2026年高考数学一轮复习三维设计创新-第6节　双曲线

第6节双曲线高中总复习·数学课标要求（1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；（2）掌握双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）；（3）了解双曲线的简单应用.目录CONTENTS知识点一双曲线的定义01.知识点二双曲线的标准方程02.知识点三双曲线的几何性质03.课时跟踪检测04.PART01知识点一双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的

⁠等于非零常数

（

｜F1F2｜）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线

的

，两焦点间的距离叫做双曲线的

⁠.绝对值

小于

焦点

焦距

提醒

（1）若将“小于｜F1F2｜”改为“等于｜F1F2｜”，其余条件不

变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线（包括端点）；若将其

改为“大于｜F1F2｜”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在；（2）若

将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支；（3）若

将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂

直平分线.结论

（1）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦

点，则｜PF1｜min＝a＋c，｜PF2｜min＝c－a；

（1）〔多选〕（2025·邵阳模拟）已知点P为定圆O上的动点，点

A为圆O所在平面上异于点O的定点，线段AP的垂直平分线交直线OP于

点Q，则点Q的轨迹可能是（

ACD

）A.

一个点B.

直线ACD解析：

分以下几种情况讨论：设定圆O的半径为R，①当点A在圆O

上，连接OA（图略），则｜OA｜＝｜OP｜，所以点O在线段AP的垂直

平分线上，由垂直平分线的性质可知｜AQ｜＝｜PQ｜.又因为点Q是线

段AP的垂直平分线与OP的公共点，此时点Q与点O重合，此时，点Q的

轨迹为圆心O，故A正确；②当点A在圆O内，且点A不与圆心O重合，C.

椭圆D.

双曲线连接AQ（图略），由垂直平分线的性质可得｜QA｜＝｜QP｜，所以｜

QA｜＋｜QO｜＝｜QO｜＋｜QP｜＝｜OP｜＝R＞｜OA｜，此时，

点Q的轨迹是以点A，O为焦点，且长轴长为R的椭圆，故C正确；③当点A在圆O外，连接AQ（图略），由垂直平分线的性质可得｜QA｜

＝｜QP｜，所以｜｜QA｜－｜QO｜｜＝｜｜QP｜－｜QO｜｜＝｜

OP｜＝R＜｜OA｜，此时，点Q的轨迹是以点A，O为焦点，且实轴长

为R的双曲线，故D正确.（2）已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，

∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为

⁠.

规律方法1.

在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合｜｜PF1｜

－｜PF2｜｜＝2a，运用平方的方法，建立与｜PF1｜·｜PF2｜的联系.2.

与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解.3.

如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用

定义求解.练1（1）已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1，C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆

M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（

C

）A.

x2－

＝1B.

－y2＝1C.

x2－

＝1（x≤－1）D.

x2－

＝1（x≥1）C

A.1B.3C解析：由题意得2c＝8，可得c＝4，所以a2＝c2－b2＝16－12＝4，解得a

＝2.根据双曲线定义可得｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a＝4，即｜5－｜

MF2｜｜＝4，解得｜MF2｜＝1或｜MF2｜＝9.当｜MF2｜＝1时，｜

MF1｜＋｜MF2｜＝6＜8，不满足题意，故舍去，当｜MF2｜＝9时，｜

MF1｜＋｜MF2｜＝14＞8，满足题意.所以｜MF2｜＝9.C.9D.1或9PART02知识点二双曲线的标准方程知识点二双曲线的标准方程标准方程

－

＝1（a＞0，b＞0）中心在原点，焦点在x轴上

－

＝1（a＞0，b＞0）中心在原点，焦点在y轴上图形

提醒

焦点在哪个轴上，方程中对应项系数为正，另一项为负，且c2＝a2＋

b2，c＞a＞0，c＞b＞0.

A.

－

＝1B.

－

＝1C.

－

＝1D.

－

＝1B

A.

－

＝1B.

－

＝1C.

－

＝1D.

