2026年高考数学一轮复习三维设计创新-第4节　基本不等式

第4节基本不等式【课标要求】（1）了解基本不等式的证明过程；（2）能用基本不等式解决简单的最值问题；（3）掌握基本不等式在实际生活中的应用.知识点一基本不等式：ab≤a1.基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.2.等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立.3.其中a＋b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，结论（1）ba＋ab≥2（a，b（2）ab≤（a＋b2）2≤a2＋b2以上不等式等号成立的条件均为a＝b.（1）（2025·湘潭质量检测）下列结论正确的是（C）A.当x＞0且x≠1时，lnx＋1lnxB.当x∈（0，π2］时，sinx＋4sinC.当x＞0时，x＋1x≥D.当ab≠0时，ba＋ab解析：（1）对A，当x＝1e时，lnx＋1lnx＝－2，故A错误；对B，当sinx＞0时，sinx＋4sinx≥2sinx×4sinx＝4，当且仅当sinx＝4sinx，即sinx＝2时取等号，但当x∈（0，π2］时，0＜sinx≤1，故B错误；对C，当x＞0时，x＋1x≥2x×1x＝2，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号，故C正确；对D，当a＝1，（2）（人A必修一P46练习1题改编）若0＜a＜b，则下列不等式一定成立的是（C）A.b＞a＋b2＞a＞ab B.b＞ab＞C.b＞a＋b2＞ab＞a D.b＞a＞解析：（2）∵0＜a＜b，∴2b＞a＋b，∴b＞a＋b2＞ab.∵b＞a＞0，∴ab＞a2，∴ab＞a.故b＞a＋b规律方法利用基本不等式判断命题真假的步骤第一步：检查是否满足应用基本不等式的条件；第二步：应用基本不等式；第三步：检验等号是否成立.练1〔多选〕（苏教必修一P56证法1、2改编）已知a，b∈R，则下列不等式成立的是（）A.a＋b2≥ab B.C.2aba＋b≤a＋b解析：BDA选项，由选项可知a与b同号，当a＞0且b＞0时，由基本不等式可知a＋b2≥ab恒成立，当a＜0且b＜0时，a＋b2＜0，ab＞0，该不等式不成立，故A选项错误；B选项，当a＋b＞0时，a＋b2＞0，则（a＋b2）2－（a2＋b22）2＝a2＋b2+2ab－2a2－2b24＝−(a－b）24≤0恒成立，即a＋b2≤a2＋b22恒成立，当a＋b≤0时，原不等式恒成立，故B选项正确；C选项，当a＋b＞0时，2ab－（a＋b）22＝−(a－b）22≤0，即2ab≤（a知识点二利用基本不等式求最值已知x＞0，y＞0，则（1）如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p（简记：积定和最小）；（2）如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是q24（简记：和定积最大角度1配凑法（1）已知0＜x＜22，则x1－2x2的最大值为（A.28 B.C.2 D.22（2）（人B必修一P81习题C3题改编）已知x＞－1，则函数y＝（x+10)(x+2解析：（1）∵0＜x＜22，∴1－2x2＞0，x1－2x2＝222x21－2x2≤22·2x2+1－2x（2）由x＞－1，得x＋1＞0，则y＝[(x+1）+9][(x+1）+1]x+1＝（x+1）2+10（x+1）+9x+1＝（x＋1）＋9x+1＋10≥2·（x+1）·9x+1＋10＝角度2常数代换法（1）（苏教必修一P61习题2题改编）若正数x，y满足1y＋3x＝5，则3x＋4y的最小值为5（2）（2025·江西九校联考）若实数x＞1，y＞12，且x＋2y＝4，则1x－1＋12解析：（1）∵1y＋3x＝5，∴15y＋35x＝1，∴3x＋4y＝（3x＋4y）（15y＋35x）＝135＋3x5y＋12y5x≥135＋23x5y·12y5x（2）由题意，实数x＞1，y＞12，且x＋2y＝4，可得x－1＋2y－1＝2，∴1x－1＋12y－1＝12（1x－1＋12y－1）[（x－1）＋（2y－1）]＝12（2＋2y－1x－1＋x－12y－1）≥12（2＋22y－1x－1·x角度3消元法（人A必修一P58复习题5题改编）已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则xy的最大值为3.解析：法一（换元消元法）9－xy＝x＋3y≥23xy，∴9－xy≥23xy，令xy＝t，∴t＞0，∴9－t2≥23t，即t2＋23t－9≤0，解得0＜t≤3，∴xy≤3，∴xy≤3，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，∴xy的最大值为法二（代入消元法）∵x＝9－3y1+y，∴x·y＝9－3y1+y·y＝9y－3y21+y＝－3（y+1）2+15（y+1)−12y+1＝－3（y＋1）－12y+1＋规律方法利用基本不等式解决最值问题的关键点（1）前提：“一正”“二定”“三相等”；（2）要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式；（3）条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法.