2026年高考数学一轮复习三维设计创新-微突破 隐圆问题

隐圆问题有这样一类有关圆的题目，条件中没有直接给出有关圆的信息，而是以隐性的形式出现，处理这类题目的关键在于能否把“隐形圆”找出来，一方面可以利用圆的几何性质，从“形”的角度找出来，例如：定义法、定角（动点P对两定点A，B的张角是直角）、定理（四点共圆定理）等；另一方面，可以从“数”的角度找出来，例如：圆的普通方程、定值法（已知两定点A，B，动点P满足PA·PB是定值、PAPB是定值）等一、利用圆的定义（方程）确定隐圆（1）已知平面内一个动点A和两个定点B，C满足｜BC｜＝5，△ABC的边AB上的中线长为3，则动点A的轨迹方程为（x－10）2＋y2＝36（y≠0）；（2）已知A，B是圆O：x2＋y2＝1上的动点，｜AB｜＝3，P是圆C：（x－2）2＋（y－1）2＝94上的动点，则｜PA＋PB｜的取值范围是[25－4，25＋4]解析：（1）以B为原点，如图建立坐标系.设A（x，y），则AB的中点为D（x2，y2）.又C（5，0），｜CD｜＝3，代入得（x2－5）2＋（y2）2＝9，即（x－10）2＋y2＝36.由A，B，C三点不共线，可知y≠0.故动点A的轨迹方程是（x－10）2＋y2＝36（y（2）取AB的中点D.因为｜AB｜＝3，所以｜OD｜＝｜OA｜2−|AD｜2＝12，从而点D的轨迹方程为x2＋y2＝14，所以点D的轨迹是以原点O为圆心，12为半径的圆.因为C（2，1），所以｜OC｜＝5.如图，又圆C的半径为32，所以5－2≤｜PD｜≤5＋2，而P＋PB＝2PD，所以｜PA＋PB｜＝2｜PD｜，从而25－4规律方法对于动点的轨迹问题，一是利用曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义识别动点的轨迹，二是利用直接法求出方程，通过方程识别轨迹.二、由圆周角的性质（垂直关系）确定隐圆（1）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为（C）A.2 B.22C.32 D.42解析：（1）直线l1，l2分别经过定点A（0，2），B（2，0），且l1⊥l2，所以点P在以AB为直径的圆C上.圆C的圆心为C（1，1），半径r＝2.因为圆心C到直线l：x－y－4＝0的距离为d＝｜1－1－4｜2＝22，所以点P到直线l的距离的最大值为（2）已知点P（2，t），Q（2，－t）（t＞0），若圆C：（x＋2）2＋（y－3）2＝1上存在点M，使得∠PMQ＝90°，则实数t的取值范围是（A）A.[4，6] B.（4，6）C.（0，4）∪[6，＋∞） D.（0，4）∪（6，＋∞）解析：（2）由题意知，点P（2，t），Q（2，－t）（t＞0），可得以PQ为直径的圆的方程为（x－2）2＋y2＝t2，则圆心C1（2，0），半径R＝t.又由圆C：（x＋2）2＋（y－3）2＝1，可得圆心C（－2，3），半径r＝1，两圆的圆心距为｜CC1｜＝（2+2）2＋（0－3）2＝5，要使得圆C：（x＋2）2＋（y－3）2＝1上存在点M，使得∠PMQ＝90°，即两圆存在公共点，则满足R＋r≥5，R－r≤5，即t规律方法利用圆的性质，即可得到若PA⊥PB或∠APB＝90°，则点P的轨迹是以AB为直径的圆.注意轨迹中要删除不满足条件的点.三、由向量关系确定隐圆（1）在平面直角坐标系xOy中，A（－12，0），B（0，6），点P在圆O：x2＋y2＝50上，若PA·PB≤20，则点P的横坐标的取值范围是[－52，1]；解析：（1）设P（x，y），由PA·PB≤20，易得2x－y＋5≤0，由2x－y+5=0，x2＋y2=50可得x＝－5，y＝－5或x=1，y=7.由2x－y＋5≤0得P点在直线2x－y＋5＝（2）已知点A（2，3），点B（6，－3），点P在直线3x－4y＋3＝0上，若满足等式AP·BP＋2λ＝0的点P有两个，则实数λ的取值范围是（－∞，2）.