小升初复习知识点11平面图形（原卷版）

第十一节：图形的认识与测量（一）平面图形线段、射线、直线【例1】如图所示的直线上有A、B、C、D四个点。图中有（）条直线，（）条射线，（）条线段。思路引导A、B、C、D这几个点都在同一条直线上，所以只有1条直线；每个点都把直线分成了两个方向，向每个方向都是一条不同的射线。观图可知有4个点，构成的射线一共有4×2＝8（条）；按照端点的不同，顺次数出线段的条数，有线段AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6条线段。正确解答：1；8；6数线段时要按照一定的顺序数；数射线时，找准端点后，要沿着不同方向数；一般地，在一条直线上，如果有n个点，那么就有2n条射线，有（n－1）＋（n－2）＋…＋2＋1条线段。【变式1】1.下图中有几条线段？几条射线？几条直线？【例2】下面有4个点，经过每两点画一条直线，能画（）直线。思路引导两点确定一条直线，可以在图中画一画，数一数。正确解答：6在解决问题时，根据题意画出示意图，将出现的情况一一列举出来。当图示比较复杂时，也可以从简单的情况入手，发现其中的规律，再根据规律推导出复杂的情况。【变式2】2.先画一画，再回答问题。（1）如图1所示过点A可以画几条直线？（2）如图1所示以点A为端点可以画几条射线？（3）如图2所示每两点之间画一条线段，如下四点可以画几条线段？平行与垂直【例3】作图：（1）请画出从甲地通向小河最近的路；（2）请画出经过丙地，与小河平行一条路。下图是用型号相同的黑、白两种三角形瓷砖铺。思路引导思路引导（1）点到直线的距离中，垂线段最短。过代表甲地的点画小河所在直线的垂线段即可。第一步：把三角板的一条直角边与小河的岸边线重合，另一条直角边过代表甲地的点。第二步：过这一点沿三角板的直角边画重线段，并标注垂足。（2）把三角板的一条直角边与小河的岸边线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板原来和小河岸边线重合的直角边经过代表丙地的点，过这一点沿三角板的直角边画直线即可。正确解答：作图如下：解答此题的关键是理解点到直线的最短距离是过这一点向直线所画的垂线段。【变式3】3.图中是一条小河示意图，点P是一个果园，请按下列要求在图上画一画。（1）要把河里的水引到果园去，怎样修水渠最短最省时。（2）以果园所在的点P为起点，向东修一条路，使这条路平行于小河CB段。角的认识【例4】从3时到3时45分，钟面上的分针转过（）°，时针转过（）°。思路引导从3时到3时45分，分针转了圈，转一圈正好是一个周角：是360°，转圈是360°×＝270°；把钟面的一圈分成12个大格，时针1小时转一个大格，所对应的角是360°÷12＝30°，时针小时转了个大格，所对应的角×30°＝22.5°。正确解答：270°；22.5°解决此类问题要掌握钟面上数字的分布。一个钟面是一个圆，即360"有12个大格，每一大格是360°÷12＝30°，有60个小格，每一小格是6°。所以有关钟面上分针与时针的夹角以及分针、时针旋转的角度，都可以根据每格的度数来计算。【变式4】4.钟面上的时间是6时45分时，时针和分针形成（）°的角。三角形、四边形的特性与特征【例5】李明准备把一根14厘米长的铁丝剪成三段，围成一个三角形。如果他第一次在6厘米处剪了一刀。那么第二次不能剪在（）处。AAB.BC.CD.D思路引导任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边。14－6＝8（厘米）A.2＋6＝8（厘米），2＋6＞6，6－2＜6，因此第二次能剪在A处。B．3＋5＝8（厘米），3＋5＞6，5－3＜6，因此第二次能剪在B处。C．4＋4＝8厘米），4＋4＞6，6－4＜6，因此第二次能剪在C处。D．7＋1＝8厘米），6＋1＝7（厘米），因此第二次不能剪在D处。正确解答：D此类题需要根据三角形边之间的关系来解答，要使剪成的三段铁丝能够围成三角形，其中任意两段的长度之和必须大于第三段的长度，任意两段的长度之差必须小于第三段的长度。【变式5】（2021六下·山西太原）5.15厘米的铁丝剪成三段（每段的长度都是整厘米数），然后围成三角形，一共可以围成（）个不同的三角形。【例6】下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（）。A.B.C.D.思路引导观察图形，只有图形D中每一个点都可以与另外邻近的两个点构成三角形，根据三角形的稳定性可知其不容易变形。