提醒多次应用基本不等式求最值时，一定要求出同时取等号时的变量的值，只有保证每次取等号时的条件相同，即等号步步传递，才能求得最后的最大（小）值.若多次不能同时取等号，此时可应用整体代入、恒等变换等技巧，凑出定值，再应用基本不等式求解.练2（1）〔多选〕（2025·杭州质检）已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则（BCD）A.2a＋1bB.a2＋b2的最小值为1C.log12a＋log1D.2a＋4b的最小值为22解析：（1）对于A，2a＋1b＝（2a＋1b）（a＋2b）＝4＋4ba＋ab≥4＋24ba·ab＝8，当且仅当4ba＝ab，即a＝2b＝12时等号成立，∴A错误；对于B，a2＋b2＝（1－2b）2＋b2＝5b2－4b＋1＝5（b－25）2＋15≥15，当且仅当b＝25，a＝15时取得最小值15，∴B正确；对于C，log12a＋log12b＝log12（ab）＝log12［12（a·2b）］≥1＋log12（a+2b2）2＝1＋2＝3，当且仅当a＝2b＝12时等号成立，∴C正确；对于D，2a＋4b＝2a＋22b（2）若a＞b＞0，则m＝a2＋16b（a－b）的最小值为16；此时a＋b解析：（2）∵a＞b＞0，∴a－b＞0，∴b（a－b）≤［b＋（a－b）2］2＝a24，即b（a－b）≤a24（当且仅当a＝2b时取等号）.∴a2＋16b（a－b）≥a2＋64a2≥2a2·64a2＝16（当且仅当a2＝64a2时取等号）.显然要使a2＋16b（a－b）≥16成立，需满足a提能点基本不等式的综合应用角度1基本不等式的实际应用（人A必修一P47例4改编）为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为▱AMBN一组相对的顶点，当▱AMBN的周长恒为20米时，小花圃占地面积（单位：平方米）最大为（）A.6 B.12C.18 D.24解析：D设AM＝x，AN＝y，则由已知可得x＋y＝10，在△MAN中，MN＝6，由余弦定理可得，cosA＝x2＋y2－622xy＝（x＋y）2－362xy－1＝32xy－1≥32（x＋y2）2－1＝3225－1＝725，当且仅当x＝y＝5时等号成立，此时（cosA）min＝725，所以（sinA）max＝规律方法利用基本不等式解决实际问题的策略（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；（2）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；（3）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.角度2与基本不等式有关的恒（能）成立问题（1）（2025·绍兴质检）若两个正实数x，y满足1x＋4y＝1，且不等式x＋y4＜m2－3m有解，则实数m的取值范围是（CA.（－1，4）B.（－4，1）C.（－∞，－1）∪（4，＋∞）D.（－∞，0）∪（3，＋∞）解析：（1）因为两个正实数x，y满足1x＋4y＝1，所以x＋y4＝（x＋y4）（1x＋4y）＝2＋4xy＋y4x≥2＋24xy·y4x＝4，当且仅当4xy＝y4x，即x＝2，y＝8时取等号，因为不等式x＋y4＜m2－3m有解，所以m2－3m大于x＋y4的最小值，即m2－3m＞4，解得m（2）（2025·阜阳一模）对任意的正实数x，y，x＋5y≤kx＋y恒成立，则k的最小值为（A.5 B.6C.22 D.10解析：（2）依题意得k≥x＋5yx＋y恒成立，因为（x＋5yx＋y）2＝x+5y+25xyx＋y，25xy＝25x·y≤5x＋y，所以（x＋5yx＋y）2规律方法对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值.练3（1）（2025·南宁调研）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用x年的维修总费用为x2＋x27万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（A.7 B.8C.9 D.10解析：（1）该设备年平均费用y＝x2＋x27+0.1x+3x＝x27＋3x＋37270（x∈N*），∵x＞0，则y＝x27＋3x＋37270≥2x27×3x＋37270＝217270，（2）已知不等式（x＋y）1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（A.2 B.4C.6 D.8解析：（2）已知不等式（x＋y）1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求（x＋y）1x＋ay的最小值大于或等于9，∵1＋a＋yx＋axy≥a＋2a＋1，当且仅当y＝ax时等号成立，∴a＋2a＋1≥9，∴a≥2或a≤－4（舍去），∴a≥一、单项选择题1.已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为（）A.1 B.2C.3 D.4解析：C由已知，得12＝4x＋3y≥24x·3y，即12≥24x·3y，解得xy≤3（2.