2026届人教版高三数学一轮复习零基础（解析几何板块：抛物线）讲义、专题练习、答案汇编

第第页高三数学一轮复习——知识点·梳理抛物线专题知识点·梳理1、抛物线的定义①抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．②抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离)。【即学即练1】已知抛物线上一点P到焦点的距离为5，则点P到x轴的距离为．2、抛物线的标准方程设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：方程（）（）（）（）图形焦点准线【即学即练2】设抛物线：的焦点为，点在上，，若，则（

）A． B．6 C． D．特别说明：①要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形状(焦点位置、开口方向等)。抛物线的标准方程中,有一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为;若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左);若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下)。②焦点的非零坐标是标准方程下一次项系数的③准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称。④通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于，通径是过焦点最短的弦。抛物线（）上一点到焦点的距离，也称为抛物线的焦半径。3、抛物线的简单几何性质标准方程（）（）（）（）图形范围，，，，对称轴轴轴轴轴焦点坐标准线方程顶点坐标离心率通径长4、直线与抛物线的位置关系设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程(1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点;当时,直线与抛物线相切,有一个切点;当时,直线与抛物线相离,没有公共点。(2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合。因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件。【即学即练3】过点且与抛物线有且只有1个公共点的直线条数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3

重点题型·归类精讲重点题型·归类精讲题型一抛物线定义的理解【例1-1】已知抛物线的焦点为为上一点，为坐标原点，当时，，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【例1-2】已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为．【变式1】已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为5，则（

）A．5 B．4 C．3 D．2【变式2】已知抛物线上的点到其准线的距离为4，则（

）A．6 B． C．8 D．【变式3】已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为，则（

）A．B．C．D．。题型二根据抛物线方程求焦点和准线【例2-1】（2024年真题）抛物线的焦点坐标为A、B、C、D、【例2-2】（2018年真题）若抛物线的准线方程为，则【例2-3】（2016年真题）抛物线过点，则该抛物线的准线方程为A、B、C、D、【例2-4】（2014年真题）抛物线的准线方程是___【例2-5】（2006年真题）若抛物线的顶点坐标为，准线方程为，则这条抛物线的焦点坐标为___【例2-6】（2003年真题）抛物线的准线方程为___【变式1】已知抛物线，则焦准距是（

）A．1 B．2 C． D．【变式2】已知抛物线C:，则C的准线方程为（

）A．B．C．D．【变式3】若抛物线过点，则该抛物线的准线方程为．【变式4】已知抛物线）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则抛物线C的准线方程是（

）A． B． C． D．【变式5】已知抛物线C：过点，则抛物线C的准线方程为（

）A． B． C． D．题型三求抛物线方程【例3-1】（2020年真题节选）已知抛物线的顶点在原点，焦点为(1)求的方程【例3-2】（2012年真题）过抛物线的焦点作斜率为和-2的直线，分别交抛物线的准线于，若的面积是5，则抛物线的方程是A、B、C、D、【例3-3】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，求抛物线的方程【例3-4】若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（

）A． B． C． D．【变式1】以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点到焦点的距离为3，则抛物线的方程是（

）A． B． C． D．【变式2】以坐标轴为对称轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为（

）A．或 B．或C．或 D．或题型四抛物线的简单几何性质运用【例4-1】抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【例4-2】抛物线：的焦点为，为上一点且，为坐标原点，则。【例4-3】已知抛物线的焦点为，准线为．若与焦距为的双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为坐标原点），则双曲线的实轴长为．【变式1】设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则三角形的面积为。【变式2】抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且，则的值是。【变式3】已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线交于点A、B，与直线l交于点D，若，则．题型五直线与抛物线【例5-1】（2017年真题）已知抛物线的焦点为，过作的对称轴的垂线，与交于，则A、8B、4C、2D、1【例5-2】（2003年真题）过点的直线和抛物线交于两点，且为线段的中点，求直线的方程【例5-3】直线与抛物线：的图象相切，则的准线方程为（

