2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2教学案第二章2.1合情推理与演绎推理

第1课时合情推理[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P22～P29的内容，回答下列问题．(1)哥德巴赫提出猜想的推理过程是什么？提示：通过对一些偶数的验证，他发现它们总可以表示成两个奇质数之和，而且没出现反例．于是提出猜想——“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和”．(2)观察教材P24～P25的几个实例，这几个推理是归纳推理吗？它们有什么共同特点？提示：这几个推理不是归纳推理．它们的共同特点是两类事物间的推理．2．归纳总结，核心必记(1)归纳推理①归纳推理的定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．②归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①类比推理的定义由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理．②类比推理的特征类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理①含义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．②合情推理的过程：eq\x(从具体问题出发)eq\x(\a\al(观察、分析,比较、联想))eq\x(归纳、类比)eq\x(\a\al(提出,猜想))[问题思考](1)归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？提示：归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．(2)eq\f(2,3)<eq\f(2＋1,3＋1)，eq\f(2,3)<eq\f(2＋2,3＋2)，eq\f(2,3)<eq\f(2＋3,3＋3)，…由此猜想：eq\f(2,3)<eq\f(2＋m,3＋m)(m为正实数)．上述推理是归纳推理还是类比推理？提示：归纳推理．(3)由平面内平行于同一直线的两直线平行，猜想：空间中平行于同一平面的两个平面平行．此推理是归纳推理还是类比推理？提示：类比推理．[课前反思](1)归纳推理的定义和特征各是什么？(2)类比推理的定义和特征各是什么？(3)归纳推理和类比推理有什么不同？角度一：数(式)中的归纳推理讲一讲1．(1)观察下列各式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，……照此规律，第n个等式可为________．(2)(链接教材P23－例2)若数列{an}的通项公式an＝eq\f(1,n＋12)(n∈N*)，记f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)的表达式．[尝试解答](1)左边各项幂的底数→右边各项幂的底数1→1，1,2→3，1,2,3→6，1,2,3,4→10，由左、右两边各项幂的底数之间的关系：1＝1，1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，可得一般性结论：13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2，即13＋23＋33＋…＋n3＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2.(2)∵an＝eq\f(1,n＋12)，∴a1＝eq\f(1,4)，a2＝eq\f(1,9)，a3＝eq\f(1,16).∴f(1)＝1－a1＝eq\f(3,4)，f(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,9)))＝eq\f(4,6)，f(3)＝eq\f(3,4)×eq\f(8,9)×eq\f(15,16)＝eq\f(5,8).∴推测f(n)＝eq\f(n＋2,2n＋2).[答案](1)13＋23＋33＋…＋n3＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2(1)根据给出的几个具体等式归纳其一般结论时，要注意从等式的项数、次数、分式的分子与分母各自的特点及变化规律入手进行归纳，要注意等式中项数、次数等与等式序号n的关系，发现其规律，然后用含有字母的等式表示一般性结论．(2)数列中的归纳推理的方法：①通过所给的条件求得数列中的前几项；②观察数列的前几项，寻求项与项数之间的规律，猜测数列的通项公式并加以证明．练一练1．观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…照此规律，第n个等式可为___________________．解析：观察规律可知，第n个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1,2).答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1,2)角度二：图形中的归纳推理讲一讲2．(1)有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A．26B．31C．32D．36(2)把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是________．[尝试解答](1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6块有纹正六边形围绕(第一个图案)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.(2)第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.[答案](1)B(2)28解决图形中归纳推理的方法解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手：(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．练一练2．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图)．则第n个正方形数是()A．n(n－1)B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2解析：选C观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.讲一讲3．三角形与四面体有下列共同的性质：(1)三角形是平面内由线段所围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看做平面上一条线段外一点与这条直线段上的各点连线所形成的图形；四面体可以看做三角形外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：三角形四面体三角形两边之和大于第三边三角形的中位线等于第三边的一半并且平行于第三边三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心三角形的面积S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r(r为三角形内切圆的半径)[尝试解答]三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四面体的面，即平面的线类比空间的面；三角形的中位线对应四面体的中截面，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球．