（2025·无锡调研）已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则x＋yxy的最小值为A.4 B.42C.6 D.22＋3解析：D因为x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，所以x＋yxy＝1y＋1x＝（1y＋1x）（2x＋y）＝2xy＋yx＋3≥22xy·yx＋3＝22＋3，当且仅当2xy＝3.（2025·临川一中模拟）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）A.80元 B.120元C.160元 D.240元解析：C设长方体底面边长分别为x，y，则y＝4x，所以容器总造价为z＝2（x＋y）×10＋20xy＝20（x＋4x）＋80，由基本不等式得，z＝20（x＋4x）＋80≥160，当且仅当底面为边长为2m的正方形时，总造价最低，4.（2025·衡阳一模）若a＞b＞1，x＝lna＋b2，y＝12（lna＋lnb），z＝lnaA.x＜z＜y B.y＜z＜xC.z＜x＜y D.z＜y＜x解析：D由x＝lna＋b2，y＝12（lna＋lnb）＝lnab，z＝lna·lnb，而a＞b＞1，则lna＞lnb＞0，所以12（lna＋lnb）＞lna·lnb，即y＞z，由a＋b2＞ab，则lna＋b2＞5.已知正数a，b满足a2－2ab＋4＝0，则b－a4的最小值为（A.1 B.2C.2 D.22解析：B∵a＞0，b＞0，a2－2ab＋4＝0，则b＝a2＋2a，∴b－a4＝a2＋2a－a4＝a4＋2a≥2a4·2a＝2，当且仅当a4＝2a，6.（2025·许昌模拟）已知a，b为正数，4a2＋b2＝7，则a1+b2的最大值为（A.7 B.3C.22 D.2解析：D因为4a2＋b2＝7，则a1+b2＝12×2a×1+b2＝124a2（1+b2）≤12×4a2+1+b22＝2，当且仅当7.（2025·杭州调研）若对任意m，n∈（0，＋∞），都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为（）A.4 B.9C.2 D.22解析：D由m2－amn＋2n2≥0得m2＋2n2≥amn，即a≤m2+2n2mn＝mn＋2nm恒成立，因为mn＋2nm≥2mn·2nm＝22，当且仅当mn＝2nm，即m＝8.（2025·张掖模拟）已知a＞b＞c，若1a－b＋1b－c＝ma－A.2 B.3C.4 D.5解析：C令x＝a－b，y＝b－c，则x＋y＝a－c，因为a＞b＞c，所以x＞0，y＞0，因为1a－b＋1b－c＝ma－c，所以（1a－b＋1b－c）（a－c）＝m，则m＝（1x＋1y）（x＋y）＝2＋yx＋xy≥2＋二、多项选择题9.已知a＞0，b＞0，则下列命题正确的是（）A.若ab≤1，则1a＋1bB.若a＋b＝4，则1a＋9bC.若a2＋b2＝4，则ab的最大值为2D.若2a＋b＝1，则ab的最大值为2解析：ABC因为0＜ab≤1，所以1ab≥1，所以1a＋1b≥21ab≥2，故A正确；若a＋b＝4，则1a＋9b＝14（a＋b）（1a＋9b）＝14（ba＋9ab＋10）≥14（2ba×9ab＋10）＝4，当且仅当a＝1，b＝3时等号成立，故B正确；若a2＋b2＝4，则ab≤a2＋b22＝2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故C正确；若2a＋b＝1，则1＝2a＋b≥22ab，即10.已知x，y是正数，且x＋y＝2，则（）A.x（x＋2y）的最大值为4B.2x＋2y的最小值为4C.1x＋2y的最小值为3D.x＋y的最大值为2解析：BCD由x，y是正数，且x＋y＝2，可得0＜x＜2，0＜y＜2，x（x＋2y）＝（x＋y－y）（x＋y＋y）＝（x＋y）2－y2＝4－y2，由0＜y2＜4可得0＜4－y2＜4，所以x（x＋2y）无最大值，故A错误；由基本不等式可得2x＋2y≥22x·2y＝22x＋y＝4，当且仅当x＝y＝1时取等号，故B正确；1x＋2y＝12（1x＋2y）（x＋y）＝12（3＋yx＋2xy）≥12（3＋2yx·2xy）＝32＋2，当且仅当x＝22－2，y＝4－22时取等号，故C正确；（x＋y）2＝x＋y＋2xy＝2＋2xy≤2＋x11.（2022·新高考Ⅱ卷12题）若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则（）A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1解析：BC因为x2＋y2－xy＝（x＋y）2－3xy＝1，且xy≤（x＋y）24，所以（x＋y）2－3xy≥（x＋y）2－34（x＋y）2＝14（x＋y）2，故（x＋y）2≤4，当且仅当x＝y时等号成立，即－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；由xy≤x2＋y22得1＝x2＋y2－xy≥x2＋y2－x2＋y22，即x2＋y2≤2，三、填空题12.（2025·云南一模）若正数x，y满足x＋y＝xy，则x＋2y的最小值是3＋22.解析：由x，y为正数，且