2026年高考数学一轮复习三维设计创新-微突破 几何法求空间角与距离

几何法求空间角与距离几何法求空间角与距离主要是转化构造三角形，即把空间角转化为平面角，空间距离转化为平面距离，进而转化为求解三角形的边、角问题.一、几何法求空间角1.直线和平面所成的角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°，一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°；（2）范围：[0°，90°].2.二面角的有关概念（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；（2）二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角；（3）范围：[0°，180°].角度1求线面角（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝AA1，D，E分别为AC，BC的中点，则异面直线C1D与B1E所成角的余弦值为（D）A.33 B.55C.1010解析：（1）设AB＝2，取A1B1的中点F，连接C1F，DF，DE，则B1F＝12A1B1，因为D，E分别为AC，BC的中点，所以DE∥AB，DE＝12AB，因为A1B1∥AB，A1B1＝AB，所以DE∥B1F，B1F＝DE，所以四边形DEB1F为平行四边形，所以DF∥B1E，所以∠C1DF为异面直线C1D与B1E所成的角或补角.因为AB⊥BC，AB＝BC＝AA1＝2，D，E分别为AC，BC的中点，所以DF＝B1E＝12＋22＝5，C1F＝12＋22＝5，C1D＝（2）2＋22＝6，所以（2）如图，已知正四棱锥P-ABCD底面边长为2，侧棱长为4，M为侧棱PC的中点，则直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为（D）A.143 B.7C.156 D.解析：（2）作PO⊥底面ABCD于O，连接OC，因为正四棱锥P-ABCD底面边长为2，故OC＝2，又侧棱长为4，故PO＝PC2－OC2＝14.又M为侧棱PC中点，取OC的中点F，连接MF，BF，则MF12PO，且MF⊥平面ABCD，故∠MBF是BM与平面ABCD所成的角，且MF＝12PO＝142.又cos∠BCM＝BC2PC＝14.在△BCM中，由余弦定理有BM＝BC2＋CM2－2BC·CMcos∠BCM＝6规律方法几何法求空间角主要分为3个步骤：（1）作（找）角；（2）证明这个角就是要求的角；（3）计算.其中作（找）角是关键，对于异面直线所成的角，一般是通过平移一条直线直至与另一条直线相交，从而得到所求角的平面角；对于线面所成的角，一般是在直线上找一点，作平面的垂线，连接斜足与垂足得到直线在平面上的射影，直线与它在该平面上的射影所成的角就是所求角的平面角.角度2求二面角（1）如图所示，在三棱锥S-ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝2，SA＝3，则二面角S-BC-A的大小为（C）A.30° B.45°C.60° D.75°解析：如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，∵△ABC，△SBC都是等边三角形，∴SB＝SC，AB＝AC，因此有AD⊥BC，SD⊥BC.∴∠ADS为侧面SBC与底面ABC所成的二面角的平面角.∵BC＝2，∴SD＝SB2－BD2＝4－1＝3，AD＝AB2－BD2＝4－1＝3，而SA＝3，∴△SDA（2）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”中，AC＝CB＝CC1，则二面角C1-AB-C的正切值为（D）A.1 B.2C.22 D.解析：由AC＝CB知，AC⊥CB，取AB的中点M，连接C1M，CM，由条件可知∠C1MC即为二面角C1-AB-C的平面角，设AC＝CB＝CC1＝a，则CM＝22a，∴tan∠C1MC＝CC1CM规律方法作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.二、几何法求距离空间距离（1）点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离；（2）直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离；（3）两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.（1）如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为（A）A.23 B.25C.2 D.4解析：（1）如图，取PA的中点M，连接BM，CM，因为PB⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以PB⊥BC，又因为AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以BC⊥PA，因为M是PA的中点，PB＝AB，所以BM⊥PA，又BC⊥PA，BM∩BC＝B，BM，BC⊂平面BCM，所以PA⊥平面BCM，又CM⊂平面BCM，所以CM⊥PA，即CM为点C到直线PA的距离.在等腰Rt△PAB中，BM＝22PB＝22，在Rt△BCM中，CM＝BM2＋BC2＝8+4＝23，故点C（2）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（B）A.1 B.2C.43 D.解析：（2）设点E到平面ACD1的距离为h，因为点E是棱AB的中点，所以点E到平面ACD1的距离等于点B到平面ACD1的距离的一半，又平面ACD1过BD的中点，所以点B到平面ACD1的距离等于点D到平面ACD1的距离，由等体积法VD-ACD1＝VD1-ACD，所以13S△ACD1·2h＝13S△ACD·DD1，S△ACD＝12×2×4＝4，DD1＝2，在△ACD1中，AD1＝22，AC＝CD1＝25，所以S△ACD1＝12×22×（25）2−(2）2规律方法1.