）A． B． C． D．【变式1】设抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．【变式2】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若弦中点纵坐标为2，则．【变式3】已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点，，求直线方程．【变式4】已知点P到的距离与它到x轴的距离的差为4，P的轨迹为曲线C。(1)求C的方程；(2)若直线与C交于A，B两点，且弦中点的横坐标为，求的斜率。【变式5】已知抛物线：，过点作直线．(1)若直线的斜率存在，且与抛物线只有一个公共点，求直线的方程．(2)若直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，求弦长．题型六综合运用【例6-1】（2023年真题）已知F为抛物线的焦点，过F的直线与C交于A，B两点，若，则。【例6-2】（2022年真题）已知为坐标原点，双曲线与抛物线交于A、B两点﹐△AOB的面积为4。(1)求的方程(2)设为的左右焦点，点P在D上，求的最小值【例6-3】（2020年真题）已知抛物线的顶点在原点，焦点为(1)求的方程（）(2)设为的准线上的一点，为直线与的一个交点且为的中点，求的坐标及直线的方程【例6-4】（2015年真题）已知抛物线，直线(1)证明：与有两个交点的充分必要条件是(2)设与有两个交点，线段的垂直平分线交轴于点，求面积的取值范围【变式1】（2010年真题）已知抛物线为过的焦点且倾斜角为的直线。设与交于两点，与坐标原点连线交的准线于点(1)证明：垂直于轴(2)分析分别取什么范围的值时，与的夹角为锐角、直角或钝角【变式2】（2008年真题）如图，与是过原点的任意两条互相垂直的直线，分别交抛物线于点与点(1)证明交轴于固定点(2)求的面积的最小值【变式3】已知曲线C在x轴的上方，且曲线C上的任意一点到点距离比到直线的距离都小1．（1）求曲线C的方程：（2）设，过点直线与曲线C相交于A、B两点，若恒成立，求实数m的取值范围．

课后模拟·巩固练习课后模拟·巩固练习1、已知点在抛物线：（）上，为的焦点，则（）A．3 B．4 C．5 D．62、焦点在直线上的抛物线的标准方程为（

）A．或 B．或C．或 D．或3、根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程是；(2)过点；(3)焦点到准线的距离为。4、焦点坐标为的抛物线的标准方程为（

）A．B．C．D．5、抛物线的焦点在轴正半轴上，且准线与焦点轴间的距离为3，则此抛物线的标准方程为（

）A． B． C． D．6、抛物线的焦点坐标是（）A． B． C． D．7、抛物线过点，则其准线方程为（

）A．B．C．D．8、若抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，则的值为（

）．A．2 B．3 C．4 D．89、已知抛物线的焦点为点在上。若到直线的距离为4，则（

）A．7 B．6 C．5 D．410、已知抛物线的方程为，则其准线方程为．11、分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)准线方程为；(2)过点；(3)焦点在直线上．12、若双曲线与有相同的焦点，与双曲线有相同渐近线。(1)求双曲线的标准方程;(2)求过点的抛物线标准方程．13、已知抛物线上一点到焦点的距离是6，则其准线方程为（

）A． B． C． D．14、设抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线l与C交于P、Q两点，则。15、已知抛物线的焦点为．(1)求；(2)斜率为1的直线过点F，且与抛物线交于A，B两点，求线段AB的长．16、设抛物线的焦点为，过抛物线上一点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（

）A． B． C． D．17、抛物线的焦点和准线为（

）A．

B．

C．

D．

18、斜率为1的直线经过抛物线（）的焦点，且与抛物线相交于两点，线段的长为8，则的值为（

）A． B．1 C．2 D．319、直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为。20、已知直线与曲线只有一个公共点，则实数的值为．想破130，可以试试1、已知直线：与抛物线：恒有两个交点．(1)求的取值范围；(2)当时，直线过抛物线的焦点，求此时线段的长度．2、已知点，，中恰有两个点在抛物线上．(1)求的标准方程(2)若点，在上，且，证明：直线过定点．3、已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且。(1)求点P的轨迹C的方程；(2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值。4、已知抛物线C:的焦点为F，过点的直线l与C相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D．(1)证明:直线BD经过点F；(2)设，求直线l的方程。