正确解答：D解答此题的关键是熟悉三角形和四边形的特性。三角形的特性是具有稳定性，长方形和正方形具有易变形的特性。【变式6】6.用4根木条钉成一个长方形，然后向相反方向拉它的一组对角，就变成了一个平行四边形，这个平行四边形的内角和与原来长方形的内角和相比，（）。A.变大了 B.一样大 C.变小了 D.无法确定【例7】等腰三角形一个底角和顶角度数的比是2∶1，这个三角形的底角是（）°，按角分它是一个（）三角形。思路引导根据等腰三角形的特征可知，等腰三角形的两个底角相等，所以等腰三角形的三个角的度数比是2∶2∶1，三角形的内角和是180°，根据按比分配的方法，底角占三角形内角和的，顶角占三角形内角和的，利用求一个数的几分之几是多少，用乘法，求出三角形的顶角和底角，再根据三角形按角分类的标准，即可判别它是一个什么样的三角形。正确解答：等腰三角形的三个角的度数比是2∶2∶1，180°×＝180°×＝72°180°×＝180°×＝36°两个底角是72°，顶角是36°；三个角都小于90°，所以这是一个锐角三角形。本题是对三角形特征知识的综合性考查，不仅有等腰三角形特征的知识，还有三角形的内角和三角形的分类的知识，先根据内角和按比分配求出各角的度数是此题的关键。【变式7】（2022六下·辽宁锦州）7.一个三角形三个内角度数的比是1∶2∶3，这个三角形最大的内角是（）度，这是一个（）角三角形。【例8】同学们，孔子曰“温故而知新”，学过的知识要善于进行回顾和梳理。请你想一想长方形、正方形、平行四边形、梯形和四边形的关系，并填入图中相应的位置。思路引导正方形是特殊的正方形，正方形和长方形是特殊的平行四边形，正方形、长方形和平行四边形是特殊的梯形，正方形、长方形、平行四边形、梯形都是四边形。正确解答：本题主要是四边形分类，考查正方形、长方形、平行四边形以及梯形和四边形的关系。【变式8】（2022六下·山西榆次）8.这学期我们认识了很多图形，他们之间有着密切的联系。比如长方形和正方形的关系可以用图1表示。除此之外，也可以用这样的图（如图2）表示关系的是（）。A.A表示平行四边形，B表示四边形 B.A表示平行四边形，B表示长方形C.A表示平行四边形，B表示梯形 D.A表示梯形，B表示四边形平面图形的周长和面积【例9】如图，一个平行四边形相邻两条边长度分别是10厘米和7厘米，其中一条底边上的高是8厘米，这个平行四边形的面积是（）。A.56平方厘米B.70平方厘米C.80平方厘米D.无法确定思路引导第一步：判断平行四边形对应的底和高。相邻的两条边长度分别是10厘米和7厘米，底是10厘米时，与底垂直的高一定小于7厘米，因此8厘米的高只能与7厘米的底对应。第二步：应用公式求出面积。平行四边形的面积为7×8＝56（平方厘米）。正确解答：A解答本题除了要用到平行四边形的面积计算公式，还要用到另一个知识点：从一点向已知直线作的所有线段中，垂线段最短。【变式9】（2019六下·河北沧州）9.一个平行四边形，相邻两条边的长度分别是8厘米和6厘米，量得它一条边上的高是7厘米，这个平行四边形的面积是56平方厘米。（）【例10】一个直角梯形，将上底延长1.2米后就变成了一个边长3米正方形，这个直角梯形的面积是多少平方米？思路引导第一步：借助图形理解“上底延长1.2米，就变成了一个正方形”。根据图形可知：原梯形的高和下底相等，上底和下底相差1.2米。第二步：求出上底、下底和高的长度。由“将上底延长1.2米后就变成了一个边长3米的正方形”，可推出下底和高为3米，上底为：3－1.2＝1.8（米）第三步：根据梯形的面积公式来求面积。正确解答：上底：3－1.2＝1.8（米）原梯形面积：（1.8＋3）×3÷2＝4.8×3÷2＝7.2（平方米）答：这个直角梯形的面积是7.2平方米。此类图形变化的问题，可以通过画图来理解，解题的关键是找到不变的量。【变式10】（2022六上·陕西西安）10.把一个梯形的上底缩短a厘米（上底长厘米），下底延长a厘米，高不变，新的梯形与原来的梯形相比，（）。A.面积变小 B.面积变大 C.面积不变 D.无法确定【例11】如图所示，大圆不动，小圆贴合着大圆沿顺时针方向不断滚动。小圆的半径是，大圆的半径是。（1）当小圆从大圆上的点出发，沿着大圆滚动，第一次回到点时，小圆的圆心走过路线的长度是多少厘米？（2）小圆未滚动时，小圆上的点与大圆上的点重合，从小圆滚动后开始计算，当点第10次与大圆接触时，点更接近大圆上的点（）。（括号里填、、或。）