小升初数学衔接教材第16讲余角和补角教师版

第16讲余角和补角【教材精讲】教学目标：1、在具体情境中了解余角与补角，方位角的意义。2、懂得等角的余角相等，等角的补角相等，并能运用这些性质解决一些简单的实际问题。3、掌握方位角的判别与应用。4、经历观察、操作、推理、交流等活动，发展学生的空间观念，培养学生的推理能力和有条理的表达能力。教学重难点：余角与补角的性质.方位角的判别与应用.教学过程：一、提出问题用量角器量出图中的两个角的度数，并求出这两个角的和.说出一副三角尺中各个角的度数.30°，60°，90°；45°，45°，90°；60°,60°,60°。二、探究新知1.余角与补角的概念在一副三角尺中，每块都有一个角是90度，而其它两个角的和是90度.一般情况下，如果两个角的和等于90度(直角)，我们就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角.例如，∠1与∠2互为余角，∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角.同样，如果两个角的和等于180度(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.2.余角与补角的性质问题1：如果∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，并且∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗?为什么?问题2：如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，并且∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗?为什么?学生分组讨论、交流，说出各自的理由，最后师生共同归纳余角与补角的性质：余角性质：等角的余角相等；补角性质：等角的补角相等。【答案】（1）∠2与∠4相等（2）∠2与∠4相等【解析】（1）∵∠1与∠2互余，∠3与∠4互余∴∠1+∠2=90°∠3+∠4=90°又∠1=∠3∴∠2=∠4（2）∵∠1与∠2互补，∠3与∠4互补∴∠1+∠2=180°∠3+∠4=180°又∠1=∠3∴∠2=∠4巩固新知【例1】比一比，看谁填得快.角αα的余角α的补角5°30°42°54°62°23′78°23′8″【答案】角αα的余角α的补角5°85°175°30°60°150°42°48°138°54°36°126°62°23′27°37′117°37′78°23′8″11°36′52″101°36′52″【解析】试题分析：根据余角、补角的定义直接计算。α的余角=90°角α；α的补角=180°角α。【例2】已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角。【答案】45°【解析】试题分析：根据该角的余角和补角的数量关系，列出等量关系式，即可取得该角的度数。设这个角为α，180°α=（90°α)×3，求出来α=45°3.方位角在航行、测绘等工作以及生活中，我们经常会碰到上述类似问题，即如何描述一个物体的方位.方位的表示通常用“北偏东多少度”、“北偏西多少度”或者“南偏东多少度”、“南偏西多少度”来表示。“北偏东45度”、“北偏西45度”、“南偏东45度”、“南偏西45度”，分别称为“东北方向”、“西北方向”，“东南方向”、“西南方向”。说明：用量角器画射线要注意两点：一是先从正南或正北方向作角的始边，二要分清东南西北，理解偏东、偏西的意义.4.已知点O在点A的南偏东30°方向，那么，点A应在点O的()A.南偏东60°方向B.北偏东30°方向C.北偏西60°方向D.北偏西30°方向【答案】D【解析】试题分析：画出点O和点A的相对位置，不难发现点A应在点O的北偏西30°方向。三、课堂小结：这节课你学习了哪些知识？【达标训练】一、选择题（每题3分）1．若∠A=64°，则它的余角等于（）A．116°B．26°C．64°D．50°【答案】B【解析】试题分析：根据余角定义，列出等量关系式，直接计算求得。余角=90°64°=26°故选B。考点：余角的定义。2．甲看乙的方向是北偏东30°，那么乙看甲的方向是（）A．南偏东60°B．南偏西60°C．南偏东30°D．南偏西30°【答案】D【解析】试题分析：这是方位角的问题。方法是：先以甲为中心，画十字，建立坐标。“乙的方向为北偏东30°”，画出乙的位置；然后以乙为中心，画十字，建立坐标去看甲就可以了。从而确定乙看甲的方向是南偏西30°。故选D。考点：方位角。3．如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③（∠α+∠β）；④（∠α﹣∠β）．正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】试题分析：根据题中的等量关系，验证每个式子是否为∠β的余角，即90°∠β。∵90°∠β表示∠β的余角，∴①正确；∵∠α90°=180°∠β90°=90°∠β，∴②正确；∵（∠α+∠β）=·180°=90°，∴③错误；∵（∠α∠β）=（180°∠β∠β）=90°∠β，∴④正确。正确的式子有3个。故选B。考点：余角和补角的定义。4．如图，南偏东15°和北偏东25°的两条射线组成的角（即∠AOB）等于（）度．A．40°B．80°C．50°D．140°【答案】D【解析】试题分析：根据方位角的定义，找到其与∠AOB的数量关系。南偏东15°和北偏东25°的两条射线组成的角=180°15°25°=140°。故选D。考点：方位角。5．如图，∠AOB是直角，∠AOC=38°，OD平分∠BOC，则∠AOD的度数为（）A．