2026年高考数学一轮复习三维设计创新-第5节　一元二次方程、不等式

第5节一元二次方程、不等式高中总复习·数学课标要求（1）会从实际情景中抽象出一元二次不等式；（2）结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式；（3）了解简单的分式、绝对值不等式的解法.目录CONTENTS知识点一一元二次不等式01.知识点二三个“二次”之间的关系02.课时跟踪检测03.PART01知识点一一元二次不等式1.

（x－a）（x－b）＞0或（x－a）（x－b）＜0型不等式的解集不等式解集a＜ba＝ba＞b（x－a）·（x－b）＞0{x｜x＜a或x＞b}{x｜

⁠}{x｜

⁠

⁠

⁠}（x－a）·（x－b）＜0{x｜

⁠

⁠}⌀{x｜b＜x＜

a}x≠a

x＜b

或x＞a

a＜x＜

b

A.

{x｜

＜x＜2}B.{x｜

≤x＜2}C.

{x｜x＜

或x＞2}D.{x｜x＜

或x＞2}

B（2）（人B必修一P75练习B

5题改编）解关于x的不等式ax2－（1－4a）

x－4＜0（a∈R）.解：①当a＝0时，原不等式可化为－x－4＜0，解得x＞－4；

规律方法

对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有：（1）根据二次项系数为正、负及零进行分类；（2）根据判别式Δ与0的关系判断根的个数；（3）有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.提醒

解不等式ax2＋bx＋c＞0（＜0）时不要忘记当a＝0时的情形.练1（1）（人B必修一P71练习B

1题改编）不等式｜2x－3｜＜x＋1的解

集为

⁠；

②若Δ＝a2－4＝0，则a＝±2.当a＝2时，原不等式可化为x2－2x＋1≤0，即（x－1）2≤0，所以x＝1；当a＝－2时，原不等式可化为x2＋2x＋1≤0，即（x＋1）2≤0，所以x＝－1.（2）（北师必修一P38练习3题改编）解关于x的不等式x2－ax＋1≤0.解：由题意知，Δ＝a2－4，

PART02知识点二三个“二次”之间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象

ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2）有两个相等的实数根x1＝x2＝

⁠

⁠没有实数根

判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集{x｜

⁠

⁠}{x｜

⁠

⁠}Rax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集{x｜

⁠

⁠}⌀⌀x＜x1

或x＞x2

x1＜

x＜x2

（1）已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式bx2－

cx＋3≤0的解集为（

D

）A.

（－∞，－1]B.

（－∞，－3]∪[1，＋∞）C.

[3，＋∞）D.

（－∞，－1]∪[3，＋∞）D解析：根据二次函数y＝x2＋bx＋c的图象可知，－1，2为方程x2＋bx＋c＝0的两根，故－1＋2＝－b，－1×2＝c，即b＝－1，c＝－2，则bx2－cx＋3≤0即－x2＋2x＋3≤0，也即x2－2x－3≥0，（x－3）（x＋1）≥0，解得x≥3或x≤－1.故不等式解集为（－∞，－1]∪[3，＋∞）.（2）〔多选〕（2025·枣庄调研）已知关于x的不等式（x＋2）（x－

4）＋a＜0（a＜0）的解集是（x1，x2）（x1＜x2），则（

ABD

）A.

x1＋x2＝2B.

x1x2＜－8C.

－2＜x1＜x2＜4D.

x2－x1＞6ABD

规律方法1.

一元二次方程的根就是对应一元二次函数的零点，也是对应一元二次不

等式解集的端点值.2.

给出一元二次不等式的解集，相当于知道了对应二次函数的开口方向及

与x轴的交点，可以利用根或根与系数的关系求待定系数.练2（1）〔多选〕已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－1，

3），则下列说法正确的是（

BCD

）A.

a＞0B.

bx－c＞0的解集是{x

x＞

}C.

cx2＋ax－b＞0的解集是{x

x＜－

或x＞1}D.

a＋b＜cBCD

（2）若不等式（a2－4）x2＋（a＋2）x－1≥0的解集是空集，则实数a

的取值范围为

⁠.

提能点一元二次不等式（恒）能成立问题

（1）设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1，2]上有

解，则a的取值范围为（

C

）A.

（－∞，2]B.[2，＋∞）C.

（－∞，

］D.［

，＋∞）

C（2）（人A必修一P58复习题6题改编）不等式kx2＋2kx－3＜0对一切实数

x都成立，试求k的取值范围.

变式若将本例（2）中的条件“对一切实数x都成立”改为“对任意的

k∈[1，3]恒成立”，试求x的取值范围.解：把不等式的左端看成关于k的函数，记f（k）＝（x2＋2x）k－3，则由f（k）＜0对于任意的k∈[1，3]恒成立，得f（1）＝（x2＋2x）－3

＜0，且f（3）＝3（x2＋2x）－3＜0，

规律方法一元二次不等式恒成立问题求参数的策略（1）弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数；（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给

定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论.

练3已知函数f（x）＝mx2－（m－1）x＋m－1.（1）若不等式f（x）＜1的解集为R，求m的取值范围；

（3）若不等式f（x）＞2对一切m∈（0，2）恒成立，求x的取值范围.

PART03课时跟踪检测

A.

{x｜－1＜x≤3}B.{x｜x≤3或x＞4}C.

