2026年高考数学一轮复习三维设计创新-第4节　向量中的最值（范围）问题

第4节向量中的最值（范围）问题【重点解读】平面向量中的最值（范围）问题是高考中的热点，此类问题综合性较强，多与其他知识交汇命题.其基本题型是根据已知条件求某个变量的最值（范围），比如向量的模、数量积、夹角、系数的最值（范围）等.提能点1与系数有关的最值（范围）问题（2025·安徽六校第一次素养测试）已知正方形ABCD的边长为2，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点（如图），若P在BC上，且AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ的最大值为3+22.解析：如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设P（cosθ，sinθ），θ∈[π，2π]，又A（－1，2），B（－1，0），C（1，0），D（1，2），则AP＝（cosθ＋1，sinθ－2），AD＝（2，0），AB＝（0，－2），∵AP＝λAB＋μAD，即（cosθ＋1，sinθ－2）＝λ（0，－2）＋μ（2，0），∴cosθ+1=2μ，sinθ－2=－2λ，解得μ＝cosθ+12，λ＝2－sinθ2，λ＋μ＝2－sinθ2＋cosθ+12＝12（cosθ－sinθ＋3）＝12［2cos（θ＋π4）＋3］，∵θ∈[π，2π]，则θ＋规律方法系数最值（范围）问题的解法（1）利用向量的运算将问题转化为相应的等式关系；（2）运用基本不等式或函数的性质求其最值.练1（2025·长春模拟）在△ABC中，E为AC上一点，AC＝3AE，P为BE上任意一点，若AP＝mAB＋nAC（m＞0，n＞0），则3m＋1n的最小值是（A.4 B.8C.12 D.16解析：C因为AC＝3AE，P为BE上任意一点，AP＝mAB＋nAC＝mAB＋3nAE，因为P，B，E三点共线，所以m＋3n＝1，m＞0，n＞0，则3m＋1n＝（3m＋1n）（m＋3n）＝6＋9nm＋mn≥6＋29nm·mn＝12，当且仅当9nm＝mn且m＋3n＝1，即m＝12，提能点2与数量积有关的最值（范围）问题（2024·天津高考14题）在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE＝12DE，BE＝λBA＋μBC，则λ＋μ＝43；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则AF·DG的最小值为－518解析：法一因为CE＝12DE，即CE＝13BA，则BE＝BC＋CE＝13BA＋BC，可得λ＝13，μ＝1，所以λ＋μ＝43；由题意可知：｜BC｜＝｜BA｜＝1，BA·BC＝0，因为F为线段BE上的动点，设BF＝kBE＝13kBA＋kBC，k∈[0，1]，则AF＝AB＋BF＝AB＋kBE＝（13k－1）BA＋kBC，又因为G为AF中点，则DG＝DA＋AG＝－BC＋12AF＝12（13k－1）BA＋（12k－1）BC，可得AF·DG＝［（13k－1）·BA＋kBC］·［12（13k－1）BA＋（12k－1）BC］＝12（13k－1）2＋k（12k－1）＝59（k－65）2－3法二以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），E（23，1），所以BE＝（－13，1），BA＝（－1，0），BC＝（0，1），因为BE＝λBA＋μBC，所以（－13，1）＝λ（－1，0）＋μ（0，1），所以λ＝13，μ＝1，所以λ＋μ＝43.由B（1，0），E（23，1）可得直线BE的方程为y＝－3（x－1），设F（a，3－3a）（23≤a≤1），则G（a2，3－3a2），所以AF＝（a，3－3a），DG＝（a2，1－3a2），所以AF·DG＝a·a2＋（3－3a）·1－3a2＝5a2－6a＋32＝5（a规律方法向量数量积的最值（范围）问题的解法（1）坐标法：通过建立直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数问题处理；（2）向量法：运用向量数量积的定义、几何意义等向量有关知识解决.