解析：（2）设P（x，y），则AP＝（x－2，y－3），BP＝（x－6，y＋3），由AP·BP＋2λ＝0，可得（x－4）2＋y2＝13－2λ（λ＜132），即点P的轨迹是以（4，0）为圆心，13－2λ为半径的圆，又点P在直线3x－4y＋3＝0上，所以圆（x－4）2＋y2＝13－2λ与直线3x－4y＋3＝0相交，故圆心到直线的距离d＝｜3×4－4×0+3规律方法两点A，B，动点P满足PA·PB＝λ，确定隐圆.特别地，若A，B为定点，且MA·MB＝0，则点M的轨迹是以AB为直径的圆.四、由平方关系确定隐圆在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x－a）2＋（y－a＋2）2＝1，点A（0，2），若圆C上存在点M，满足｜MA｜2＋｜MO｜2＝10，则实数a的取值范围是[0，3].解析：设M（x，y），由｜MA｜2＋｜MO｜2＝10，可得x2＋（y－1）2＝4，∴点M在圆x2＋（y－1）2＝4上，故圆x2＋（y－1）2＝4和圆（x－a）2＋（y－a＋2）2＝1相交或相切，∴1≤a2＋（a－3）2≤变式在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x＋1）2＋y2＝2，点A（2，0），若圆C上存在点M，满足｜MA｜2＋｜MO｜2≤10，则点M的纵坐标的取值范围是［－72，72］解析：设M（x，y），因为｜MA｜2＋｜MO｜2≤10，所以（x－2）2＋y2＋x2＋y2≤10，化简得x2＋y2－2x－3≤0，则圆C：x2＋y2＋2x－1＝0与圆C'：x2＋y2－2x－3＝0有公共点，将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为x＝－12，代入x2＋y2－2x－3≤0可得－72≤y≤72，所以点M的纵坐标的取值范围是［－72规律方法两定点A，B，动点P满足｜PA｜2＋｜PB｜2＝λ，确定隐圆.五、由两定点A，B，动点P满足｜PA｜｜PB｜＝λ（λ＞0，λ≠1（1）已知点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为12，则点M的轨迹方程为（A）A.（x＋1）2＋y2＝4 B.x2＋（y＋1）2＝4C.（x＋1）2＋y2＝2 D.x2＋（y＋1）2＝2（2）已知点P是圆（x－4）2＋（y－4）2＝8上的动点，A（6，－1），O为坐标原点，则｜PO｜＋2｜PA｜的最小值为10.解析：（1）如图所示，设动点M（x，y），连接MO，MA，有｜MA｜＝2｜MO｜，即（x－3）2＋y2＝2x2＋y2，化简得x2＋y2＋2x－3＝0，即（2）假设A'（m，n），使得｜PO｜＝2｜PA'｜，设P（x，y），则x2＋y2＝2（x－m）2＋（y－n）2，从而可得3x2－8mx＋4m2＋3y2－8ny＋4n2＝0，从而可知圆心坐标为（4m3，4n3），由题意得圆3x2－8mx＋4m2＋3y2－8ny＋4n2＝0与圆（x－4）2＋（y－4）2＝8是同一个圆，所以4m3＝4，4n3＝4，解得m＝n＝3，即A'（3，3）.所以｜PO｜＋2｜PA｜＝2（｜规律方法1.到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，如图，点A，B为两定点，动点P满足｜PA｜＝λ｜PB｜.则当λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ＞0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆.2.阿波罗尼斯圆的逆用：当题目给了一个圆的方程和一个定点，我们可以假设另一个定点，构造相同的阿氏圆，利用两圆是同一个圆，便可以求出定点的坐标.1.已知点A（－1，0），B（1，0），若圆（x－a＋1）2＋（y－a－2）2＝1上存在点M满足MA·MB＝3，则实数a的取值范围是（）A.