思路引导（1）当小圆从大圆上的点A出发，沿着大圆滚动，第一次回到点A时，小圆的圆心走过路线的长度是半径为6＋2＝8厘米的圆一周的长度；（2）小圆的半径是2cm，大圆的半径是6cm，则小圆滚动3圈后才能回到A点，这个过程中M点与大圆接触3次；M第9次与大圆接触时，小圆又回到A点，小圆第10次与大圆接触时，是走了大圆一周的，即12.56厘米，更接近于B点。正确解答：（1）2×3.14×（2＋6）＝2×3.14×8＝50.24（厘米）答：小圆的圆心走过路线的长度是50.24厘米。（2）根据分析可得，当点M第10次与大圆接触时，点M更接近大圆上的点B。本题考查圆的周长，首先是分析圆的运动轨迹，其次明确大圆与小圆的半径关系与周长关系，两个圆的周长比与半径比相同，大圆的半径是小圆半径的多少倍，大圆的周长就是小圆周长的多少倍。【变式11】（2020六下·北京西城）11.如下图，小圆贴着大圆的内侧从点开始按箭头所指方向滚动（大圆不动）。（1）小圆自身至少需要滚动多少周才能回到点？（用你喜欢的方式说明理由）（2）小圆经过滚动回到点，请在图3中用圆规画出小圆圆心走过的轨迹。组合图形面积的计算【例12】在直径是4厘米圆中，有一个最大的正方形ABCD（如下图），求图中阴影部分的面积。思路引导第一步：求出圆的半径，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积。第二步：观察图形，因为正方形是圆内最大的正方形，用一条对角线把正方形平均分成两个三角形，这两个三角形的底相当于圆的直径，高相当于圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，就是这个正方形的面积。第三步：用圆的面积减去正方形的面积。正确解答：圆的半径：4÷2＝2（厘米）圆的面积：3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方厘米）正方形的面积：4×2÷2×2＝8÷2×2＝8（平方厘米）阴影部分的面积：12.56－8＝4.56（平方厘米）本题考查正方形的对角线与圆的直径关系，利用圆的面积、正方形面积公式解答问题。特别提示：一般求正方形的面积采用“边长×边长”的方法，也可以用“对角线×对角线÷2”的方法。在这道题中正方形的对角线就是圆的直径，所以用后一种方法更方便。还可以把这个正方形看成四个小三角形，这四个小三角形都是等腰直角三角形，且直角边都相当于圆的半径。【变式12】（2022六下·四川成都）12.已知下图正方形的面积是28平方厘米，求阴影部分的面积。解决问题的关键是求出圆的面积。此时，我们求不出圆的半径，但能把正方形分成四个相等的小正方形，求出小正方形的面积是（）平方厘米，它恰好是圆半径的平方，从而可求出圆面积是（）平方厘米，进而可求出阴影部分的面积是（）平方厘米。【例13】下面是一个长方形的草坪，中间有两条人行道，求草坪的面积。（单位：米）思路引导仔细观察图形，可以发现草坪的面积有多种计算方法。方法一：添补法，草坪的面积等于长方形的面积减去两个空白平行四边形的面积。平行四边形的高是14米，平行四边形的底是（32－28）÷2＝2（米），长方形的面积是32×14＝448（平方米），人行道的面积是2×14×2＝56（平方米），草坪的面积就是448－56＝392（平方米）。方法二：分割法，草坪的面积等于三个三角形的面积之和。仔细观察会发现，上面两个倒放的三角形底的和是28米，下面正放的三角形的底是28米，三个三角形的高都是14米，因此，草坪的面积是28×14÷2×2＝392（平方米）。方法三：转化法，即用等积变形的思想来分析。移动左右两个三角形，同中间的三角形接起来，就会得到一个新的长方形，这个长方形的长是28米，宽是14米，因此，草坪的面积是28×14＝392（平方米）。正确解答：方法一：（32－28）÷2＝2（米）32×14＝448（平方米）2×14×2＝56（平方米）448－56＝392（平方米）答：草坪的面积392平方米。方法二：28×14÷2×2＝392（平方米）答：草坪的面积392平方米。方法三：28×14＝392（平方米）答：草坪的面积392平方米。比较复杂的组合图形在解答时，可能会有多种方法，只要灵活掌握各种方法的要领，就可以很简单地解决问题。【变式13】（2021六下·北京西城）13.下图中有一个半圆和一个扇形。甲、乙两个阴影部分相比较，甲面积（）乙面积。（括号里填“大于”“小于”或“等于”。）一、填空。（2021六下·北京）14.下面这篇数学日记中，说法不恰当的是（）。数学日记我今年10岁啦，上四年级，我的家在北京。今天的数学课上，我学习了线段、射线、直线和角的认识。我知道了①经过一点可以画无数条直线，②经过两点只能画一条直线。