2026年高考数学一轮复习三维设计创新-重难专攻（六）　数列与其他知识的交汇问题

重难专攻（六）数列与其他知识的交汇问题高中总复习·数学重点解读数列与函数、不等式、集合等知识的交汇问题，是历年高考的热点内容.一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、数列不等式的证明等.目录CONTENTS提能点1数列与函数（导数）的交汇问题01.提能点2数列与不等式的交汇问题02.提能点3数列与集合的交汇问题03.课时跟踪检测04.PART01提能点1数列与函数（导数）的交汇问题

在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a3，a13成等比数

列，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＝2bn－2.（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）设cn＝bn－an，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式Tn＋n2－n＞

log2（1－a）对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围.

规律方法数列与函数（导数）的综合问题涉及两类题型（1）以数列为背景研究数列的函数性质，如研究数列的单调性、周期

性、最值、不等式恒成立下的参数范围问题等.解决这类问题的关键是

以构成数列的函数为载体，结合数列是一类特殊函数（定义域是正整

数集或它的有限子集），利用函数的思想方法求解，体现由特殊到一

般的转化思想；（2）以函数为背景知识研究数列问题，如已知函数的性质，求对应数列

的通项公式，前n项和或比较最大项（最小项）等问题，解决该类问题的

关键是构建符合函数特征的数列，体现由一般到特殊的转化思想.

PART02提能点2数列与不等式的交汇问题角度1

数列与基本不等式的交汇

记Sn为正项数列{an}的前n项和，已知{Sn－an}是等差数列.

规律方法求解数列与不等式综合问题的步骤（1）根据题目条件，求出数列的通项公式；（2）根据数列项的特征，选择合适的方法（公式法、分组转化法、裂项

相消法、错位相减法等）求和；（3）利用（2）中所求得的数列的和，证明不等式或求参数的范围；（4）反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤.提醒

解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式

的证明方法，如比较法、综合法、分析法、利用基本不等式等；若是含参

数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.角度2

放缩法证明数列不等式

（2025·邢台一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1.（1）求{an}的通项公式；解：由Sn＝2an－1，当n＝1时，S1＝2a1－1，则a1＝1≠0，当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，两式相减得Sn－Sn－1＝2an－1－（2an－1－1），即an＝2an－1（n≥2），因此数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n－1.

规律方法

与数列有关的不等式的证明问题，一般采用放缩法进行证明，其大致

可分为两类：（1）先求和再放缩：对于含有数列和的不等式，若数列的和易于求出，

则一般采用先求和再放缩的策略证明不等式；

练2（2025·辽阳一模）已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝（n－

1）·2n＋1＋2.（1）求{an}的通项公式；解：由题意可知，当n＝1时，a1＝2；当n≥2时，由a1＋2a2＋…＋nan＝（n－1）·2n＋1＋2得，a1＋2a2＋…＋

（n－1）an－1＝（n－2）·2n＋2，两式作差可得，nan＝（n－1）·2n＋1－（n－2）·2n＝n·2n，∴an＝

2n，a1＝2也适合该式，故an＝2n.

PART03提能点3数列与集合的交汇问题

（1）证明：数列{an}是等差数列；

规律方法

数列与集合的综合问题的实质是研究以等差（比）数列为载体，结合

集合的概念或运算而衍生出的新数列问题，是近几年新高考下的创新题

型，即已知数列{an}的项组成集合A，数列{bn}的项组成集合B，数列

{cn}的项组成集合C，在规定了数列{cn}的排序规则前提下，（1）若

A∩B＝C，则c1，c2，…，ck为数列{an}，{bn}的公共项数列；（2）若

A∪B＝C，则c1，c2，…，ck为数列{an}，{bn}的并项数列；（3）若满

足C⊆A，则{cn}为{an}的有序子数列；（4）同时还可按照某种递推关系

cn＝an＋bn及不等关系，求集合C中元素的个数等.

（1）在只有5项的有限数列{an}，{bn}中，其中a1＝1，a2＝2，a3＝3，

a4＝4，a5＝5；b1＝1，b2＝4，b3＝5，b4＝4，b5＝1；试判断数列{an}，

{bn}是否为集合W中的元素；

PART04课时跟踪检测1.

（2022·新高考Ⅱ卷17题）已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等

比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.（1）证明：a1＝b1；解：证明：设等差数列{an}的公差为d，由a2－b2＝a3－b3得a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，即d＝2b1，由a2－b2＝b4－a4得a1＋d－2b1＝8b1－（a1＋3d），即a1＝5b1－2d，将d＝2b1代入，得a1＝5b1－2×2b1＝b1，即a1＝b1.1234（2）求集合{k｜bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数.解：由（1）知an＝a1＋（n－1）d＝a1＋（n－1）×2b1＝（2n－1）a1，bn＝b1·2n－1，由bk＝am＋a1得b1·2k－1＝（2m－1）a1＋a1，由a1＝b1≠0得2k－1＝2m，由题知1≤m≤500，所以2≤2m≤1

000，所以k＝2，3，4，…，10，共9

个数，即集合{k｜bk＝am＋a1，1≤m≤500}＝{2，3，4，…，10}中元素

的个数为9.1234

（1）求数列{an}的通项公式；

1234

1234

1234（2）求{an}的通项公式；

1234

1234

1234

（1）若{an}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；

1234（2）若a1＝1，a2＝2，a3＝4，且存在r∈[3，7]，使得m·an≥n－r对

任意的n∈N*