22.2.5一元二次方程的根与系数的关系（教学课件）数学华东师大版九年级上册

华东师大版·九年级上册

22.2一元二次方程的解法

22.2.5一元二次方程的根与系数的关系

第22章

一元二次方程学

习

目

标123理解并掌握一元二次方程根与系数的关系.能验证一元二次方程根与系数的关系.会用一元二次方程根与系数的关系解决简单的问题.回顾旧知

一元二次方程ax2+bx+c=0(a

≠0)的求根公式是什么？思考探究问题1用适当的方法求解方程。问题2

计算x1+x2和x1·x2的值，思考：它们与方程的系数有何关系？二次项系数为1一次项系数为3常数项为－4互为相反数相等两根之和两根之积思考探究问题3

猜想：二次项系数为1的一元二次方程，其两根之和等于一次项

系数的相反数，两根之积等于常数项。对于任何一个满足条件的

一元二次方程，是否都有这样的结果？换几个方程试试吧！活动任务：同桌两人一组，每人写3个二次项系数为1的一元二次方程，然后同桌交换求解方程的两个根，再计算两根之和与两根之积，验证是否满足猜想。思考探究问题4对于方程x2+px+q=0(p2－4q

≥0)，满足上述猜想吗？由一元二次方程的求根公式，可得所以，两根之和思考探究问题4对于方程x2+px+q=0(p2－4q

≥0)，满足上述猜想吗？所以，两根之积课堂新知二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系：

设一元二次方程x2+px+q=0的两根为x1、x2，那么

注意事项强调：①该结论适用于满足二次项系数为1的一元二次方程；②一次项系数和常数项必须满足p2－4q

≥0。典例分析不解方程，求出方程的两根之和与两个之积：【解】设方程两根为x1、x2，由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得解题的关键：二次项系数为1的一元二次方程，两根之和与两根之积的结果均与二次项系数无关，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项，切不可混淆。方法技巧思考探究问题5

如何求方程2x2－3x－5=0的两根之和与两根之积？你遇到的困难

是什么？困难：二次项系数不为1已知：二次项系数为1转化设方程两根为x1、x2，由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得思考探究问题6试探索一元二次方程ax2+bx+c=0(a

≠0，b2－4ac

≥0)的根与系

数的关系。二次项系数不为1二次项系数为1转化设方程两根为x1、x2，由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得思考探究问题6试探索一元二次方程ax2+bx+c=0(a

≠0，b2－4ac

≥0)的根与系

数的关系。除上述方法外，你还有其他方法吗？由一元二次方程的求根公式，可得所以，两根之和思考探究问题6试探索一元二次方程ax2+bx+c=0(a

≠0，b2－4ac

≥0)的根与系

数的关系。除上述方法外，你还有其他方法吗？所以，两根之积课堂新知一元二次方程根与系数的关系：

设一元二次方程ax2+bx+c=0(a

≠0，b2－4ac

≥0)的两根为x1、x2，那么

该结论也叫韦达定理，适用于所有一元二次方程典例分析不解方程，判断下列方程是否有实数根，如果有实数根的话，求出方程的两根之和与两根之积。【解】所以方程有两个不相等的实数根典例分析不解方程，判断下列方程是否有实数根，如果有实数根的话，求出方程的两根之和与两根之积。【解】所以方程有两个不相等的实数根典例分析不解方程，判断下列方程是否有实数根，如果有实数根的话，求出方程的两根之和与两根之积。【解】所以方程有两个不相等的实数根（3）原方程可变形为思考探究问题3

结合上述典例，归纳总结求一元二次方程两根之和与两根之积

的步骤。整理确定判断计算将方程整理成一般形式ax2

+bx+c=0(a

≠0)确定系数a、b、c的值计算Δ=b2

－4ac的值，判断方程是否有实数根若方程有实数根，则根据根与系数的关系计算即可典例分析已知关于x的方程x2+

mx+n=0的两个根是1和－3，求m和n的值.【解】解题的关键：利用根与系数的关系求解即可：对于任何一个一般形式的一元二次方程，两根之和与二次项系数和一次项系数有关，两根之积与二次项系数与常数项有关。方法技巧典例分析已知关于x的方程x2+

mx－20=0的一个根是－4，求另一个根和m的值.【解】解题的关键：由方程可知a、c的值，则根据两根之积求出另一个根，再根据两根之和求出m的值即可。方法技巧设x1=－4，另一个根为x2当堂反馈1.

若是一元二次方程x2－6x+m=0的一个根为1，求另一个根和m的值。【解】设x1=1，另一个根为x2当堂反馈2.

若方程x2－3x－2=0的两根为x1、x2，求(x1+1)(x2+1)的值。【解】当堂反馈3.

如果m、n是方程x2