我在笔记本上画了③一条5厘米长的射线，④原来手电筒射出的光线也可以看成射线。（2021六下·浙江台州仙居）15.数一数下面的图形中有（）个平行四边形，（）个梯形。（2021六下·江苏南京）16.在研究梯形面积公式时，小明把梯形分成了两个三角形，先用字母公式表示出两个三角形的面积，再把它们加起来，根据乘法分配律，也得到了梯形面积公式。（如下图，单位厘米），请你根据小明的思路完成下面填空。（1）①号三角形的面积＝______；②号三角形的面积＝______；（2）梯形面积S＝______＋______＝______。（2021六下·江苏南京）17.一个平行四边形被分成甲、乙、丙3个三角形，已知甲的面积比丙小22.5平方厘米，丙的面积比乙大12.5平方厘米，则丙的面积是（）平方厘米。（2022六下·河南洛阳）18.下图描述了我国魏晋时期数学家刘徽采用“（）”，来求圆周长的近似值。（2021六上·福建南平）19.“外圆内方”与“外方内圆”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含了为人处事的朴素道理。如果图1中外圆的半径是2dm，则圆内大正方形的面积是（）dm2。如果图2中外面正方形的面积是12dm2，则内圆的面积是（）dm2。（2021六下·北京西城）20.如图，一张直径是的圆桌，上面铺了一块直径是的圆形桌布。桌布下垂部分的面积是（）。二、判断。（2021六下·四川成都）21.角的大小与角的两条边的长短无关。（）（2022六下·山西太原）22.同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线。（）（2021六下·广东广州）23.任何两个等底等高的梯形都能拼成一个平行四边形。（）（2022六下·山东潍坊）24.一个三角形的三个内角的度数比是1∶3∶5，它一定是钝角三角形。（）（2022六下·吉林长春）25.两个圆的半径比是2∶5，这两个圆的面积比是4∶10。（）三、选择。（2022六下·福建厦门）26.下面说法错误的是（）。A.一条直线长6厘米 B.钟面上2时整，分针和时针成锐角C.角的两边张开得越大，角越大 D.经过两点，可以画1条线段（2022六下·辽宁锦州）27.下面（）组中的三条线段不能围成一个三角形。A.5厘米、6厘米、7厘米 B.5厘米、5厘米、10厘米C.3厘米、6厘米、4厘米 D.2厘米、3厘米、4厘米（2021六下·福建漳州）28.张爷爷要给自家的菜地围上篱笆，下面围法中，（）的围法更牢固些。A. B. C. D.2021六下·江苏扬州）29.一摞练习本摆成长方体，再均匀地斜放（如图），则前面变成了一个近似的平行四边形。长方形和近似平行四边形相比，（）。A.周长和面积都不变 B.周长不变，面积变小C.周长变大，面积不变 D.周长和面积都变了（2022六下·北京）30.我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算平面图形的面积。出入相补原理就是把一个图形分割、移补，而面积保持不变。把下图中的三角形先沿虚线剪开，再将两部分重新拼成一个新图形（两部分不重叠），不可能拼成的图形是（）。A.长方形 B.平行四边形 C.等腰梯形 D.直角梯形（2021六上·福建宁德）31.明明在估计下图树叶的面积时作了一些标记。若每个方格面积是1平方厘米，这片树叶的面积不可能（）。A.小于54平方厘米 B.大于22平方厘米 C.等于24平方厘米（2021六下·福建漳州）32.在一个正方形内画一个最大的圆形（如图），正方形周长是8cm，圆的面积是（）。A.200.96cm2 B.25.12cm2 C.12.56cm2 D.3.14cm2（2022六下·辽宁）33.如图是一个“禁止驶入”的交通标志，图中有一个70cm×12cm的白色长方形，其余部分为阴影（实际为红色）。这个图形中阴影部分的面积是（）cm2。四、解决问题。（2020六下·浙江杭州）34.阅读下面一段文字，用数学知识填空．近年来，中国修建的高铁、公路让人们出行更加方便，让中国快速发展．港珠澳大桥是在2009年开始动工建设的，到2018年正式开通运营，历时九年的时间，堪称世界奇迹．小明在感叹港珠澳大桥的同时，也像很多游客一样对此产生了疑惑：港珠澳大桥是建在一片无望的海洋上面，没有什么东西可以阻挡，为什么大桥会建设成弯曲的形状，从A地到B地，直着走不是更节约成本吗？小明从网上了解到，大海不像河流只有一个固定的水流方向，所以在不同的地方，大海水流也是不一样的．当遇到自然灾害的