知识点·梳理抛物线知识点·梳理1、抛物线的定义①抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．②抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离)。【即学即练1】已知抛物线上一点P到焦点的距离为5，则点P到x轴的距离为．【答案】。【详解】抛物线方程，则焦点坐标为，准线方程为，由抛物线的定义可知，点P到准线的距离为5，所以，解得：，代入，则所以点P到x轴的距离为．故答案为：。2、抛物线的标准方程设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：方程（）（）（）（）图形焦点准线【即学即练2】设抛物线：的焦点为，点在上，，若，则（

）A． B．6 C． D．【答案】D【详解】由题意可知，，所以．因为抛物线的通径长为，所以轴，所以．故选：D特别说明：①要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形状(焦点位置、开口方向等)。抛物线的标准方程中,有一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为;若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左);若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下)。②焦点的非零坐标是标准方程下一次项系数的。③准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称。④通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于，通径是过焦点最短的弦。抛物线（）上一点到焦点的距离，也称为抛物线的焦半径。3、抛物线的简单几何性质标准方程（）（）（）（）图形范围，，，，对称轴轴轴轴轴焦点坐标准线方程顶点坐标离心率通径长4、直线与抛物线的位置关系设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程(1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点;当时,直线与抛物线相切,有一个切点;当时,直线与抛物线相离,没有公共点。(2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合。因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件。【即学即练3】过点且与抛物线有且只有1个公共点的直线条数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【详解】如图，设过点的直线为，则当与轴平行时，与抛物线有一个公共点；当直线和抛物线相切（有两条切线）时，直线与抛物线也只有一个公共点。由画图可知，过点与抛物线有且只有1个公共点的直线有3条。故选:D。

重点题型·归类精讲重点题型·归类精讲题型一抛物线定义的理解【例1-1】已知抛物线的焦点为为上一点，为坐标原点，当时，，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【详解】如图，过作的准线的垂线，垂足为，作，垂足为，由，得，所以，所以，即．故选：B．【例1-2】已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为．【答案】【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得，代入抛物线方程，得，解得，则点到轴的距离为．故答案为：．【变式1】已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为5，则（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【详解】由题意可知，抛物线的准线为，而与P到准线的距离相等，所以。故选：C【变式2】已知抛物线上的点到其准线的距离为4，则（