52°B．38°C．64°D．26°【答案】C【解析】试题分析：先找到∠AOD的等量关系式，再确定未知角的度数，即可计算得出最终结果。∵∠AOD=∠AOC+∠DOC又OD平分∠BOC，∠AOB是直角得∠DOC=∠BOC=（90°∠AOC）∴∠AOD=（90°+∠AOC）=（90°+38°）=64°故选C。考点：角度的计算，角平分线，余角的定义。6．下列说法中正确的个数是（）①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等；④锐角和钝角互补：⑤如果互补的两个角相等，那么这两个角都是90°．A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】试题分析：根据余角和钝角的概念，可以正面验证，也可以反面举例，来判断每条说法的正误。锐角<90°，则锐角的补角=180°锐角>90°，为钝角，说法①正确；钝角的补角为锐角，小于其本身，说法②错误；同角的补角相等，③正确；只有锐角+钝角=180°，二者才互补，④错误；α+β=180°，且α=β，得α=β=90°，⑤正确。正确的说法为①③⑤。故选C。考点：余角和钝角的概念。7.已知∠A=75°，则∠A的补角等于（）A．125°B．105°C．15°D．95°【答案】B【解析】试题分析：根据钝角的概念，得∠A+∠A的补角=180°，进而算出∠A的补角。∠A的补角=180°∠A=180°75°=105°考点：钝角的概念。8．一个角的度数比它的余角的度数大20°，则这个角的度数是（）A．20°B．35°C．45°D．55°【答案】D【解析】试题分析：求谁设谁，根据题目中的数量关系，列出等式，进行求解。设这个角是α，则余角是90°α∵该角比其余角大20°∴α(90°α)=20°α90°+α=202α=90°+20°=110°∴α=55°故选D。考点：角度的计算，余角的定义。9．如果一个角的补角是120°，那么这个角的余角是（）A．150°B．90°C．60°D．30°【答案】D【解析】试题分析：根据补角和余角的概念，直接计算即可。这个角为180°120°=60°这个角的余角为90°60°=30°故选D。考点：余角和补角的概念。二、填空题（每题3分）10．∠1的余角是50°，∠2的补角是150°，则∠1与∠2的大小关系是__________．【答案】∠1＞∠2【解析】试题分析：根据补角和余角的概念，求出∠1与∠2的度数，直接比较即可。∵∠1余角是50°，∠2的补角是150°∴∠1=90°50°=40°∠2=180°150°=30°∴∠1＞∠2故答案为∠1＞∠2。考点：余角和补角的概念。11．若一个角的余角比它的补角的还多1°，则这个角的大小是__________．【答案】63°【解析】试题分析：求谁设谁，根据补角和余角的概念，列出所求角的等量关系式，直接计算即可。设这个角为α，则它的余角为（90°﹣α），补角为（180°﹣α），根据题意得，解之得，α=63°故答案为63°。考点：余角和补角的概念，角度的计算。12．一个角的余角是54°38′，则这个角的补角是__________．【答案】144°38′【解析】试题分析：根据余角和补角的概念，确定所求角的等量关系式，直接计算即可。由题，这个角的补角=180°这个角又这个角=90°这个角的余角∴这个角的补角=180°（90°这个角的余角）=180°（90°54°38′）=144°38′故答案为144°38′。考点：余角和补角的概念，角度的计算。13．南偏东25°和北偏东35°的两条射线组成的角等于__________度．【答案】120【解析】试题分析：根据题目中射线的角度关系，可以画出方位角的位置，直观求出两条射线组成的角度。所求角的度数=180°（25°+35°）=120°。故答案为120。考点：方位角，补角的概念。14．如果一个角的补角是142°，那么这个角的余角是__________．【答案】52°【解析】试题分析：根据余角和补角的概念，确定所求角的等量关系式，直接计算即可。由题，这个角的余角=90°这个角又这个角=180°这个角的补角∴这个角的余角=90°（180°这个角的补角）=90°（180°142°）=52°故答案为52°。考点：余角和补角的概念。三、解答题（每题10分）15．若一个角的余角与这个角的补角之比是2：7，求这个角的邻补角．【答案】126°【解析】试题分析：根据余角和补角的概念，确定所求角的等量关系式。需要说明的是邻补角是补角的一种，其定义为：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角。直接按照补角的计算公式求解即可。解：设这个角为α，则这个角的余角为90°α，这个角的补角为180°α．依照题意，这两个角的比为：（90°α）：（180°α）=2：7．即360°2α=630°7α5α=270°α=54°∴这个角的邻补角为：180°54°=126°故答案为126°。考点：余角和补角的概念，角度的计算。16．如图，O是直线AB上一点，OC为任意一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）指出图中∠AOD与∠BOE的补角；（2）试判断∠COD与∠COE具有怎样的数量关系．并说明理由．【答案】（1）∠AOD的补角为∠BOD，∠BOE的补角为∠AOE（2）∠COD与∠EOC互余，理由见解析【解析】（1）由题， ∠AOD+∠BOD=180°∠BOE+∠AOE=180°∴∠AOD的补角为∠BOD，∠BOE的补角为∠AOE。（2）∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC

∴∠COD=∠BOC，∠EOC=∠AOC

又∠COD+∠EOC=（∠BOC+∠AOC）=×180°=90°

∴∠COD与∠EOC互余。考点：余角和补角的概念【闯关测验】一、选择题（每题3分）1．已知∠A=37°，则∠A的余角等于（）A．37°B．53°C．63°D．143°【答案】B【解析】试题分析：根据余角的概念，直接计算即可。∠A的余角=90°37°=53°故选B。考点：余角的概念。2．若∠α=30°，则∠α的补角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】D【解析】试题分析：根据补角的概念，直接计算即可。∠α的补角=180°30°=150°故选D。考点：补角的概念。3．已知∠α的补角为125°12′，则它的余角为（）A．35°12′B．35°48′C．55°12′D．55°48′【答案】A【解析】试题分析：根据余角和补角的概念，直接计算即可。∠α的补角为125°12′则∠α=180°125°12′∴∠α的余角的度数是90°∠α=90°（180°125°12′）=35°12′故选A。考点：余角和补角的概念。4．若∠A，∠B互为补角，且∠A<∠B，则∠A的余角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：根据余角、补角的概念，找出题中已知各角的数量关系。∠A+∠B=180∠A的余角=90∠A=（∠A+∠B）∠A=（∠B∠A）故选C。考点：余角和补角的概念。5．若∠α与∠β互为余角，∠β是∠α的2倍，则∠α为()（A）20°（B）30°（C）40°（D）60°【答案】B【解析】试题分析：根据题意列方程的：∠β=90°∠α=2∠α

