−n=240−200=40.故选：D.7、兴义市峰林布依景区在春节期间，迎来众多游客，其中某天接受了一个小型的旅行团，他们的年龄（单位：岁）如下：6，6，7，8，10，37，39，45，46，52，53，61，则这组数据的第75百分位数是（

）A．34.5 B．46 C．49 D．52【解题思路】根据题意结合百分位数的定义运算求解.【解答过程】因为12×75%=9，所以这组数据的第75百分位数是第9位数和第10位数的中位数故选：C.8、如表是某公司员工月收入的资料.月收入/元45000180001000055005000340033001000人数111361111能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（

）A．平均数和众数 B．平均数和中位数C．中位数和众数 D．平均数和方差【解题思路】求出数据的众数和中位数，再与25名员工的收入进行比较即可.【解答过程】公司共有员工1+1+1+3+6+1+11+1=25人，该公司员工月收入的众数为3300元，在25名员工中有13人这此数据之上，因此众数能够反映该公司全体员工月收入水平；月收入由小到大排列，3400为第13个数，因此该公司员工月收入的中位数为3400元；在25名员工中在此数据及以上的有13人，则中位数也能够反映该公司全体员工月收入水平，而25名员工月收入的平均数45000+18000+10000+3×5500+6×5000+3400+11×3300+100025受极端数据45000、18000等影响，平均数偏离多数人的收入水平，而方差是表征数据波动大小的量，所以能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是中位数和众数.故选：C.9、【多选】某次物理考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于80,90内的学生成绩方差为12，成绩位于90,100内的同学成绩方差为10．则（

）A．a=0.005B．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为86.50C．估计该年级学生成绩的中位数约为76.14D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25【解题思路】对于A选项，由各组频率之和为1求参数；对于B选项，两组求加权平均数可得；对于C选项，由频率分布直方图面积与0.5比较，估计中位数所在区间，利用面积关系建方程求解可得；对于D选项，由两组成绩的方差与两组总方差的关系求解即可.【解答过程】对于A选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1，则2a+3a+7a+6a+2a×10=200a=1，解得a=0.005对于B选项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为6a6a+2a对于C选项，前两个矩形的面积之和为2a+3a前三个矩形的面积之和为2a+3a+7a×10=120a=0.6>0.5设该年级学生成绩的中位数为m，则m∈70,80根据中位数的定义可得0.25+m−70×0.035=0.5，解得所以，估计该年级学生成绩的中位数约为77.14，故C错误；对于D选项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为34故选：AD.10、对某景区随机选择100名游客对该景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，求x的值；（2）估计这100名游客对景区满意度评分的70%【解题思路】（1）根据直方图中频率和为1即可求解；（2）由百分位数的定义，结合直方图即可求解；【解答过程】（1）由图可知：10×0.005+0.01+0.015+x+0.04=1，解得：（2）根据频率分布直方图可知：10×0.005+0.01+0.015+0.030.7<10×所以70%分位数在区间90,100内，令其为m则0.6+0.04×m−90解得：m=92.5所以满意度评分的70%分位数为92.5课后作业【答案】C【分析】根据平均值的性质求得平均数，然后利用方差的概念求解即可判断各项.故选：CA．26，54 B．26，56 C．24，54 D．24，56【答案】A【分析】根据平均数、方差的性质求解．根据平均数和方差性质可得故选：A3、众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.根据某小区1000户居民的月均用水量数据（单位：），得到如图所示的频率分布直方图，记该组数据的众数为，中位数为，平均数为，则（

）【答案】D【分析】由频率分布直方图结合中位数以及众数的计算即可比较大小.【详解】观察频率分布直方图，发现是属于右边“拖尾”，所以平均数大于中位数为，故选：D.C．50名学生成绩的平均分小于中位数D．50名学生成绩的极差为50【答案】DC项，根据频率分布直方图，可得50名学生成绩的平均数是所以50名学生成绩的平均分小于中位数，故选项C正确；D项，极差为数据中最大值与最小值的差，但成绩的最大值不一定是100，最小值也不一定是，故极差小于等于，但不一定等于50，故D错误.故选：D.B．估计样本数据的第60百分位数值是7.5小时C．样本的极差介于6小时至10小时之间D．估计这2000名学生每周自主阅读时间的平均值是6.5小时【答案】D【详解】选项A，由每周自主阅读时间不低于8小时的频率为0.3，故估计样本数据的第60百分位数值是7.5小时，故B正确；选项C，设样本数据中的最小值为，最大值为，即样本的极差介于6小时至10小时之间，故C正确；估计这2000名学生每周自主阅读时间的平均值是小时，故D错误.故选：D.6、《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种算法.某研究学习小组共10人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为68，58，38，41，47，63，82，48，32，31，则这组数据的（

）C．极差是38 D．中位数是44【答案】B【分析】由众数、百分位数、极差、中位数的定义即可得出答案.【详解】由题知，每个数出现的次数都是一次，A错误；将这10个数据从小到大排列为31，32，38，41，47，48，58，63，68，82；故选：B.7、若数据，，，，，，，，，的平均数为20，则数据，，，，，，，，，与数据，，，，，，，，，，20有相同的（

）A．平均数 B．中位数C．极差 D．方差【答案】A【分析】由平均数、中位数、极差和方差的定义和计算公式对选项一一判断即可得出答案.【详解】因为数据，，，，，，，，，的平均数为20，对于A，数据，，，，，，，，，，20的平均数为：对于B、C,无法确定数据，，，，，，，，，，20的大小，所以无法确定它们的中位数和极差，故B，C错误；对于D，数据，，，，，，，，，的方差为：数据，，，，，，，，，，20的方差为：故选：A.8、【多选】已知样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的6个样本如图所示，甲绘制折线图时忘记标注样本数据，则（

）A．样本A的极差小于样本B的极差B．样本A的70%分位数小于样本B的30%分位数C．样本A的平均数小于样本B的平均数D．样本A的方差小于样本B的方差【答案】ACD【分析】A选项，分析两组数据，结合极差定义得A正确；B选项，利用百分位数的定义得到B正确；C选项，分析两组数据，结合平均数定义得到C正确；D选项，样本A的离散程度小于样本B的离散程度，D正确