）A．6 B． C．8 D．【答案】C【详解】因为点到C的准线的距离为4，所以，解得．故选：C【变式3】已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为，则（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】由抛物线可知，准线方程为，因为到直线的距离为，所以到抛物线准线的距离为，由抛物线定义知，。故选：B。题型二根据抛物线方程求焦点和准线【例2-1】（2024年真题）抛物线的焦点坐标为A、B、C、D、【答案】D【解析】本题考查抛物线基本性质。只能取正的，抛物线开口向上，抛物线标准方程，焦点坐标，即快速求解，前面的系数是焦点坐标的4倍【例2-2】（2018年真题）若抛物线的准线方程为，则【答案】6【解析】准线方程，开口向右，焦点为抛物线标准方程若，即只能取正数，每取一个正数，有两个相对应，抛物线开口向右。焦点坐标准线方程焦点坐标准线方程【例2-3】（2016年真题）抛物线过点，则该抛物线的准线方程为A、B、C、D、【答案】A【解析】把代入抛物线得，所以准线方程为【例2-4】（2014年真题）抛物线的准线方程是___【答案】【解析】，所以准线方程为【例2-5】（2006年真题）若抛物线的顶点坐标为，准线方程为，则这条抛物线的焦点坐标为___【答案】【解析】顶点到准线的距离，与顶点到焦点的距离相等【例2-6】（2003年真题）抛物线的准线方程为___【答案】【解析】，故准线方程为【变式1】已知抛物线，则焦准距是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【详解】由可得，所以，故焦准距为，故选：D【变式2】已知抛物线C:，则C的准线方程为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】若，则可化为标准形式，故，故C的准线方程为，故A正确。【变式3】若抛物线过点，则该抛物线的准线方程为．【答案】【详解】将点代入抛物线方程解得，所以，准线方程为。故答案为：【变式4】已知抛物线）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则抛物线C的准线方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为点在抛物线上，且，可得，解得，即抛物线，所以抛物线C的准线方程是。故选：D。【变式5】已知抛物线C：过点，则抛物线C的准线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由抛物线C：过点，可得，解得，即抛物线的方程为，可得抛物线的准线方程为。故选：B题型三求抛物线方程【例3-1】（2020年真题节选）已知抛物线的顶点在原点，焦点为(1)求的方程解:(1)焦点为，抛物线开口向左，【例3-2】（2012年真题）过抛物线的焦点作斜率为和-2的直线，分别交抛物线的准线于，若的面积是5，则抛物线的方程是A、B、C、D、【答案】D【解析】设两条直线的方程分别为，求出，距离， 抛物线方程为【例3-3】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，求抛物线的方程【答案】【分析】点在抛物线上，由抛物线定义得，解得，故抛物线的标准方程为．【例3-4】若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由于点到点的距离比它到直线的距离小1，故点到点的距离比它到直线的距离相等，故点是在以为焦点，以为准线的抛物线上，故轨迹为，【变式1】以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点到焦点的距离为3，则抛物线的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】根据题意，可设抛物线的方程为，由抛物线的定义知，即，所以抛物线方程为．故选：C．【变式2】以坐标轴为对称轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【详解】直线与坐标轴的交点为，当抛物线的焦点为时，其标准方程为；当抛物线的焦点为时，其标准方程为。故选：D题型四抛物线的简单几何性质运用【例4-1】抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【详解】解：抛物线的焦点坐标为，准线方程为：，准线方程与双曲线联立可得：，解得，故,因为为等边三角形，所以，即有，解得故选：C【例4-2】抛物线：的焦点为，为上一点且，为坐标原点，则。【答案】【详解】如图：不妨设点Px,y在第一象限，过点作与抛物线的准线垂直，垂足为。则，又，所以，所以。所以。故答案为：【例4-3】已知抛物线的焦点为，准线为．若与焦距为的双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为坐标原点），则双曲线的实轴长为．【答案】4【详解】由抛物线的焦点为，则，准线为，又，则，则可得点在双曲线的渐近线上，又焦点在轴的双曲线的渐近线为，则可得，即，又双曲线的焦距为，即，由，即可得，则双曲线的实轴长为，故答案为：【变式1】设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则三角形的面积为。【答案】/【详解】由题意可知直线过点1,0，即为抛物线的焦点F1,0，所以，抛物线的方程为，设，由消去并化简得，解得，所以，直线，即，到直线的距离为，所以三角形的面积为。故答案为：【变式2】抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且，则的值是。【答案】【详解】因为，所以，抛物线的准线方程为，设垂直于准线，垂足为，则，，又因为，所以，又，所以，所以，所以点横坐标为，代入，则，，所以，所以。故答案为：【变式3】已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线交于点A、B，与直线l交于点D，若，则．【答案】3【详解】作，，垂足分别为E，H，记，l与x轴的交点为G，则，易知，，所以，又，所以，即，，所以，故为的中位线，所以。故答案为：3题型五直线与抛物线【例5-1】（2017年真题）已知抛物线的焦点为，过作的对称轴的垂线，与交于，则A、8B、4C、2D、1【答案】B【解析】的焦点为，当时，，所以【例5-2】（2003年真题）过点的直线和抛物线交于两点，且为线段的中点，求直线的方程解：设直线的方程设因为是的中点，所以把直线方程待遇抛物线得：、所以直线的方程为【例5-3】直线与抛物线：的图象相切，则的准线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，消去整理得，由，解得或（舍去），所以抛物线：，则的准线方程为。故选：A【变式1】设抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【详解】由得，，由题意可知直线的斜率存在，故设其方程为，联立与可得，设，则，故，因此，当且仅当时取等号，故选：C【变式2】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若弦中点纵坐标为2，则．【答案】6【详解】由得，所以焦点坐标为，准线为，设弦中点纵坐标为，故．故答案为：6【变式3】已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点，，求直线方程．【答案】(1)(2)或【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，所以椭圆中，因为椭圆的离心率为，即，所以，，所以椭圆方程为（2）当直线斜率不存在时，易知此时，不合题意；所以直线斜率存在，设过抛物线焦点的直线方程为，如下图所：联立得，设，则，根据焦点弦公式可得，解得，，所以直线方程为或【变式4】已知点P到的距离与它到x轴的距离的差为4，P的轨迹为曲线C。(1)求C的方程；(2)若直线与C交于A，B两点，且弦中点的横坐标为，求的斜率。【答案】(1)或。(2)。【详解】（1）设，由题意可知：，两边同时平方，得所以的方程为或。（2）由题可知曲线为，设，，则。由得，所以的斜率为【变式5】已知抛物线：，过点作直线．(1)若直线的斜率存在，且与抛物线只有一个公共点，求直线的方程．(2)若直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，求弦长．【答案】(1)或；(2)【详解】（1）设直线的方程为，联立，消去整理得，则，解得或，故直线的方程为或；（2）抛物线的焦点为，则直线的方程为，设，，联立，消去得，显然则，故．题型六综合运用【例6-1】（2023年真题）已知F为抛物线的焦点，过F的直线与C交于A，B两点，若，则。【答案】【解析】根据题意作出函数的大致图象，如图若，则点纵坐标为点纵坐标的-2倍即因为直线过焦点可设直线直线关系式即抛物线联立整理得由韦达定理得又因为，所以代入抛物线方程得由抛物线的性质得的长度为到准线的距离即的长度为到准线的距离即所以长为【例6-2】（2022年真题）已知为坐标原点，双曲线与抛物线交于A、B两点﹐△AOB的面积为4。(1)求的方程(2)设为的左右焦点，点P在D上，求的最小值解:(1)设焦点，，把代入双曲线方程得,解得双曲线方程为(2)由(1)的,双曲线的标准方程为为双曲线的左右焦点设点坐标为在抛物线上当时,取最小值,最小值为-9【例6-3】（2020年真题）已知抛物线的顶点在原点，焦点为(1)求的方程（）(2)设为的准线上的一点，为直线与的一个交点且为的中点，求的坐标及直线的方程解:(1)焦点为，抛物线开口向左，(2)是抛物线准线上的一点点的横坐标为又是的中点的横坐标为。代入抛物线解析式求得的纵坐标为或。当点的坐标为时，的坐标为设直线方程为，代入点、点得此时直线的直线方程为;同理，当点的坐标为时，的坐标为，此时直线的直线方程为19【例6-4】（2015年真题）已知抛物线，直线(1)证明：与有两个交点的充分必要条件是(2)设与有两个交点，线段的垂直平分线交轴于点，求面积的取值范围解：，即，把代入抛物线得，，整理得，有两个交点，;当时，，抛物线与直线有两个交点。(2)两点之间的距离为椭圆方程，直线方程，即；将直线方程代入椭圆得，整理得；两点之间的距离中点坐标公式与直线垂直的直线斜率，且经过点设直线方程为，代入点得，解得直线方程为点坐标为；点到直线距离为，【变式1】（2010年真题）已知抛物线为过的焦点且倾斜角为的直线。设与交于两点，与坐标原点连线交的准线于点(1)证明：垂直于轴(2)分析分别取什么范围的值时，与的夹角为锐角、直角或钝角证明：设，直线方程为则直线方程为点的坐标为设直线的方程为，解得，故点坐标有因为点的坐标为，所以轴所以与的夹角为钝角【变式2】（2008年真题）如图，与是过原点的任意两条互相垂直的直线，分别交抛物线于点与点(1)证明交轴于固定点(2)求的面积的最小值(1)证明：设直线的方程为则与轴的交点坐标为设点坐标点坐标因为直线与垂直所以，即把直线代入抛物线得整理得，即整理得：因为，所以即交轴于固定点(2)直线过，设直线方程为，代入抛物线方程得即，由韦达定理得所以当直线与轴垂直时，斜率最大，值最小、等于2此时三角形面积最小，最小面积为方法二：设直线方程为直线方程为，抛物线方程为与联立求得点坐标长度为与联立求得点坐标长度为因为所以故三角形面积最小值为1【变式3】已知曲线C在x轴的上方，且曲线C上的任意一点到点距离比到直线的距离都小1．（1）求曲线C的方程：（2）设，过点直线与曲线C相交于A、B两点，若恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）．【详解】（1）设点是曲线C上任意一点，得，即，，整理得，曲线C的方程为；（2）设，设直线，联立得，，，，，，又，解得．【点睛】关键点睛：运用一元二次方程根与系数关系是解题的关键