∴∠α=30°

故选B。考点：余角的概念，角度的计算。6．如图，小明A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（）A．右转80°B．左转80°C．右转100°D．左转100°【答案】A【解析】试题分析：因为此时方向与出发方向相同，也就是要北偏东60度，而现在是北偏西20度，所以向右转80度就是北偏东60度了，也就和出发方向相等了，也就和AB平行了。故选A。考点：方位角。7．在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大小为（）A．69°B．111°C．141°D．159°【答案】C【解析】试题分析：根据方位角的概念、补角的概念，列出∠AOB的等量关系式，计算求出结果。∠AOB＝180°－54°+15°＝141°故选C。考点：方位角的概念、补角的概念。8．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是（）A．图①B．图②C．图③D．图④【答案】A【解析】试题分析：根据互余、互补的定义结合图形判断即可。图①：摆放的三角尺中有一个直角，所以∠α+∠β=90°，即∠α与∠β互余，符合题意；

图②：两个直角摆放在一起，则重合的角与∠α、∠β都互余，所以∠α=∠β，不选；

图③：∠α、∠β分别是等腰直角三角形的两个邻补角，因为等腰三角形的两个底角相等，所以∠α=∠β，不选；

图④：由图可以看出：∠α+∠β=180°，所以∠α与∠β互补，不选。故选A。考点：互余和互补的定义。二、填空题（每题3分）9．若∠1和∠2互为余角，且∠1＝40°，则∠2＝_____°．【答案】50 【解析】试题分析：根据互余的概念，和为90°的两个角互为余角，直接计算即可。∠2度数=90°∠1=90°40°=50°故答案为50。考点：互余的定义。10．已知一个角的补角是128°37′，那么这个角的余角是_______.【答案】38°37′【解析】试题分析：根据余角和补角的定义，可先求出该角，再求出其余角。也可以列出余角的等量关系式，直接求。由题，这个角=180°128°37′=51°23′∴其余角为：90°51°23′=38°37′故答案为38°37′。考点：余角和补角的定义。11．若一个角的补角是这个角的余角的3倍，则这个角的度数为_______.【答案】45°【解析】试题分析：求谁设谁，根据余角、补角的定义，列出所求角的等量关系式。设这个角的度数是α，由题，180°α=3（90°α）解得α=45°故答案为45°。考点：余角和补角的定义。12．已知∠α与∠β互余，且∠α=40°，则∠β的补角为_______度．【答案】1307【解析】试题分析：根据余角、补角的定义，列出所求角的等量关系式。∵∠α与∠β互余，且∠α=40°∴∠β=90∠α=90°40°=50°∴∠β的补角=180°50°=130°故答案为130。考点：余角和补角的定义。13．若∠α的余角为72°，则∠α的补角大小为_______度。【答案】162【解析】试题分析：根据余角、补角的定义，列出所求角的等量关系式。由题，∠α的补角=180°∠α又∠α=90°∠α的余角∴∠α的补角=180°∠α=180°（90°∠α的余角）=90°+72°=162°故答案为162。考点：余角和补角的定义。14．若∠A=62°48′，则∠A的余角=_______。【答案】27°12′【解析】试题分析：根据余角定义，∠A的余角=90°∠A=90°62°48′=27°12′．故答案为27°12′。考点：余角定义。15．已知点A在点B的北偏东62°，则点B在点A的_______．【答案】南偏西62°【解析】试题分析：这是方位角的问题。方法是：先以B为中心，画十字，建立坐标。“A的方向为北偏东62°”，画出A的位置；然后以A为中心，画十字，建立坐标去看B就可以了。从而确定A看B的方向是南偏西62°。故答案为南偏西62°。考点：方位角。16．一个角是67°35′50″，则它的补角是_______．【答案】112°24′10″【解析】这个角的补角=180°67°35′50″=179°59′60″67°35′50″=112°24′10″故答案为112°24′10″。考点：补角的概念，度分秒的换算。17．如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°，若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是_______．【答案】北偏东70°【解析】∵OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°∴∠AOB=40°+15°=55°∵∠AOC=∠AOB∴OC的方向是北偏东15°+55°=70°故答案为北偏东70°。考点：方位角。三、解答题（每题1