具体见下表：三角形四面体三角形两边之和大于第三边四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的中位线等于第三边的一半并且平行于第三边四面体的中截面的面积等于第四个面面积的eq\f(1,4)，且平行于第四个面三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体的内切球的球心三角形的面积为S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r(r为三角形内切圆的半径)四面体的体积为V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r(S1、S2、S3、S4为四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径)(1)类比推理的一般步骤：①找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)；②用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个明确的命题(猜想)．(2)运用类比推理的关键是确定类比对象，常见的类比对象有：①平面几何与立体几何：能进行类比的基本元素有：②实数相等关系与不等关系；方程与不等式的性质．③实数满足的运算律与向量满足的运算律．④等差数列与等比数列的定义及性质．⑤圆锥曲线的定义及性质．练一练3．如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如图所示，在四面体P­ABC中，S1，S2，S3，S分别为△PAB，△PBC，△PAC，△ABC的面积，α，β，γ分别为侧面PAB，侧面PBC，侧面PAC与底面ABC所成二面角的大小，猜想：在四面体P­ABC中，S＝S1cosα＋S2cosβ＋S3cosγ.———————————[课堂归纳——感悟提升]—————————————1．本节课的重点是归纳推理和类比推理的应用．难点是对归纳推理、类比推理结论的真假判定．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)数(式)中的归纳推理，见讲1；(2)图形中的归纳推理，见讲2；(3)类比推理的应用，见讲3.课下能力提升(三)[学业水平达标练]题组1数(式)中的归纳推理1．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是()A．ak＋ak＋1＋…＋a2kB．ak－1＋ak＋…＋a2k－1C．ak－1＋ak＋…＋a2kD．ak－1＋ak＋…＋a2k－2解析：选D利用归纳推理可知，第k项中第一个数为ak－1，且第k项中有k项，且次数连续，故第k项为ak－1＋ak＋…＋a2k－2.2．如图所示，n个连续自然数按规律排列如下：根据规律，从2014到2016的箭头方向依次为()A．→↑B．↑→C．↓→D．→↓解析：选B观察总结规律为：以4个数为一个周期，箭头方向重复出现．因此，2014到2016的箭头方向和2到4的箭头方向是一致的．故选B.3．根据给出的等式猜测×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝A．B．C．D．解析：选B由题中给出的等式猜测，应是各位数都是1的七位数，即.4．设函数f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x＞0)，观察：f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f(f1(x))＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f(f3(x))＝eq\f(x,15x＋16)，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.解析：根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…，可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故fn(x)＝eq\f(x,2n－1x＋2n).答案：eq\f(x,2n－1x＋2n)题组2图形中的归纳推理5．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色()A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大解析：选A由图，知三白二黑周期性排列，36＝5×7＋1，故第36颗珠子的颜色为白色．6．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则这个数列的一个通项公式为()A．an＝3n－1B．an＝3nC．an＝3n－2nD．an＝3n－1＋2n－3解析：选A∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，∴猜想an＝3n－1.7．如图所示，在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段，将圆最多分割成4部分；画三条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画四条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分．猜想：在圆内画n(n≥2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？解：设圆内两两相交的n条线段，彼此最多分割成的线段为f(n)条，将圆最多分割为g(n)部分．f(1)＝1＝12，g(1)＝2；f(2)＝4＝22，g(2)＝4＝2＋2；f(3)＝9＝32，g(3)＝7＝2＋2＋3；f(4)＝16＝42，g(4)＝11＝2＋2＋3＋4；猜想：f(n)＝n2，g(n)＝2＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋eq\f(1＋nn,2)＝eq\f(n2＋n＋2,2).即圆内两两相交的n(n≥2)条线段，彼此最多分割为n2条线段，将圆最多分割为eq\f(n2＋n＋2,2)部分．题组3类比推理8．已知{bn}为等比数列，b5＝2，且b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：选D等比数列中的积(乘方)类比等差数列中的和(积)，得a1＋a2＋…＋a9＝2×9.9．在平面中，△ABC的∠ACB的平分线CE分△ABC面积所成的比eq\f(S△AEC,S△BEC)＝eq\f(AC,BC)，将这个结论类比到空间：在三棱锥A­BCD中，平面DEC平分二面角A­CD­B且与AB交于E，则类比的结论为________．