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微拓展端点效应及应用高中总复习·数学

在导数应用的学习中，恒成立问题一直是一大难点问题，思维要求

高，运算强度大，同时也是高考中常考常新的题型.端点效应是指对一类

函数的恒成立问题，可以通过取函数定义域内的某个端点值，或某几个特

殊值，先得到一个必要条件，初步获得参数的范围，再在该范围内讨论，

或去验证其充分条件，进而解决问题，用该方法解决恒成立问题可以减少

分类讨论的类别，常常起到事半功倍的效果.但并不是所有恒成立问题均

能通过端点效应解答，很多题目初看是端点效应问题，但在运用时却发现

端点效应失效（如2020·全国Ⅰ卷理21题）.本文基于导数恒成立问题探讨

端点效应的应用，如何快速识别端点效应失效，若失效又将如何处理.一、端点效应及应用

对任意x≥0，ex≥ax2＋x＋1恒成立，求实数a的取值范围.

二、端点效应失效的快速识别及处理方法

解得x0＝0或x0＝2或x0＝2a＋1，由此判断最值点不一定是端点，端点效

应失效，接下来需满足：

变式设函数f（x）＝ex（ax2－2x＋3），x∈R.

若f（x）≥x＋3恒成

立，求实数a的取值范围.

规律方法1.

端点效应失效的快速识别（1）对于函数h（x）＝f（x）－g（x，a）（x∈D），先按照端点效

应的处理方法，将定义域的端点代入缩小参数的范围，证明其充分性时发

现原函数并不单调，即此时的充分性无法论证，则端点效应失效；（2）端点效应失效的本质为端点处并不是函数的最值，解决此类端点效

应失效恒成立问题的关键在于找到函数的最值，根据上述例题不难发现，

恒成立时的“端点”既是函数的最值点又是函数的零点.因此，解答此类

问题时，只需要通过构造函数，联立方程求解最值和零点，即可快速判断

端点效应是否失效.2.

端点效应失效后的处理方法，最主要的是求出函数的最值点：（1）如果最值点好求，则求出最值点后，代入要满足的条件即得参数的

取值范围，随后再证其充分性即可；（2）如果最值点难求，可先取0，1，e，e2等特殊点验证，求出一个最值

点，然后将最值点看作“端点”，利用端点效应的解题步骤求解即可.1.

（2024·全国甲卷理21题节选）已知函数f（x）＝（1－ax）ln（1＋

x）－x.当x

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