2026年高考数学一轮复习三维设计创新-第1节　函数的概念及其表示

第1节函数的概念及其表示高中总复习·数学课标要求（1）了解函数的含义；（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；（3）了解简单的分段函数，并会简单应用.目录CONTENTS知识点一函数的基本概念01.知识点二分段函数02.课时跟踪检测03.PART01知识点一函数的基本概念1.

函数的概念概念一般地，设A，B是非空的

，如果对于集合A中

的

一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B

中都有

确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从

集合A到集合B的一个函数三

要

素对应关

系y＝f（x），x∈A定义域

⁠的取值范围值域与x的值相对应的y值的集合{f（x）｜x∈A}实数集

任意

唯一

x

2.

同一个函数（1）前提条件：①定义域

；②对应关系

⁠.（2）结论：这两个函数是同一个函数.3.

函数的表示法表示函数的常用方法有

、图象法和列表法.结论直线x＝a（a是常数）与函数y＝f（x）的图象至多有1个交点.相同

完全一致

解析法

（1）〔多选〕下列说法中正确的有（

BC

）A.

f（x）＝

与g（x）＝

表示同一个函数B.

函数f（x）＝

－

的定义域是[－1，0）∪（0，＋∞）C.

f（x）＝x2－2x＋1与g（t）＝t2－2t＋1是同一个函数D.

若f（x）＝｜x－1｜－x，则f（f（

））＝0BC

A.

（－∞，2]B.[2，＋∞）C.

（－∞，6]D.[6，＋∞）C

规律方法1.

求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子

（运算）有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定

义域应使实际问题有意义.2.

求复合函数定义域的方法（1）若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则复合函数f[g（x）]的定

义域可由不等式a≤g（x）≤b求出；（2）若已知函数f[g（x）]的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g

（x）在x∈[a，b]上的值域.练1（1）〔多选〕（苏教必修一P115练习4题改编）下列所给图象是函数

图象的是（

CD

）解析：由结论知，选项A、B均不是函数图象，C、D是函数图象.CD（2）已知函数y＝f（2x＋1）的定义域为[－1，2]，则函数y＝f（x－

1）的定义域为

⁠.解析：函数y＝f（2x＋1）的定义域为[－1，2]，即－1≤x≤2，所以－1≤2x＋1≤5，所以－1≤x－1≤5，即0≤x≤6，所以函数y＝f（x－1）的定义域为[0，6].[0，6]

PART02知识点二分段函数1.

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的

式子来表示，这种函数称为分段函数.2.

分段函数表示的是一个函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域

的

，其值域等于各段函数的值域的

⁠.并集

并集

A.

f（x）的定义域为RB.

f（x）的值域为（－∞，4]C.

若f（x）＝2，则x的值是－

D.

f（x）＜1的解集为（－1，＋∞）BC

－7

规律方法1.

根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其

次选定相应的解析式代入求解.2.

已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的

解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的

自变量的取值范围.提醒

当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.

0

（－∞，－1]

提能点求函数的解析式

A.

x2－1（x≥0）B.

＋1（x≥1）C.

x2－1（x≥1）D.

－1（x≥0）C

（2）（2025·潍坊一模）已知f（x）是一次函数且3f（x＋1）－2f（x

－1）＝2x＋17，则f（x）的解析式为（

D

）A.

f（x）＝x＋6B.

f（x）＝x＋7C.

f（x）＝2x＋6D.

f（x）＝2x＋7D

－3

规律方法求函数解析式的4种方法练3（1）（2025·潍坊一模）已知f（1－sin

x）＝cos2x，则f（x）的

解析式为（

A

）A.

f（x）＝2x－x2（x∈[0，2]）B.

f（x）＝2x－x2（x∈[0，1]）C.

f（x）＝x2－2x（x∈[0，2]）D.

f（x）＝x2－2x（x∈[0，1]）解析：设1－sin

x＝t，则t∈[0，2]，sin

x＝1－t，∵f（1－sin

x）＝cos2x＝1－sin2x，∴f（t）＝1－（1－t）2＝2t－t2，t∈[0，2]，即f（x）＝2x－x2，x∈[0，2].A（2）（2025·九江一模）定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝2f

（x）.若当0≤x≤1时，f（x）＝x（1－x），则当－1≤x≤0时，f

（x）＝

⁠.

PART03课时跟踪检测

A.

（－∞，0]B.（－∞，1）C.

[0，1）D.[0，＋∞）

√12345678910111213141516

A.

（－∞，1）B.

（1，＋∞）C.

（－∞，－2）∪（－2，＋∞）D.