解析：平面中的面积类比到空间为体积，故eq\f(S△AEC,S△BEC)类比成eq\f(VA­CDE,VB­CDE).平面中的线段长类比到空间为面积，故eq\f(AC,BC)类比成eq\f(S△ACD,S△BDC).故有eq\f(VA­CDE,VB­CDE)＝eq\f(S△ACD,S△BDC).答案：eq\f(VA­CDE,VB­CDE)＝eq\f(S△ACD,S△BDC)10．在矩形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1，在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明．解：如图①，在矩形ABCD中，cos2α＋cos2β＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))2＝eq\f(a2＋b2,c2)＝eq\f(c2,c2)＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，证明如下：如图②，cos2α＋cos2β＋cos2γ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,l)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,l)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(g,l)))2＝eq\f(m2＋n2＋g2,l2)＝eq\f(l2,l2)＝1.[能力提升综合练]1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72016的末两位数字为()A．01B．43C．07D．49解析：选A因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2401，75＝16807,76＝，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.又2016＝4×504，所以72016的末两位数字与74的末两位数字相同，为01.2．定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应下列4个图形：那么下列4个图形中，可以表示A*D，A*C的分别是()A．(1)，(2)B．(1)，(3)C．(2)，(4)D．(1)，(4)解析：选C由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，∴A*D是(2)，A*C是(4)．3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A．289B．1024C．1225D．1378解析：选C记三角形数构成的数列为{an}，则a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bn＝n2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n都为正整数的只有1225.4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，eq\f(T16,T12)成等比数列．解析：等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比数列．答案：eq\f(T8,T4)eq\f(T12,T8)5．将正整数排成下表：12345678910111213141516……则在表中数字2016出现在第________行，第________列．解析：第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936＜2016＜2025，∴2016在第45行．又2025－2016＝9，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2016在第89－9＝80列．答案：45806．已知椭圆具有以下性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)写出具有类似特征的性质，并加以证明．解：类似的性质为：若M，N是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．证明如下：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则N(－m，－n)．因为点M(m，n)在已知的双曲线上，所以eq\f(m2,a2)－eq\f(n2,b2)＝1，得n2＝eq\f(b2,a2)m2－b2.同理，y2＝eq\f(b2,a2)x2－b2，则y2－n2＝eq\f(b2,a2)(x2－m2)．所以kPM·kPN＝eq\f(y－n,x－m)·eq\f(y＋n,x＋m)＝eq\f(y2－n2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)·eq\f(x2－m2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)(定值)．所以kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．7．如图所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N*，m≥2)．(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；(2)若把(1)中的数列记为{an}，归纳该数列的通项公式；(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；(4)已知an＝9900，问an是数列第几项？解：(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想an＝(n＋1)(n＋2)，n∈N*.(3)a10＝11×132.a132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n＋1)(n＋2)＝9900，所以n＝98，即an是数列的第98项，此时方阵为99行100列．第2课时演绎推理[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P30～P33的内容，回答下列问题．阅读教材中的5个推理(如下所示)，并回答问题：①所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电；②太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，天王星是太阳系的行星，因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行；③一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；④三角函数都是周期函数，tanα是三角函数，因此tanα是周期函数；⑤两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°.(1)以上五个推理有什么共同特点？提示：都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．