练2（2024·商洛模拟）在Rt△ABC中，B＝90°，AB＝7，BC＝2，若动点P满足｜AP｜＝2，则BP·CP的最大值为（）A.16 B.17C.18 D.19解析：B如图，以B为坐标原点，BA，BC的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，则B（0，0），A（7，0），C（0，2）.设P（x，y），则BP·CP＝x2＋y2－2y＝x2＋（y－1）2－1.因为｜AP｜＝2，所以P是圆A：（x－7）2＋y2＝2上的点.又点P与点（0，1）距离的最大值为2＋7+1＝32，即x2＋（y－1）2≤（32）2＝18，所以BP·CP≤17.故BP提能点3与模有关的最值（范围）问题（2024·南通模拟）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝0，若向量c满足｜a＋b－2c｜＝1，则｜c｜的取值范围是［5－12，5+1解析：法一由｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝0，得｜a＋b｜＝5，又｜｜a＋b｜－｜2c｜｜≤｜a＋b－2c｜＝1，即5－1≤｜2c｜≤5＋1，即｜c｜∈［5－12，法二由题意可设a＝（0，1），b＝（2，0），c＝（x，y），则a＋b－2c＝（2－2x，1－2y），由｜a＋b－2c｜＝1，可得（2－2x）2＋（1－2y）2＝1，化简可得（x－1）2＋（y－12）2＝（12）2，该方程表示以（1，12）为圆心，以12为半径的圆，则｜c｜表示圆上的点到原点的距离，而圆心到原点的距离d＝12＋（12）2＝52，所以｜规律方法求向量模的最值（范围）的方法（1）代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，或通过建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示，构造不等式、三角函数等求解；也可直接应用平面向量模的三角不等式：｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜求解；（2）几何法（数形结合法）：弄清所求的模表示的几何特征，注意题目中所给的垂直、平行，以及其他数量关系合理的转化，结合动点表示的图形求解.练3（2025·泉州模拟）设向量a与单位向量e满足对任意t∈R，都有｜a－te｜≥｜a－e｜，则｜a＋e｜的最小值为（）A.3 B.2C.3 D.4解析：B由｜a－te｜≥｜a－e｜，可得a2－2ta·e＋t2e2≥a2－2a·e＋e2，即t2－2a·e·t＋2a·e－1≥0对任意t∈R恒成立，则满足Δ＝（－2a·e）2－4×（2a·e－1）≤0，即（a·e－1）2≤0，所以a·e＝1，设向量a与e的夹角为θ，可得a·e＝｜a｜｜e｜·cosθ＝｜a｜cosθ＝1，所以｜a｜＝1cosθ，则｜a＋e｜＝｜a｜2+2a·e＋｜e｜2＝1cos2θ+3，当cos提能点4与夹角有关的最值（范围）问题已知平面向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，且｜a－3b｜＝1，则cos＜b，3b－a＞的最小值是223解析：由｜a－3b｜＝1两边平方得a2－6a·b＋9b2＝1.又因为｜a｜＝｜b｜，所以a·b＝10a2－16，所以cos＜b，3b－a＞＝b·（3b－a）｜b｜·｜3b－a｜＝3b2－a·b｜b｜＝18b2−(10a2－1规律方法求夹角的最值（范围）要根据夹角余弦值的表达式，利用基本不等式或函数的性质进行求解.练4已知｜a｜＝2｜b｜，｜b｜≠0，且关于x的方程x2＋｜a｜x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角θ的取值范围是［π3，π］解析：因为关于x的方程x2＋｜a｜x＋a·b＝0有实根，所以Δ＝｜a｜2－4a·b＝｜a｜2－4｜a｜·｜b｜·cosθ＝4｜b｜2－8｜b｜2·cosθ≥0，所以cosθ≤12，又θ∈[0，π]，所以π3≤θ≤π，即a与b的夹角θ的取值范围是［π3，一、单项选择题1.