课后模拟·巩固练习课后模拟·巩固练习1、已知点在抛物线：（）上，为的焦点，则（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】将代入可得所以，故，故选：C2、焦点在直线上的抛物线的标准方程为（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【详解】直线与坐标轴的交点为以及，所以抛物线的焦点为或，当焦点为，此时抛物线方程为，当焦点为时，此时抛物线的方程为，故选：C3、根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程是；(2)过点；(3)焦点到准线的距离为。【答案】(1)(2)或(3)或或或【详解】（1）由准线方程为知抛物线的焦点在轴负半轴上，且，则，故所求抛物线的标准方程为．（2）点在第二象限，设所求抛物线的标准方程为或，将点代入，得，解得，所以抛物线方程为；将点代入，得，解得，所以抛物线方程为．综上所求抛物线的标准方程为或．（3）由焦点到准线的距离为，所以，故所求抛物线的标准方程为或或或．4、焦点坐标为的抛物线的标准方程为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】由焦点坐标可设抛物线的标准方程为，由，所以，所以，抛物线方程为。故选：B5、抛物线的焦点在轴正半轴上，且准线与焦点轴间的距离为3，则此抛物线的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：焦点在轴正半轴上的抛物线标准方程为，又准线与焦点轴间的距离为3，可得，所以抛物线的标准方程为。故选：A。6、抛物线的焦点坐标是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】得到，则焦点坐标为．故选：D7、抛物线过点，则其准线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由抛物线过点，得，即，于是的准线方程为。故选：D8、若抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，则的值为（