(2)以上五个推理，都有三段，每一段在“推理”中各自名称是什么？提示：第一段称为“大前提”，第二段称为“小前提”，第三段称为“结论”．2．归纳总结，核心必记(1)演绎推理的概念从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)三段论“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．“三段论”可以表示为：大前提：M是P.小前提：S是M.结论：S是P.[问题思考](1)“三段论”就是演绎推理吗？提示：不是．三段论是演绎推理的一般模式．(2)演绎推理的结论一定正确吗？提示：因为演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确．(3)如何在演绎推理中分清大前提、小前提和结论？提示：在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断．例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有的一般意义．[课前反思](1)演绎推理的定义是什么？；(2)“三段论”的内容是什么？；(3)演绎推理与合情推理有什么区别？..[思考]如何将演绎推理写成三段论的形式？名师指津：三段论由大前提、小前提和结论组成；大前提提供一般原理，小前提提供特殊情况，两者结合起来，体现一般原理与特殊情况的内在联系，在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提．讲一讲1．把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾；(2)一切偶数都能被2整除，256是偶数，所以256能被2整除；(3)函数y＝x＋5的图象是一条直线．[尝试解答](1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，大前提在一个标准大气压下把水加热到100℃，小前提水会沸腾．结论(2)一切偶数都能被2整除，大前提256是偶数，小前提256能被2整除．结论(3)因为一次函数的图象是一条直线，大前提y＝x＋5是一次函数，小前提所以y＝x＋5的图象是一条直线．结论将演绎推理写成三段论的方法(1)用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提．(2)用三段论写推理过程中，有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略．(3)在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．练一练1．试将下列演绎推理写成三段论的形式：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行；(2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热；(3)一次函数是单调函数，函数y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数；(4)等差数列的通项公式具有an＝pn＋q(p，q是常数)的形式，数列1,2,3，…，n是等差数列，所以数列1,2,3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式．解：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，大前提海王星是太阳系中的大行星，小前提海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．结论(2)所有导体通电时发热，大前提铁是导体，小前提铁通电时发热．结论(3)一次函数都是单调函数，大前提函数y＝2x－1是一次函数，小前提y＝2x－1是单调函数．结论(4)等差数列的通项公式具有an＝pn＋q的形式，大前提数列1,2,3，…，n是等差数列，小前提数列1,2,3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式．结论讲一讲2．(链接教材P31—例6)如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．[尝试解答]因为同位角相等，两条直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以ED＝AF.结论(1)用“三段论”证明命题的格式eq\x(\a\al(××××××大前提,××××××小前提,××××××结论))(2)用“三段论”证明命题的步骤①理清证明命题的一般思路；②找出每一个结论得出的原因；③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．练一练2．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，求证：EF∥平面BCD.证明：三角形的中位线平行于第三边，大前提点E、F分别是AB、AD的中点，小前提所以EF∥BD.结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则此直线与此平面平行，大前提EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，EF∥BD，小前提EF∥平面BCD.结论讲一讲3．(链接教材P32—例7)已知函数f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a＞1)，求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．[尝试解答]对于定义域内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，若x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在该区间上是增函数．大前提设x1，x2是(－1，＋∞)上的任意两实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝ax1＋eq\f(x1－2,x1＋1)－ax2－eq\f(x2－2,x2＋1)＝ax1－ax2＋eq\f(x1－2,x1＋1)－eq\f(x2－2,x2＋1)＝ax1－ax2＋eq\f(3x1－x2,x1＋1x2＋1)，∵a＞1，且x1＜x2，∴ax1＜ax2，x1－x2＜0.又∵x1＞－1，x2＞－1，∴(x1＋1)(x2＋1)＞0.∴f(x1)－f(x2)＜0.∴f(x1)＜f(x2)．小前提∴函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．结论使用三段论应注意的问题(1)应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确严密的，才能得出正确的结论．(2)证明中常见的错误：①条件分析错误(小前提错)．②定理引入和应用错误(大前提错)．③推理过程错误等．练一练3．已知等差数列{an}的各项均为正数且lga1，lga2，lga4成等差数列，又bn＝eq\f(1,a2n)(n＝1,2,3，…)．求证：数列{bn}为等比数列．证明：因为lga1，lga2，lga4成等差数列，所以2lga2＝lga1＋lga4，即aeq\o\al(2,2)＝a1a4.