求点线距一般要作出这个距离，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求解.2.求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个距离，可根据条件求解，若不易作出点面距，可借助于等体积法求解.1.已知过平面α外一动点A的斜线l与平面α所成角为π6，并且斜线l交平面α于定点B，若动点A与平面α的距离为1，则斜线段AB在平面α上的射影所形成的图形面积是（A.3π B.2πC.π D.π解析：A如图，过点A作平面α的垂线，垂足为C，连接BC，所以线段BC为线段AB在平面α上的射影，∠ABC为斜线l与平面α所成的角，则∠ABC＝π6，又AC＝1，所以BC＝3，故射影形成的图形为半径为3的圆面，其面积为3π.故选A.2.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD∥BC，则AD到平面PBC的距离为（）A.3 B.2C.1 D.2解析：B因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC，所以AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离，因为侧棱PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥BC，因为∠ABC＝90°，即AB⊥BC，因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，因为PA＝AB＝BC＝2，所以PB＝22，设点A到平面PBC的距离为d，则由V三棱锥P-ABC＝V三棱锥A-PBC得13PA·S△ABC＝13d·S△PBC，所以13×2×12×2×2＝13d×12×22×2，得d＝2，所以3.（2024·新高考Ⅱ卷7题）已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为523，AB＝6，A1B1＝2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为（A.12 B.C.2 D.3解析：B法一（直接法）如图，分别取BC，B1C1的中点D，D1，则AD＝33，A1D1＝3，可知S△ABC＝12×6×33＝93，S△A1B1C1＝12×2×3＝3，设正三棱台ABC-A1B1C1的高为h，则VABC-A1B1C1＝13（93＋3＋93×3）h＝523，解得h＝433，分别过A1，D1作底面的垂线，垂足为M，N，设AM＝x，则AA1＝AM2＋A1M2＝x2＋163，DN＝AD－AM－MN＝23－x，可得DD1＝DN2＋D1N2＝（23－x）2＋163，结合等腰梯形BCC1B1可得法二（补形法）如图，将正三棱台ABC-A1B1C1补成正三棱锥P-ABC，则A1A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，因为PA1PA＝A1B1AB＝13，则VP-A1B1C1VP-ABC＝127，可知VABC-A1B1C1＝2627VP-ABC＝523，则VP-ABC＝18，设正三棱锥P-ABC的高为d，则VP-ABC＝13d×12×6×33＝18，解得d＝23，取底面4.〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列说法正确的是（）A.直线BD1⊥平面A1C1DB.三棱锥P-A1C1D的体积为定值C.异面直线AP与A1D所成角的取值范围是πD.直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为6解析：ABDA项，如图，连接B1D1，由正方体可得A1C1⊥B1D1，且BB1⊥平面A1B1C1D1，又A1C1⊂平面A1B1C1D1，则BB1⊥A1C1，因为B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1⊂平面BD1B1，所以A1C1⊥平面BD1B1，又BD1⊂平面BD1B1，所以A1C1⊥BD1.同理，连接AD1，易证得A1D⊥BD1，因为A1D∩A1C1＝A1，A1D，A1C1⊂平面A1C1D，所以BD1⊥平面A1C1D，故A正确；B项，V三棱锥P-A1C1D＝V三棱锥C1-A1PD，因为点P在线段B1C上运动，所以S△A1DP＝12A1D·AB为定值，且C1到平面A1PD的距离即为C1到平面A1B1CD的距离，也为定值，故三棱锥P-A1C1D的体积为定值，故B正确；C项，当点P与线段B1C的端点重合时，AP与A1D所成角取得最小值，最小值为π3，故C错误；D项，因为直线BD1⊥平面A1C1D，所以若直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值最大，则直线C1P与直线BD1所成角的余弦值最大，即点P运动到B1C中点处，直线C1P与直线BD1所成角为∠C1BD1，设正方体棱长为1，在Rt△D1C15.已知平面α上放置有棱长为2的正四面体ABCD，若该四面体绕棱BC旋转，使点D到平面α的距离为1，如图.则点A到平面α的距离为53解析：分别过点A，D作平面α的垂线，垂足为F，E，连接EF，则EF过BC的中点S，如图.在直角梯形AFED中，AD＝2，AS＝DS＝3，DE＝1.所以SE＝2，tan∠DSE＝22，而cos∠ASD＝3+3－42×3×3＝13，所以tan∠ASD＝22.因此tan（∠ASD＋∠ESD）＝22＋221－22×22＝－522，所以tan∠ASF＝56.（2025·广州模拟）正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，P为上底面A1B1C1D1的中心，M是棱AB的中点，正四棱柱的高h∈[3，22]，则点M到