2026年高考数学一轮复习三维设计创新-第1节　导数的概念及运算

第1节导数的概念及运算高中总复习·数学课标要求（1）了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数；（2）通过函数图象，理解导数的几何意义；（3）能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.目录CONTENTS知识点一导数的基本概念01.知识点二导数的基本运算02.课时跟踪检测03.PART01知识点一导数的基本概念

提醒

Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0.

（1）（苏教选一P200习题14题改编）设f（x）在x0处可导，下列式

子与f'（x0）相等的是（

B

）A.

B.

C.

D.

B

（2）（人A选二P65例2改编）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同

产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第x

h时，原油的温度（单位：

℃）为f（x）＝x2－7x＋15（其中0≤x≤8）.则第2

h～4

h中，原油温度

的平均变化率为

，第6

h时原油温度的瞬时变化率为

⁠

，在第6

h附近原油的温度在

.（填“上升”或“下降”）－1

℃/h

5

℃/h

上升

规律方法求函数f（x）在x＝x0处的导数的步骤

提醒

函数y＝f（x）的导数f'（x）反映了函数f（x）的瞬时变化趋势，

其正负号反映了变化的方向，｜f'（x）｜的大小反映了变化的快慢，｜f'

（x）｜越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”.

A.

a＜f'（2）＜f'（4）B.f'（2）＜a＜f'（4）C.

f'（4）＜f'（2）＜aD.f'（2）＜f'（4）＜aB

2

PART02知识点二导数的基本运算1.

基本初等函数的导数公式基本初等函数导数f（x）＝c（c为常数）f'（x）＝

⁠f（x）＝xα（α∈R，且α≠0）f'（x）＝

⁠f（x）＝sin

xf'（x）＝

⁠f（x）＝cos

xf'（x）＝

⁠f（x）＝exf'（x）＝

⁠0

αxα－1

cos

x

－sin

x

ex

基本初等函数导数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）f'（x）＝

⁠f（x）＝ln

xf'（x）＝

⁠f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）f'（x）＝

⁠axln

a

2.

导数的运算法则（1）[f（x）±g（x）]'＝

⁠；（2）[f（x）g（x）]'＝

⁠；

f'（x）±g'（x）

f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）

3.

复合函数的导数复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数

间的关系为y'x＝

⁠.结论奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数，周期函数的导

函数还是周期函数.

y'u·u'x

（1）〔多选〕（人A选二P81习题1题改编）下列求导正确的是

（

AC

）A.

（x3ln

x）'＝3x2ln

x＋x2B.

（

）'＝

C.

[（3x＋5）3]'＝9（3x＋5）2D.

［x

sin（

2x＋

）cos（

2x＋

）］'＝2x

cos

4xAC

（2）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足关系式f（x）＝x2＋

3xf'（2）＋ln

x，则f（1）＝

⁠.

规律方法函数求导应遵循的原则（1）求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、

商，再利用运算法则求导；（2）抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解；（3）复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

A.

B.1C.

D.2

B（2）观察（x2）'＝2x，（x4）'＝4x3，（cos

x）'＝－sin

x，由归纳推理

可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＝f（x），记g（x）为

f（x）的导函数，则g（－x）＝

⁠.解析：由结论知偶函数的导函数为奇函数，因此当f（x）是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g（－x）＝－g（x）.－g（x）

知识点三导数的几何意义

提醒

区分在点处的切线与过点处的切线（1）在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条；（2）过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.角度1

求切线方程

A.

y＝－xB.

y＝－x－1C.

y＝0D.

y＝x－1C

角度2

求切点坐标或参数

（1）（人B选三P89练习B

6题改编）已知曲线f（x）＝x3－x＋3在

点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则P点的坐标为（

C

）A.

（1，3）B.（－1，3）C.

（1，3）或（－1，3）D.（1，－3）

C（2）（2022·新高考Ⅰ卷15题）若曲线y＝（x＋a）ex有两条过坐标原点

的切线，则a的取值范围是

⁠.

（－∞，－4）∪（0，＋∞）

规律方法1.

处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出

参数的方程：（1）切点处的导数是切线的斜率；（2）切点在切线上；

（3）切点在曲线上.2.

注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.提醒

注意曲线上点的横坐标的取值范围.练3（1）（2025·张家港一模）奇函数f（x）＝ax3＋（4－a）x2

（x∈R）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（

D

）A.

6x－y＋4＝0B.6x＋y－4＝0C.12x＋y＋8＝0D.12x－y－8＝0解析：由f（x）为奇函数可知4－a＝0，即a＝4，则f（x）＝4x3，f'（x）＝12x2，则f'（1）＝12，故所求切线斜率为12，又f（1）＝4，故切线方程为12x－y－8＝0.D（2）（2025·泸州模拟）若直线y＝kx＋1为曲线y＝ln

x的一条切线，则

实数k＝（

D

）A.eB.e2C.