－

＝1C

规律方法求双曲线的标准方程的方法（1）定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，

从而求出a2，b2；

A.

x2－

＝1B.

y2－

＝1C.

x2－

＝1D.

y2－

＝1B

A.

－

＝1B.

－

＝1C.

－

＝1D.

－

＝1D

PART03知识点三双曲线的几何性质标准方程

－

＝1（a＞0，b＞0）

－

＝1（a＞0，b＞0）性

质图形

焦点

⁠

⁠

⁠焦距｜F1F2｜＝

⁠范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：

⁠F1（－c，0），F2（c，

0）F1（0，－c），F2（0，

c）2c

原点

标准方程

－

＝1（a＞0，b＞0）

－

＝1（a＞0，b＞0）性

质顶点A1（－a，0），A2（a，0）A1（0，－a），A2（0，a）轴实轴：线段

，长：

；虚轴：线

段

，长：

；实半轴长：

，虚半轴

长：

⁠离心率e＝

∈

渐近线y＝

⁠y＝

⁠A1A2

2a

B1B2

2b

a

b

（1，＋∞）

角度1

渐近线

A.

y＝±

xB.

y＝±

xC.

y＝±

xD.

y＝±

xB

A.

x2－y2＝1B.

－

＝1C.

－

＝1D.

－

＝1B

规律方法求双曲线渐近线方程的方法（1）求双曲线中a，b的值，进而得出双曲线的渐近线方程；（2）求a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程；（3）令双曲线标准方程右侧为0，将所得代数式化为一次式即为渐近

线方程.提醒

两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x

轴，y轴对称.角度2

离心率

A.2或

B.

C.

D.

或2A

规律方法求双曲线离心率的两种方法练3（1）（2024·全国甲卷理5题）已知双曲线的两个焦点分别为（0，

4），（0，－4），点（－6，4）在该双曲线上，则该双曲线的离心率为

（

C

）A.4B.3C.2D.

C

A.

双曲线C的实轴长为定值B.

双曲线C的焦点在y轴上C.

双曲线C的离心率为定值D.

双曲线C的渐近线方程为y＝±

xBCD

提能点与双曲线有关的最值（范围）问题

A.

（－

，

）B.

（0，

）C.

（－

，

）D.

（0，

）C

A.

（0，

）B.

（1，

）C.

（0，

）D.

（1，

）B

规律方法与双曲线有关的最值（范围）问题的解题方法（1）几何法：若题目中的待求量有明显的几何特征，则考虑利用双曲线

的定义、几何性质以及平面几何中的定理等知识确定极端位置后数形结合

求解；（2）代数法：①构建函数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的

函数关系，则可先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求这个函数

的最值；②构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为

元的不等式求解.

A.

B.

C.

D.

√

PART04课时跟踪检测

A.

－2＜m＜1B.

m＞1C.

m＜－2D.

－1＜m＜2

12345678910111213141516√2.

（2025·榆林模拟）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了

顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的

外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲

面，如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是

8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（

）A.

－

＝1B.

－y2＝1C.

－

＝1D.

－

＝1√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

B.2C.

D.3

√12345678910111213141516

A.

B.3√C.

D.2

12345678910111213141516

A.

－

＝1（x＜－2）B.

－

＝1（x＞2）C.

－

＝1（x＜－2）D.

－

＝1（x＞2）√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.16B.18C.8＋4

D.9＋

√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

y＝±

xB.

y＝±

xC.

y＝±

xD.

y＝±

x√12345678910111213141516

12345678910111213141516二、多项选择题8.

已知曲线C：y｜y｜＝4x｜x｜＋4，则（

）A.

曲线C在第一象限为双曲线的一部分B.

曲线C的图象关于原点对称C.

直线y＝2x与曲线C没有交点D.

存在过原点的直线与曲线C有三个交点√√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

C的方程为

－x2＝1B.

C的离心率为2C.

若点A（x0，y0）为双曲线C上支上的任意一点，P（2，0），则｜

PA｜＋｜AF2｜的最小值为2

D.

若点M（2

，t）为双曲线C上支上的一点，则△MF1F2的内切圆面

积为2π√