）．A．2 B．3 C．4 D．8【答案】D【详解】由题意知，（）的焦点为，的右顶点为，所以，解得。故选：D9、已知抛物线的焦点为点在上。若到直线的距离为4，则（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【详解】因为抛物线的焦点准线方程为，点M在C上，所以M到准线的距离为。又M到直线的距离为4，故。故选：D10、已知抛物线的方程为，则其准线方程为．【答案】【详解】由题意可知，且焦点在x轴的正半轴上，所以其准线方程为。故答案为：11、分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)准线方程为；(2)过点；(3)焦点在直线上．【答案】(1)；(2)或；(3)或。【详解】（1）准线方程为，即，则抛物线的焦点坐标为，所以所求抛物线的标准方程为。（2）设所求抛物线的标准方程为或，于是，解得，或，解得，所以所求抛物线的标准方程为或。（3）直线交y轴于点，则以为焦点的抛物线标准方程为；直线交x轴于点，则以为焦点的抛物线标准方程为，所以所求抛物线的标准方程为或12、若双曲线与有相同的焦点，与双曲线有相同渐近线。(1)求双曲线的标准方程;(2)求过点的抛物线标准方程．【答案】(1)(2)或。【详解】（1）由题意在椭圆中有，，焦点在x轴上，而双曲线与双曲线有相同渐近线，所以设双曲线的标准方程为，所以，解得，所以双曲线的标准方程为。（2）设过点的抛物线标准方程为或，所以有或，解得或，所以过点的抛物线标准方程为或。13、已知抛物线上一点到焦点的距离是6，则其准线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题可得，解得：，所以抛物线的准线方程为故选：A14、设抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线l与C交于P、Q两点，则。【答案】【详解】抛物线的焦点为，过F且斜率为2的直线l方程为：，设，，联立得：，则，所以。故答案为：15、已知抛物线的焦点为．(1)求；(2)斜率为1的直线过点F，且与抛物线交于A，B两点，求线段AB的长．【答案】(1)4(2)16【详解】（1）