[－2，0） B.[－2，1]C.（0，1] D.（1，3]解析：B设M（x，y），因为MA·MB＝3，所以点M的轨迹方程为（－1－x，－y）·（1－x，－y）＝3，即x2＋y2＝4，表示圆.又因为点M在圆（x－a＋1）2＋（y－a－2）2＝1上，所以两圆有交点，所以2－1≤（0－a+1）2＋（0－a－2）22.（2025·秦皇岛一模）已知点A（－m，0），B（m，0），若圆C：x2＋y2－6x－8y＋24＝0上存在点P，使得PA⊥PB，则实数m的最大值是（）A.4 B.5C.6 D.7解析：C圆C：x2＋y2－6x－8y＋24＝0即为：（x－3）2＋（y－4）2＝1，其圆心为C（3，4），半径为1，设AB的中点为M，因为点A（－m，0），B（m，0），所以M（0，0），以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝m2，｜CM｜＝32＋42＝5，若圆C：x2＋y2－6x－8y＋24＝0上存在点P，使得PA⊥PB，则圆C与圆M有公共点，即｜｜m｜－1｜≤5≤｜m｜＋1，解得4≤｜m｜≤6，所以实数m的最大值是63.（2025·济宁一模）已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：（x－a）2＋（y－a＋4）2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为（）A.［1－22，2＋22］ B.［1＋22，2C.［2－22，1＋22］ D.［2－22，2解析：D由题意得圆心M（a，a－4）在直线x－y－4＝0上运动，所以动圆M是圆心在直线x－y－4＝0上，半径为1的圆；又因为圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使∠APB＝60°，所以OP＝2，即点P也在圆x2＋y2＝4上，于是2－1≤a2＋（a－4）2≤2＋1，即1≤a2＋（a－4）24.（2025·杭州一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.若圆C上存在点M，使｜MA｜＝2｜MO｜，则圆心C的横坐标的取值范围是（）A.[0，1] B.［0，32C.［0，85］ D.［0，12解析：D点C在直线l：y＝2x－4上，故设C的坐标为（a，2a－4）.因为半径r1＝1，所以圆C的方程是（x－a）2＋[y－（2a－4）]2＝1.设点M（x，y），则由｜MA｜＝2｜MO｜可得点M的轨迹是阿波罗尼斯圆D，即x2＋（y－3）2＝2x2＋y2，化简整理得x2＋（y＋1）2＝4.所以点M（x，y）在以D（0，－1）为圆心，r2＝2为半径的圆上.又点M（x，y）在圆C上，所以两圆有公共点的条件是｜r1－r2｜≤｜DC｜≤｜r1＋r2｜，即1≤5a2－12a＋9≤9，解得0≤a5.（2025·绵阳模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（－t，0）（t＞0），B（t，0），点C满足AC·BC＝8，且点C到直线l：3x－4y＋24＝0的最小距离为95，则实数t的值是1解析：因为点A（－t，0）（t＞0），B（t，0），点C满足AC·BC＝8，设C（x0，y0），则AC＝（x0＋t，y0），BC＝（x0－t，y0），AC·BC＝8⇒x02＋y02＝8＋点C是以原点O（0，0）为圆心，半径r＝8+t2的圆，而O（0，0）到直线l：3x－4y＋24＝0的距离d＝245＞95，因为点C到直线l：3x－4y＋24＝0的最小距离为95，所以245－r＝95⇒r＝8+t2＝3（t6.（2025·赣州模拟）已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M的轨迹就是阿