2026年高考数学一轮复习三维设计创新-第2节　空间点、直线、平面之间的位置关系

第2节空间点、直线、平面之间的位置关系高中总复习·数学课标要求

（1）借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义；（2）了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.目录CONTENTS知识点一四个基本事实01.知识点二空间点、线、平面之间的位置关系02.知识点三异面直线所成的角03.课时跟踪检测04.PART01知识点一四个基本事实1.

四个基本事实（1）基本事实1：过不在一条直线上的

，有且只有一个平面；（2）基本事实2：如果一条直线上的

在一个平面内，那么这条

直线在这个平面内；（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有

公共点，那么它们有

且只有一条过该点的公共直线；（4）基本事实4：平行于同一条直线的两条直线

⁠.提醒

三点不一定能确定一个平面.当三点共线时，过这三点的平面有无数

个，所以必须是不在同一条直线上的三点才能确定一个平面.三个点

两个点

一个

平行

2.

“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；推论2：经过两条

直线，有且只有一个平面；推论3：经过两条

直线，有且只有一个平面.相交

平行

（1）如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝

D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是（

C

）A.

直线ACB.

直线ABC.

直线CDD.

直线BCC解析：由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上.又因为C∈平

面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面

ABC∩平面β＝CD.

（2）在三棱锥A-BCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H

四点，如果EF∩HG＝P，则（

B

）A.

点P一定在直线BD上B.

点P一定在直线AC上C.

EH∥FGD.

EH与FG必相交B解析：如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面

ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面

ACD.

又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以

P∈AC，故A错误，B正确；易知直线EH，FG共面，则

直线EH，FG平行或相交，故C、D错误.

规律方法共面、共线、共点问题的证明方法练1如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点，平面BB1D1D与A1C交于点M.

求证：（1）E，C，D1，F四点共面；证明：如图，连接EF，CD1，A1B.

∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面.（2）CE，D1F，DA三线共点；证明：∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示.则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.

同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点.（3）B，M，D1三点共线.证明：连接BD1，∵BD1与A1C均为正方体ABCD-

A1B1C1D1的体对角线，故BD1与A1C相交，则令BD1与A1C的交点为O，则B，O，D1三点共线，∵BD1⊂平面BB1D1D，故A1C与平面BB1D1D的交点为O，即O与M重合，故B，M，D1三点共线.PART02知识点二空间点、线、平面之间的位置关系图形语言符号语言公共点直

线与

直线平行

a∥b

⁠个相交

⁠1个异面

a，b是异面直线

⁠个0

a∩b＝A0

图形语言符号语言公共点直

线与

平面相交

⁠1个平行

a∥α0个在平面内

⁠

⁠个a∩α＝Aa⊂α无数

图形语言符号语言公共点平

面与

平面平行

α∥β0个相交

α∩β＝l

⁠个无数

（1）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平

面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（

D

）A.

l与l1，l2都不相交B.

l与l1，l2都相交C.

l至多与l1，l2中的一条相交D.

l至少与l1，l2中的一条相交D解析：法一（反证法）由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交.若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾.故l至少与l1，l2中的一条相交.法二（模型法）如图1，l1与l2是异面直

线，l1与l平行，l2与l相交，故A、B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.（2）〔多选〕下列推断中，正确的是（BD

）A.

M∈α，M∈β，α∩β＝l⇒M∈lB.

A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC.

l⊄α，A∈l⇒A∉αD.

A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合ABD解析：对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，故A正确；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线

AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，故B正确；对于C，若l∩α＝A，则

有l⊄α，A∈l，但A∈α，故C错误；对于D，有三个不共线的点在平面

α，β中，α，β重合，故D正确.规律方法

判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体（如长方

体、空间四边形等）模型来判断；二是排除法.特别地，对于异面直线的

判定常用到结论：“平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过

点B的直线是异面直线.”练2（1）已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则

（

D

）A.

m与n异面B.

m与n相交C.

m与n平行D.

m与n异面、相交、平行均有可能D解析：在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A、B错误，m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误.

（2）在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是弧BC的中点，F是AB的中点，则（

D

）A.

AE＝CF，AC与EF是共面直线B.

AE≠CF，AC与EF是共面直线C.

AE＝CF，AC与EF是异面直线D.

AE≠CF，AC与EF是异面直线D

PART03知识点三异面直线所成的角1.

等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角

⁠

⁠.2.

异面直线所成的角（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线

a'∥a，b'∥b，把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹

角）；（2）范围：

⁠.相等或互

补

（0°，90°]

A.

B.

C.

D.

D

（2）平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩

平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的大小为（

A

）A.60°B.45°C.30°D.90°A解析：如图所示，过点A补作一个与正方体ABCD-A1B1C1D1相同的正方体，易知平面α为平面AF1E，则m，n所成的角为∠EAF1.因为△AF1E为正三角形，所以∠EAF1＝60°.规律方法求异面直线所成角的方法（1）平移法：将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采

用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解；（2）补形法：在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这两个几何体中

找异面直线相应的位置，形成三角形求解.提醒

在求异面直线所成的角时，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要

求的角.

30°

PART04课时跟踪检测一、单项选择题1.

四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为（

）A.4B.3C.2D.1解析：首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以

确定四个平面.故选A.

12345678910111213141516√2.

空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB

与CD的位置关系是（

）A.

平行B.

异面C.

相交或平行D.

平行或异面或相交均有可能√解析：

根据条件作出示意图，得到如

图所示的三种可能的情况，由图可知AB，CD有相交、平行、异面

三种情况，故选D.

123456789101112131415163.

（2025·齐齐哈尔一模）已知a，b，c是三条不同的直线，α，β是

两个不同的平面，α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，则“a，b相交”是“a，c相交”的（

）A.