（2025·扬州开学考试）已知向量a＝（3，1），b＝（1，3），则｜λa－b｜（λ∈R）的最小值为（）A.2 B.3C.1 D.3解析：C由题意可得λa－b＝λ（3，1）－（1，3）＝（3λ－1，λ－3），所以｜λa－b｜2＝（3λ－1）2＋（λ－3）2＝4λ2－43λ＋4＝4（λ－32）2＋1，故当λ＝32时，｜λa－b｜取得最小值1.故选2.已知平面向量a，b，｜a｜＝1，｜b｜＝2，且a·b＝1.若｜c｜＝2，则（a＋b）·c的最大值为（）A.25 B.10C.2 D.5解析：A设a＋b，c的夹角为θ，则（a＋b）·c＝｜a＋b｜·｜c｜cosθ≤｜a＋b｜·｜c｜＝｜a｜2＋｜b｜2+2a·b·｜c｜＝25，当a＋b，3.（2025·泉州模拟）已知平面向量a，b满足｜a｜＝32，｜b｜＝1，并且当λ＝－4时，｜a＋λb｜取得最小值，则sin＜a，b＞＝（）A.223 B.C.154 D.解析：B平面向量a，b满足｜a｜＝32，｜b｜＝1，则a·b＝32cos＜a，b＞，｜a＋λb｜2＝｜a｜2＋2λa·b＋λ2｜b｜2＝λ2＋62λcos＜a，b＞＋18，则λ＝－32cos＜a，b＞时，｜a＋λb｜2取得最小值，即｜a＋λb｜取得最小值，故－32cos＜a，b＞＝－4，则有cos＜a，b＞＝223，又＜a，b＞∈[0，π]，则sin＜a，b＞＝1－（224.（2025·绵阳一模）已知四边形ABCD是边长为2的正方形，P为平面ABCD内一点，则（PA＋PB）·（PC＋PD）的最小值为（）A.－1 B.－2C.－4 D.－6解析：C建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2），设P（x，y），则PA＝（－x，－y），PB＝（2－x，－y），PC＝（2－x，2－y），PD＝（－x，2－y），所以（PA＋PB）·（PC＋PD）＝（2－2x，－2y）·（2－2x，4－2y）＝（2－2x）2＋4y2－8y＝4（x－1）2＋4（y－1）2－4.所以当x＝1时，y＝1时，PA＋PB·PC＋PD取得最小值－4.5.（2025·沈阳模拟）已知单位向量a，b，若对任意实数x，｜xa＋b｜≥32恒成立，则向量a，b的夹角的取值范围为（A.［π4，3π4］ B.［πC.［π4，π2］ D.［π3解析：B已知a，b是单位向量，由｜xa＋b｜≥32，得（xa＋b）2≥34，则x2＋2（a·b）x＋14≥0，依题意，不等式x2＋2（a·b）x＋14≥0对任意实数x恒成立，则Δ＝4（a·b）2－1≤0，解得－12≤a·b≤12，而cos＜a，b＞＝a·b｜a||b｜＝a·b，则－12≤cos＜a，b＞≤12，又0≤＜a，b＞≤π，函数y＝cosx在[0，π]上单调递减，所以π3≤＜a6.如图，在△ABC中，cos∠BAC＝14，点D在线段BC上，且BD＝3DC，AD＝152，则△ABC的面积的最大值为（A.15 B.17C.215 D.217解析：A设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为BD＝3DC，所以AD＝14AB＋34AC，又AD＝152，cos∠BAC＝14，所以AD2＝（14AB＋34AC）2＝116c2＋916b2＋38bccos∠BAC＝116c2＋916b2＋332bc，则154＝116c2＋916b2＋332bc＝（14c）2＋（34b）2＋332bc≥2×14c·34b＋332bc＝1532bc，当且仅当c＝3b时，等号成立.所以bc≤二、多项选择题7.（2025·晋中模拟）在△ABC中，D为边AC上一点且满足AD＝12DC，若P为BD上一点，且满足AP＝λAB＋μAC，λ，μ为正实数，则下列结论正确的是（A.λμ的最小值为1 B.λμ的最大值为1C.1λ＋13μ的最大值为12 D.1λ解析：BD因为AD＝12DC，所以AC＝3AD，又AP＝λAB＋μAC＝λAB＋3μAD，因为P，B，D三点共线，所以λ＋3μ＝1，又λ，μ为正实数，所以λμ＝13λ×3μ≤13×（λ+3μ2）2＝112，当且仅当λ＝3μ，即λ＝12，μ＝16时取等号，故A错误，B正确；1λ＋13μ＝（1λ＋13μ）（λ＋3μ）＝2＋3μλ＋λ3μ≥2＋23μλ·λ3μ＝4，当且仅当8.