{x｜－2≤x≤4}D.{x｜－2≤x≤－1}

12345678910111213141516√2.

若不等式kx2＋（k－6）x＋2＞0在R上恒成立，则实数k的取值范围是

（

）A.

[2，18]B.（－18，－2）C.

（2，18）D.（0，2）

√123456789101112131415163.

某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价p（元）之间的

关系为p＝160－2x，生产x（x∈N）件所需成本为c（元），其中c＝

500＋30x，若要求每天获利不少于1

300元，则日销售量x的取值范围是

（

）A.

[20，30]B.[20，45]C.

[15，30]D.[15，45]解析：

设该厂每天获得的利润为y元，则y＝（160－2x）·x－（500

＋30x）＝－2x2＋130x－500，0＜x＜80，x∈N.

根据题意知，－2x2＋

130x－500≥1

300，解得20≤x≤45，x∈N.

所以当20≤x≤45，x∈N

时，每天获得的利润不少于1

300元，故选B.

√123456789101112131415164.

已知关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞），则关于x的不等式

ax2＋（3a－b）x－3b＜0的解集是（

）A.

（－∞，－3）∪（2，＋∞）B.

（－3，2）C.

（－∞，－2）∪（3，＋∞）D.

（－2，3）解析：

由关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞），得b＝2a且

a＜0，则关于x的不等式ax2＋（3a－b）x－3b＜0可化为x2＋x－6＞0，

即（x＋3）（x－2）＞0，解得x＜－3或x＞2，所以不等式的解集为（－

∞，－3）∪（2，＋∞）.故选A.

√12345678910111213141516

A.

{x｜x＜－

或x＞

}B.

{x｜－

＜x＜

}C.

{x｜x＜－

或x＞

}D.

{x｜－

＜x＜0或0＜x＜

}√12345678910111213141516

123456789101112131415166.

若关于x的不等式x2－4x－a＞0在区间（1，5）内有解，则实数a的取

值范围是（

）A.

（－∞，5）B.（5，＋∞）C.

（－4，＋∞）D.（－∞，4）解析：

设f（x）＝x2－4x－a，则f（x）的图象开口向上，对称轴为

直线x＝2，所以要使不等式x2－4x－a＞0在区间（1，5）内有解，只要f

（5）＞0即可，即25－20－a＞0，得a＜5，所以实数a的取值范围为（－

∞，5）.√123456789101112131415167.

（2025·洛阳第一高级中学期中）若关于x的不等式x2－（m＋3）x＋

3m＜0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（

）A.

（6，7]B.[－1，0）C.

[－1，0）∪（6，7]D.[－1，7]解析：

不等式x2－（m＋3）x＋3m＜0可化为（x－3）（x－m）＜

0，当m＞3时，不等式的解集为（3，m），要使解集中恰有3个整数，则

这3个整数只能是4，5，6，所以6＜m≤7；当m＝3时，不等式的解集为

⌀，此时不符合题意；当m＜3时，不等式的解集为（m，3），要使解集

中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，所以－1≤m＜0.综上可

知，实数m的取值范围是[－1，0）∪（6，7].故选C.

√12345678910111213141516二、多项选择题8.

对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a（x－a）（x＋1）

＞0的解集可能为（

）A.

⌀B.（－1，a）C.

（a，－1）D.（a，＋∞）解析：

根据题意，易知a≠0.当a＞0时，函数y＝a（x－a）（x＋1）的图象开口向上，故不等式的解集为（－∞，－1）∪（a，＋∞）.当a＜0时，函数y＝a（x－a）（x＋1）的图象开口向下，若a＝－1，则不等式的解集为⌀；若－1＜a＜0，则不等式的解集为（－1，a）；若a＜－1，则不等式的解集为（a，－1）.√√√123456789101112131415169.

（2025·邯郸一模）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－

∞，－2）∪（3，＋∞），则下列选项中正确的是（

）A.

a＞0B.

不等式bx＋c＞0的解集是{x｜x＜－6}C.

a＋b＋c＞0D.

不等式cx2－bx＋a＜0的解集为（－∞，－

）∪（

，＋∞）√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516三、填空题10.

不等式1≤｜2x－1｜＜2的解集为

⁠.

1234567891011121314151611.

已知函数f（x）＝x2－mx＋2m－4（m∈R），当x＞2时，不等式f

（x）≥－1恒成立，则实数m的取值范围为

⁠.解析：f（x）≥－1，即x2－mx＋2m－3≥0在x＞2时恒成立，令g（x）

＝x2－mx＋2m－3，（－∞，6]

12345678910111213141516

1234567891011121314151612.

（2025·阳泉一模）一般地，把b－a称为区间（a，b）的“长度”.

已知关于x的不等式x2－kx＋2k＜0有实数解，且解集区间长度不超过3个

单位长度，则实数k的取值范围为

⁠.

[－1，0）∪（8，9]

12345678910111213141516四、解答题13.

已知a，b，c∈R，关于x的不等式bx2－3x＋2＞0的解集为{x｜x＜

1或x＞c}.（1）求b，c的值；

12345678910111213141516（2）解关于x的不等式ax2－（ac＋b）x＋bc＜0.解：由（1）知不等式ax2－（ac＋b）x＋bc＜0为ax2－（2a＋1）

x＋2＜0，即（ax－1）（x－2）＜0.①当