（－∞，1）∪（1，＋∞）

√123456789101112131415163.

（2025·重庆调研）已知函数f（x＋2）＝x2－3x＋4，则f（1）＝

（

）A.4B.6C.7D.8解析：

法一

∵f（x＋2）＝（x2＋4x＋4）－7（x＋2）＋14＝（x＋

2）2－7（x＋2）＋14，∴f（x）＝x2－7x＋14，故f（1）＝1－7＋14

＝8.法二由x＋2＝1，得x＝－1，代入f（x＋2）＝x2－3x＋4，得f（1）＝

（－1）2－3×（－1）＋4＝8.故选D.

√12345678910111213141516

A.0B.1C.2D.3解析：

由题设，当x＞0时，f（x）＝f（x－3），即当x＞0时，函数

f（x）是周期为3的周期函数，则f（2

025）＝f（3×675）＝f（0）＝

log22＝1.√123456789101112131415165.

如图，四棱柱ABCD-A'B'C'D'是一个无水游泳池，是由一个长方体切掉

一个三棱柱得到的.现在向游泳池内注水，如果进水速度是均匀的（单位

时间内注入的水量不变），水面与AB的交点为M，则AM的高度h随时间

t变化的图象可能是（

）√12345678910111213141516解析：

由题意可知，当往游泳池内注水时，游泳池内的水呈“直棱柱”状，且直棱柱的高不变，刚开始水面面积逐渐增大，水面的高度增长得越来越慢，当水面经过点D后，水面的面积为定值，水的高度匀速增长，故符合条件的函数图象为选项A.

12345678910111213141516

A.

（－∞，－ln

2]∪（0，

]B.

（－∞，－ln

2）C.

（0，

]D.

（－∞，－ln

2）∪（0，

）√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

（－∞，－2）B.

（－2，＋∞）C.

（－∞，2）D.

（2，＋∞）解析：

当x≤－2时，f（x＋2）＝1，f（2x）＝1，则1＜1，矛盾；当

－2＜x≤0时，f（x＋2）＝2x＋2，f（2x）＝1，则2x＋2＜1⇒x＜－2，矛

盾；当x＞0时，f（x＋2）＝2x＋2，f（2x）＝22x，则2x＋2＜22x⇒x＋2＜

2x⇒x＞2，符合题意.综上x的取值范围为（2，＋∞）.√12345678910111213141516二、多项选择题8.

（2025·六安一模）南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之对圆周

率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“这个

精确推算值”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”.已知

圆周率π＝3.141

592

653

589

793…，如果记圆周率π小数点后第n位数字为

f（n），则下列说法正确的是（

）A.

y＝f（n），n∈N*是一个函数B.

当n＝5时，f（n）＝3.141

59C.

f（4）＝f（8）D.

f（n）＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}√√√12345678910111213141516解析：

对于选项A：对于任意n∈N*，均存在唯一的f（n）与之对应，符合函数的定义，可知y＝f（n），n∈N*是一个函数，故A正确；对于选项B、C：因为f（4）＝5，f（5）＝9，f（8）＝5，故B错误，C正确；对于选项D：由f（n）为圆周率π小数点后第n位数字，可知f（n）∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，故D正确.故选A、C、D.

123456789101112131415169.

（2025·龙岩期末）已知函数y＝f（x）的图象由如图所示的两段线段

组成，则（

）A.

f（f（3））＝1B.

不等式f（x）≤1的解集为［2，

］C.

函数f（x）在区间[2，3]上的最大值为2D.

f（x）的解析式可表示为f（x）＝x－3＋2｜x－3｜（x∈[0，4]）√√12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516三、填空题10.

若函数y＝f（2x）的定义域为[－2，4]，则y＝f（x）－f（－x）的

定义域为

⁠.

[－4，4]

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516四、解答题13.

求下列函数的解析式：（1）已知f（f（x））＝4x＋9，且f（x）为一次函数，求f（x）；

12345678910111213141516（2）已知函数f（x2＋1）＝x4，求f（x）.解：f（x2＋1）＝x4＝（x2＋1）2－2（x2＋1）＋1，且x2＋1≥1，

∴f（x）＝x2－2x＋1＝（x－1）2，x≥1.12345678910111213141516

12345678910111213141516（1）求出y关于x的函数表达式；

12345678910111213141516（2）如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度.

12345678910111213141516

A.

[－1，1]∪[3，＋∞）B.

（－∞，－1]∪[0，1]∪[3，＋∞）C.

[－1，0]∪[1，＋∞）D.

（－∞