D.

D

提能点两曲线的公切线问题

（1）（2025·大连一模）已知直线y＝kx＋b既是曲线y＝ln

x的切

线，也是曲线y＝－ln（－x）的切线，则（

A

）A.

k＝

，b＝0B.

k＝1，b＝0C.

k＝

，b＝－1D.

k＝1，b＝－1A

（2）（2024·新高考Ⅰ卷13题）若曲线y＝ex＋x在点（0，1）处的切线也

是曲线y＝ln（x＋1）＋a的切线，则a＝

⁠.

ln

2

规律方法

两曲线的公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既

在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求

解.或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解.练4（1）已知f（x）＝ex－1，g（x）＝ln

x＋1，则f（x）与g（x）的

公切线有（

C

）A.0条B.1条C.2条D.3条C

（2）已知定义在（0，＋∞）上的函数f（x）＝x2－m，h（x）＝6ln

x

－4x，设两曲线y＝f（x）与y＝h（x）在公共点处的切线相同，试求实

数m的值.

PART03课时跟踪检测一、单项选择题1.

函数y＝f（x）的图象如图，则导函数y＝f'（x）的大致图象为（

）解析：由导数的几何意义可知，f'（x）为常数，且f'（x）＜0.12345678910111213141516√

A.0B.1C.2D.3

√123456789101112131415163.

以下求导运算错误的是（

）A.

若y＝

，则y'＝

B.

若y＝（2x－1）3，则y'＝3（2x－1）2C.

若y＝x2（ln

x＋sin

x），则y'＝x＋2xln

x＋2x

sin

x＋x2cos

xD.

若y＝

，则y'＝－

√12345678910111213141516

123456789101112131415164.

（2025·榆林模拟）已知函数f（x）＝aln

x＋x2的图象在x＝1处的切

线方程为3x－y＋b＝0，则a＋b＝（

）A.

－2B.－1C.0D.1

√123456789101112131415165.

（2024·重庆名校联考）函数f（x）＝x3－3x2的图象上过点（3，0）

的切线方程为（

）A.

y＝0B.

y＝9x＋27C.

y＝0或y＝9x－27D.

y＝0或y＝9x＋27√12345678910111213141516

123456789101112131415166.

（2025·成都川大附中模拟）若点P是曲线y＝ln

x－x2上任意一点，则

点P到直线l：x＋y－4＝0距离的最小值为（

）A.

B.

C.

2

D.4

√12345678910111213141516

123456789101112131415167.

若曲线C1：y＝ax2（a＞0）与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则实数a

的取值范围为（

）A.

（e2，＋∞）B.[e2，＋∞）C.

（

，＋∞）D.［

，＋∞）√12345678910111213141516

12345678910111213141516二、多项选择题8.

已知函数f（x）的图象如图，f'（x）是f（x）的导函数，则下列结论

正确的是（

）A.

f'（3）＞f'（2）B.

f'（3）＜f'（2）C.

f（3）－f（2）＞f'（3）D.

f（3）－f（2）＜f'（2）√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

f（x）＝sin

x＋cos

xB.

f（x）＝ln

x－2xC.

f（x）＝－x3＋2x－1D.

f（x）＝－xe－x√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516三、填空题10.

（2025·郑州一模）已知y＝f（x）是可导函数，如图，直线y＝kx

＋2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），g'（x）是

g（x）的导函数，则g'（3）＝

⁠.0

1234567891011121314151611.

（2025·湖北调研）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，

实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出

了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统数学文化之一.借

用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近

似代替在切点附近的曲线来近似计算.设f（x）＝ln（1＋x），则曲线y

＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为

，用此结论计算ln

2

025

－ln

2

024≈

⁠.y＝x

12345678910111213141516

1234567891011121314151612.

（2025·本溪模拟）请写出与曲线y＝sin

x在原点（0，0）处具有相

同切线的另一个函数

⁠.解析：∵y＝sin

x的导函数为y'＝cos

x，又y＝sin

x过原点，∴y＝sin

x在

原点（0，0）处的切线斜率k＝cos

0＝1，∴y＝sin

x在原点（0，0）处的

切线方程为y＝x.所求曲线只需满足过点（0，0）且在x＝0处的导数值y'

＝1即可，如y＝x3＋x，∵y'＝3x2＋1，∴y＝x3＋x在原点处的切线斜率

为1，又y＝x3＋x过原点，∴y＝x3＋x在原点（0，0）处的切线方程为y

＝x.y＝x3＋x（答案不唯一）12345678910111213141516四、解答题13.

已知函数f（x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a，b∈R）.（1）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，

b的值；解：f'（x）＝3x2＋2（1－a）x－a（a＋2）.

12345678910111213141516

（2）若曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.12345678910111213141516

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