已知a，b是单位向量，且｜a＋b｜＝｜a－b｜，（c－a－b）·（c－2a）＝0，则下列说法正确的是（）A.a·b＝0B.若a·k＝n·a，则n＝kC.｜c｜的最大值为2D.c·b的最小值是1解析：ACD∵｜a＋b｜＝｜a－b｜，∴（a＋b）2＝（a－b）2，a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，∴a·b＝0，故A正确；由a·k＝n·a，可得｜a｜·｜k｜cos＜a，k＞＝｜n｜·｜a｜cos＜n，a＞，即｜k｜cos＜a，k＞＝｜n｜cos＜n，a＞，则n＝k不一定成立，故B错误；又a，b是单位向量，a·b＝0，不妨设a＝（1，0），b＝（0，1），设c＝（x，y），又（c－a－b）·（c－2a）＝0，∴（x－1，y－1）·（x－2，y）＝0，（x－1）·（x－2）＋y（y－1）＝0，∴x2－3x＋2＋y2－y＝0，即（x－32）2＋（y－12）2＝12，其表示圆心为D（32，12），半径为22的圆，∴｜c｜max＝｜OD｜＋22＝（32）2＋（12）2＋22＝2＋102，故C正确；由上可知，（y－12）2≤12三、填空题9.（2025·绵阳模拟）已知圆C的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2，点P在直线y＝x＋3上，线段AB为圆C的直径，则｜PA＋PB｜的最小值为32.解析：因为C为AB的中点，所以PA＋PB＝2PC，从而｜PA＋PB｜＝｜2PC｜＝2｜PC｜，可知｜PC｜的最小值为点C到直线y＝x＋3的距离，d＝｜1－1+3｜2＝322，所以｜PA＋PB｜min＝210.（2025·秦皇岛一模）定义在[x1，x2]上的函数y＝f（x）的图象为C，M是C上任意一点，O为坐标原点，设向量OA＝（x1，f（x1）），OB＝（x2，f（x2）），OM＝（x，y），且实数λ满足x＝λx1＋（1－λ）x2，此时向量ON＝λOA＋（1－λ）OB.若｜MN｜≤K恒成立，则称函数y＝f（x）在[x1，x2]上可在标准K下线性近似，其中K是一个确定的实数.已知函数f（x）＝x2－2x在[1，2]上可在标准K下线性近似，那么K的最小值是14解析：由ON＝λOA＋（1－λ）OB得点N在直线AB上，又因为x＝λx1＋（1－λ）x2，所以点M与点N的横坐标相等.由f（x）＝x2－2x（x∈[1，2]）得A（1，－1），B（2，0），则直线AB的方程为y＝x－2，则｜MN｜＝｜x－2－（x2－2x）｜＝｜－x2＋3x－2｜＝｜－（x－32）2＋14｜，x∈[1，2]，所以当x＝32时，｜MN｜取得最大值14，又因为｜MN｜≤K恒成立，所以K≥14，四、解答题11.设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，求PA12＋PA22解：如图，连接OP，OA2，OA6，根据题意及向量加法的平行四边形法则可得PA22＋PA62＝（OA2－OP）2＋（OA易知OA2与OA6反向共线，所以PA22＋PA62＝12[（2OP）2＋（2OA2）2]＝2OP2＋2，同理得，PA12＋PA52＝12[（2OPPA42＋PA82＝12[（2OP）2＋（2OA4）2]PA32＋PA72＝12[（2OP）2＋（2OA3）2]所以PA12＋PA22＋…＋PA82在△OA1A2中，易知1·cosπ8≤｜OP｜≤1所以12＋22≤8OP2＋8≤16，所以PA12＋PA22＋…＋PA82的取值范围为[1212.（2025·邵阳开学考试）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对任意两个向量m＝（x1，y1），n＝（x2，y2），作OM＝m，ON＝n，当m，n不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为S（m，n）＝｜x1y2－x2y1｜；当m，n共线时，易知S（m，n）＝0.（1）分别根据下列已知条件求S（m，n）；①m＝