2025年春季部编版初中数学教学设计八年级下册第1课时 平行四边形的判定 1

教学设计课题平行四边形的判定1授课人素养目标1.理解并掌握用边、角、对角线来判定平行四边形的方法，培养学生严谨的书写表达能力．2．理解平行四边形的判定定理与性质定理之间的区别和联系，感悟用逆向思维来研究问题．3．综合运用平行四边形的判定方法与性质进行证明和计算.教学重点平行四边形的判定定理的理解与运用．教学难点平行四边形判定方法的探究及证明.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，导入新课设计意图通过实际问题引导学生思考怎样判定平行四边形.【情境导入】小华家准备安装一块平行四边形的装饰玻璃ABCD，但是粗心的小华不小心碰碎了玻璃的一部分，剩下的部分如图①所示．无奈的小华只好拿着剩下的玻璃去玻璃店买同样的玻璃．玻璃店的技师略一思量，很快就画出和原来一模一样的平行四边形，如图②所示．聪明的同学们，你们知道技师是用什么方法画出来的吗？答：我们知道两组对边分别平行的四边形是平行四边形，那么这里，我们过点C作CD∥AB，交过点A且与BC平行的直线于点D，就可以得到一个四边形ABCD.因为两组对边分别平行，所以四边形ABCD是平行四边形．可以知道，画出的平行四边形与原来的一样．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，它的概念就是它的一种判定方法，那么还有其他的判定方法吗？我们一起来探讨一下吧！【教学建议】让学生自己动手画，看能不能在残角的形状上画出一个平行四边形.活动二：逆向推理，探索新知设计意图利用逆向思维思考性质，让学生在解决问题的过程中总结平行四边形的判定定理.探究点1两组对边分别相等的四边形是平行四边形通过前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分．反过来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？我们猜想可能是成立的．下面我们一起来验证两组对边分别相等的四边形是不是平行四边形．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：如图，连接BD.∵AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB，∴△ABD≌△CDB(SSS)．∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD.【教学建议】提醒学生：(1)必须是两组对边分别平行或相等，若是一组对边平行，另一组对边相等，则不能判定平行四边形．(2)连接对角线是解决平行四边18.1.2平行四边形的判定第1课时平行四边形的判定1教学步骤师生活动设计意图同样是逆向思维，让学生由性质猜测判定，再根据概念进行推理验证.设计意图通过动手操作，让学生在活动中得出平行四边形的判定定理，印象更加深刻.∴AB∥CD，AD∥CB.∴四边形ABCD是平行四边形．归纳总结：平行四边形的对边相等，反过来也是成立的，即两组对边分别相等的四边形是平行四边形．【对应训练】1.在四边形ABCD中，AB＝9cm，BC＝6cm，CD＝9cm，当AD＝6cm时，四边形ABCD是平行四边形．2.教材P47练习第1题．探究点2两组对角分别相等的四边形是平行四边形我们知道平行四边形的对角相等，那么对角相等的四边形一定是平行四边形吗？我们来验证看看．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＋∠C＋∠B＋∠D＝360°，∴∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠D＝180°.∴AD∥BC，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．归纳总结：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．【对应训练】一个四边形的三个相邻内角的度数依次如下，那么其中是平行四边形的是(D)A．88°，108°，88°B．88°，104°，108°C．88°，92°，92°D．88°，92°，88°探究点3对角线互相平分的四边形是平行四边形如图①，将两根细木条AC，BD的中点重叠并钉在一起，用橡皮筋连接木条的端点，做成一个四边形ABCD.转动两根木条，四边形ABCD一直是平行四边形吗？说说你的理由．答：四边形ABCD一直是平行四边形．理由：如图②，将图形略为简化．∵AO＝CO，∠AOD＝∠COB，DO＝BO，∴△AOD≌△COB.∴AD＝CB.同理可得AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．归纳总结：对角线互相平分的四边形是平行四边形．由上我们知道，平行四边形的性质定理的条件与结论互换以后，所得命题仍然成立．也就是说，平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理．【对应训练】1．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，要使四边形ABCD为平行四边形，可添加的条件为(B)A．AB＝AD，BC＝CDB．AO＝CO，BO＝DOC．AO⊥DOD．AO⊥AB2．教材P47练习第2题．形问题常用的辅助线，通过连接对角线，把平行四边形问题转化为三角形问题.【教学建议】提醒学生：(1)可根据平行线的判定得到两组对边分别平行，进而根据平行四边形的概念进行判定．(2)此判定定理的使用前提是两组对角分别相等，若两组邻角分别相等则不能判定平行四边形．【教学建议】学生学完三个判定定理后，教师进行总结，可根据情况综合出题．提醒学生：与对角线有关的平行四边形的判定定理一般易与全等三角形相结合．教学步骤师生活动活动三：巩固新知，灵活运用设计意图通过例题及练习巩固新知，提升学生的解题能力.例(教材P46例3)如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形．分析：根据平行四边形的性质可以得出AO＝CO，BO＝DO，再结合AE＝CF，得出四边形BFDE的对角线互相平分，即可得出四边形BFDE是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO.∵AE＝CF，∴AO－AE＝CO－CF，即EO＝FO.又BO＝DO，∴四边形BFDE是平行四边形．【对应训练】如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BE＝DF，AF∥CE.试判断四边形AECF、四边形ABCD的形状，并说明理由．解：四边形AECF、四边形ABCD都是平行四边形．理由如下：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF.又AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形．∴OA＝OC，OE＝OF.又BE＝DF，∴OE＋BE＝OF＋DF，即OB＝OD.∴四边形ABCD是平行四边形.【教学建议】提醒学生根据情况选择不同的判定定理解决问题，比如例题中：(1)已知了一组对边平行，可找另一组对边平行；(2)有对角线，找对角线互相平分.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《》“随堂小练”册子相应课时训练．【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种？这些方法是从什么角度去考虑的？【知识结构】【作业布置】1．教材P50习题18.1第9，10，12，13，15题．2．《》主体本部分相应课时训练．板书设计18.1.2平行四边形的判定第1课时平行四边形的判定11．两组对边分别平行的四边形是平行四边形．2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．3．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．4．对角线互相平分的四边形是平行四边形.教学反思本课时以生活中的实际问题入手，再复习平行四边形的概念和性质，利用逆向思维引导学生发现性质定理与判定定理的关系．在证明命题的过程中，让学生将判定方法进行对比和筛选，便于思维发散，不把思路局限在某一判定方法上.解题方法：解题时应根据具体题目条件灵活选择平行四边形的判定方法：①若已知一组对边平行，可证明另一组对边平行；②若已知一组对边相等，可证明另一组对边相等；③若已知条件与对角线有关，可证明对角线互相平分；④若已知条件与角有关，可证明两组对角相等或对边平行．注意：(1)一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形．(2)平行四边形的判定定理与性质定理是互逆定理，解题时注意题设与结论的书写顺序．例1如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝110°，BE平分∠ABC交AD于点E，F是边BC上一点，∠FDC＝35°.求证：四边形BEDF是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠C＝∠BAD＝110°.∴∠ABC＋∠BAD＝180°.∴∠ABC＝180°－110°＝70°.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝eq\f(1,2)∠ABC＝35°.∵∠CFD＝180°－∠C－∠FDC＝180°－110°－35°＝35°，∴∠CBE＝∠CFD.∴BE∥FD.又BF∥DE，∴四边形BEDF是平行四边形．例2如图，在ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO.(1)求证：△AOF≌△COE；(2)连接AE，CF，则四边形AECF是(填“是”或“不是”)平行四边形．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠OAF＝∠OCE.在△AOF和△COE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠OAF＝∠OCE，,AO＝CO，,∠AOF＝∠COE，))∴△AOF≌△COE(ASA)．解析：由(1)得△AOF≌△COE，∴FO＝EO.又AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形．例3如图，点B，E分别在AC，DF上，AF分别交BD，CE于点M，n，∠A＝∠F，∠1＝∠2.(1)求证：四边形BCED是平行四边形；(2)已知DE＝2，连接Bn，若Bn平分∠DBC，求Cn的长．(1)证明：∵∠A＝∠F，∴DE∥BC.∵∠1＝∠2，且∠1＝∠DMF，∴∠DMF＝∠2.∴DB∥EC.∴四边形BCED是平行四边形．(2)解：∵Bn平分∠DBC，∴∠DBn＝∠CBn.∵DB∥EC，∴∠CnB＝∠DBn.∴∠CnB＝∠CBn.∴Cn＝BC.由(1)得四边形BCED是平行四边形，∴BC＝DE＝2.∴Cn＝BC＝2.培优点平行四边形性质与判定的综合应用例1如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA.(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若△ABE的面积为2，求△CFO的面积．分析：(1)根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，结合BE＝FD可得OE＝OF，即可证明四边形AECF是平行四边形；(2)根据等底同高的三角形面积相等可得S△AEF＝S△ABE，再根据平行四边形的性质可得S△CFO＝eq\f(1,2)S△CEF＝eq\f(1,2)S△AEF.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵BE＝FD，∴OB－BE＝OD－FD，即OE＝OF.又OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．(2)解：∵S△ABE＝2，BE＝EF，∴S△AEF＝S△ABE＝2.∵四边形AECF是平行四边形，∴S△CFO＝eq\f(1,2)S△CEF＝eq\f(1,2)S△AEF＝eq\f(1,2)×2＝1.例2如图，已知∠xOy＝60°，点A在边Ox上，OA＝2，过点A作AC⊥Oy于点C，以AC为一边在∠xOy内作等边三角形ABC，点P是△ABC区域(包括各边)内的一点，过点P分别作PD∥Oy交Ox于点D，PE∥Ox交Oy于点E.设OD＝a，OE＝b，则a＋2b的取值范围是2≤a＋2b≤5.分析：如图，过点P作PH⊥Oy于点H，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP＝OD＝a，在Rt△HEP中，∠EPH＝30°，可得EH的长，计算a＋2b＝2OH，确认OH取得最大值和最小值的位置，可得结论．解析：如图，过点P作PH⊥Oy于点H，过点B作BF⊥Oy于点F.∵PD∥Oy，PE∥Ox，∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP＝∠xOy＝60°.∴EP＝OD＝a，∠EPH＝30°.∴EH＝eq\f(1,2)EP＝eq\f(1,2)a.∴a＋2b＝2(eq\f(1,2)a＋b)＝2(EH＋OE)＝2OH.∵AC⊥Oy，∴∠ACO＝∠ACy＝90°，∠OAC＝90°－∠xOy＝30°.∴OC＝eq\f(1,2)OA＝1.∴AC＝eq\r(