设等差数列{an}的公差为d，则(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即a1d＝d2，从而d(d－a1)＝0.①若d＝0，数列{an}为常数列，故数列{bn}也是常数列，此时{bn}是首项为正数、公比为1的等比数列．②若d＝a1≠0，则a2n＝a1＋(2n－1)d＝2nd，所以bn＝eq\f(1,a2n)＝eq\f(1,2nd).所以当n≥2时，eq\f(bn,bn－1)＝eq\f(\f(1,2nd),\f(1,2n－1d))＝eq\f(1,2).所以数列{bn}是以eq\f(1,2d)为首项、eq\f(1,2)为公比的等比数列．综上，数列{bn}为等比数列．———————————[课堂归纳——感悟提升]—————————————1．本节课的重点是三段论，难点是用三段论证明有关问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)用三段论表示演绎推理，见讲1；(2)用三段论证明几何、代数问题，见讲2和讲3.3．在数学问题的证明题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提，将一般性原理应用于特殊情况，只要推理形式准确，就能恰当准确地解决问题．在解决问题时，会涉及到数学中的一般性原理，主要是指数学中的公式、公理、定理、性质等，这就要求我们基础牢固，对涉及的相关知识能灵活应用，并能进行恰当的等价转化．课下能力提升(四)[学业水平达标练]题组1用三段论表示演绎推理1．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于()A．演绎推理B．类比推理C．合情推理D．归纳推理答案：A2．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是()A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形答案：B3．下面几种推理中是演绎推理的是()A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点(0,1)B．猜想数列eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，eq\f(1,3×4)，…的通项公式为an＝eq\f(1,nn＋1)(n∈N*)C．由“平面内垂直于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平面平行”D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2解析：选AA是演绎推理，B是归纳推理，C，D是类比推理.题组2用三段论证明几何问题4．有一段演绎推理是这样的：“若一直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误解析：选A“直线与平面平行”，不能得出“直线平行于平面内的所有直线”，即大前提错误．5．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD.求证：AB⊥DE.证明：在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，∴BD＝eq\r(AB2＋AD2－2AB·ADcos∠DAB)＝2eq\r(3).∴AB2＋BD2＝AD2.∴AB⊥BD.又平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面EBD.∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE.6．如图所示，三棱锥A­BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影．求证：O为△BCD的垂心．证明：如图，连接BO，CO，DO.∵AB⊥AD，AC⊥AD，AB∩AC＝A，∴AD⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴AD⊥BC.∵AO⊥平面BCD，∴AO⊥BC，又AD∩AO＝A，∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO，∴O为△BCD的垂心．题组3用三段论证明代数问题7．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的解析：选A这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a2＞0”．显然结论错误，原因是大前提错误．8．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形”．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________．解析：大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形；小前提：△ABC的三边长依次为3,4,5，满足32＋42＝52；结论：△ABC是直角三角形．答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形9．已知函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.(1)求证：f(x)为奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．解：(1)证明：因为x，y∈R时，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，所以令x＝y＝0得，f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)设x1，x2∈R，且x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，因为当x＞0时，f(x)＜0，所以f(x2－x1)＜0，即f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)为减函数，所以f(x)在[－3,3]上的最大值为f(－3)，最小值为f(3)．因为f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6，所以函数f(x)在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6.[能力提升综合练]1．下面几种推理过程是演绎推理的是()A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C．由三角形的性质，推测四面体的性质D．在数列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(1,an－1)))(n≥2)，由此归纳出an的通项公式解析：选AB项是归纳推理，C项是类比推理，D项是归纳推理．2．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故该奇数(S)是3的倍数(P)．”上述推理是()A．小前提错误B．结论错误C．正确的D．大前提