充要条件B.

必要不充分条件C.

充分不必要条件D.

既不充分也不必要条件解析：

①若a，b相交，a⊂α，b⊂β，则其交点在交线c上，故a，c

相交，②若a，c相交，可能a，b为相交直线或异面直线.综上所述：

“a，b相交”是“a，c相交”的充分不必要条件.故选C.

√123456789101112131415164.

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在

空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（

）A.

不存在B.

有且只有2条C.

有且只有3条D.

有无数条解析：

在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一

个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，M取不同

的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，

而直线MN与这三条异面直线都有交点，如图.

√123456789101112131415165.

如图，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示

直线GH，MN是异面直线的图形为（

）A.

①B.

②③C.

①③D.

②④√12345678910111213141516解析：

图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，N∉GH，因此直线GH与MN异面；图③中，连接GM，则GM∥HN.

因此GH与MN共面；图④中，G，M，N三点共面，但H∉

平面GMN，G∉MN，因此直线GH与MN异面.故选D.

123456789101112131415166.

《九章算术·商功》中刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一

为阳马，其一为鳖臑.”如图1所示的长方体用平面AA1B1B斜切一分为

二，得到两个一模一样的三棱柱，该三棱柱就叫堑堵.如图2所示的堑堵

中，AC＝3，BC＝4，AA1＝2，M为BC的中点，则异面直线A1C与AM

所成角的余弦值为（

）A.

B.

C.

D.

√12345678910111213141516

123456789101112131415167.

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是A1C1上的动点，则下列直

线中，始终与直线BP异面的是（

）A.

DD1B.

ACC.

AD1D.

B1C√12345678910111213141516解析：

对于A，如图1，当点P为

A1C1的中点时，连接B1D1，BD，则

P在B1D1上，BP⊂平面BDD1B1，又

DD1⊂平面BDD1B1，所以BP与DD1共

面，故A不正确；对于B，如图2，连

接AC，易知AC⊂平面ACC1A1，BP⊄平面ACC1A1，且BP∩平面ACC1A1＝P，P不在AC上，所以BP与AC为异面直线，故B正确；当点P与点C1重合时，连接AD1，B1C（图略），由正方体的性质，易知BP∥AD1，BP与B1C相交，故C、D不正确.故选B.

12345678910111213141516二、多项选择题8.

如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C

交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（

）A.

A，M，O三点共线B.

A，M，O，A1共面C.

A，M，C，O共面D.

B，B1，O，M共面√√√12345678910111213141516解析：

∵M∈A1C，A1C⊂平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又∵M∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上，即A，M，O三点共线，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面，故选A、B、C.

123456789101112131415169.

如图所示是一个正方体的平面展开图，则在原正方体中，下列说法正确

的是（

）A.

AB与CD所在的直线垂直B.

CD与EF所在的直线平行C.

EF与GH所在的直线异面D.

GH与AB所在的直线夹角为60°√√√12345678910111213141516解析：

把正方体的平面展开图还原，如图，连接AF.

对于A，因为BD∥CF且BD＝CF，所以四边形BDCF为平行四边形，所以CD∥BF，故AB与CD所成的角为∠ABF，易知△ABF为等边三角形，则∠ABF＝60°，故A错误；对于B，由A可知CD∥EF，故B正确；对于C，由图可知，EF与GH所在的直线异面，故C正确；对于D，因为AH∥GF且AH＝GF，故四边形AFGH为平行四边形，所以GH∥AF，则GH与AB所成的角为∠FAB.

因为△ABF为等边三角形，所以∠FAB＝60°，即GH与AB所在的直线夹角为60°，故D正确.

12345678910111213141516三、填空题10.

已知a，b，c是不同直线，α是平面，若a∥b，b∩c＝A，则直线

a与直线c的位置关系是

；若a⊥b，b⊥α，则直线a与平

面α的位置关系是

⁠.解析：a，b，c是不同直线，α是平面，因为a∥b，b∩c＝A，所以直

线a与直线c的位置关系是相交或异面.因为a⊥b，b⊥α，则直线a与平

面α的位置关系是a∥α或a⊂α.相交或异面a∥α或a⊂α

1234567891011121314151611.

如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且

AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数

为

⁠.解析：因为AB∥CD，由图可以看出EF平行于正方体左右两个侧面，与

另外四个侧面相交.412345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516四、解答题13.

已知ABCD是空间四边形，如图所示，M，N，E，F分别是AB，

AD，BC，CD上的点.

（1）若直线MN与直线EF相交于点O，证明：B，D，O三点共线；12345678910111213141516解：证明：因为M∈AB，N∈AD，AB⊂平面ABD，AD⊂

平面ABD，所以MN⊂平面ABD，因为E∈CB，F∈CD，CB⊂平面CBD，CD⊂平面CBD，所以

EF⊂平面CBD，由于直线MN与直线EF相交于点O，即O∈MN，O∈平面ABD，O∈EF，O∈平面CBD，又平面ABD∩平面CBD＝BD，则O∈BD，所以B，D，O三点共线.12345678910111213141516（2）若E，N为BC，AD的中点，AB＝6，DC＝4，NE＝2，求异面直

线AB与DC所成角的余弦值.

12345678910111213141516

1234567891011121314151614.

如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角

梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，点E是PB的中点.（1）线段PA上是否存在一点G，使得D，C，E，G四点共面？若存

在，请证明，若不存在，请说明理由；解：存在.当G为PA的中点时满足条件.证明如下：如图，连接GE，GD，则GE是△PAB的中位线，所以GE∥AB.

又AB∥DC，所以GE∥DC，所以G，E，C，D四点共面.12345678910111213141516（2）若PC＝2，求三棱锥P-ACE的体