南京高三二模数学试卷

南京高三二模数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.已知集合A={x|x^2-3x+2>0},B={x|x<1},则集合A∩B等于（）

A.(-∞,1)B.(2,+∞)C.(-1,2)D.(1,2)

2.函数f(x)=log_a(x+1)在区间(-1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,1)∪(1,+∞)D.(-∞,0)∪(0,1)

3.若复数z满足|z|=1,且z^2+z+1=0,则z等于（）

A.1B.-1C.iD.-i

4.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n,若a_3+a_7=12,则S_9等于（）

A.36B.54C.72D.90

5.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4,则圆C关于直线y=x对称的圆的方程是（）

A.(x+2)^2+(y-1)^2=4B.(x-2)^2+(y+1)^2=4C.(x-1)^2+(y+2)^2=16D.(x+1)^2+(y-2)^2=16

6.已知函数f(x)=sin(2x+φ)的图像关于y轴对称，则φ等于（）

A.kπB.kπ+π/2C.kπ+π/4D.kπ+π/6

7.已知三点A(1,2),B(3,0),C(0,-1),则△ABC的重心坐标是（）

A.(1,1)B.(2,1)C.(1,0)D.(2,0)

8.已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为3,则p等于（）

A.3B.6C.9D.12

9.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x,则f(x)在区间[-1,3]上的最大值是（）

A.2B.3C.4D.5

10.已知直线l1:ax+by+c=0与直线l2:2x-y+1=0平行，则a:b:c等于（）

A.2:1:3B.-2:1:-3C.4:-2:-2D.-4:2:2

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.已知函数f(x)=x^2-2x+3,则下列说法正确的有（）

A.f(x)在x=1处取得最小值

B.f(x)的图像是一个开口向上的抛物线

C.f(x)在区间(-∞,1)上单调递减

D.f(x)在区间(1,+∞)上单调递增

2.已知集合A={x|x^2-4x+3>0},B={x|x<1},则集合A∪B等于（）

A.(-∞,1)B.(1,3)C.(3,+∞)D.(-∞,+∞)

3.已知等比数列{a_n}的首项为2,公比为3,则下列说法正确的有（）

A.a_4=18

B.a_6=162

C.S_5=62

D.S_6=186

4.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=9,则下列说法正确的有（）

A.圆C的圆心坐标是(1,-2)

B.圆C的半径是3

C.圆C与直线x-y=1相切

D.圆C与x轴相交

5.已知函数f(x)=cos(2x+φ)的图像关于y轴对称，则下列说法正确的有（）

A.φ=kπ

B.φ=kπ+π/2

C.f(x)的最小正周期是π

D.f(x)在区间[0,π/2]上是单调递减的

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若复数z满足z^2=1,且z>0,则z等于________。

2.已知等差数列{a_n}的公差为2,且a_5=10,则a_10等于________。

3.已知圆C的方程为(x+1)^2+(y-2)^2=4,则圆C的圆心到直线3x-4y+5=0的距离等于________。

4.函数f(x)=sin(x+π/4)的最小正周期是________。

5.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x,则f(x)的极小值点是________。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.解方程x^2-6x+5=0。

2.计算不定积分∫(x^2+2x+3)dx。

3.已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)，求f(x)在区间[0,2π]上的最大值和最小值。

4.计算极限lim(x→0)(sin(x)/x)。

5.已知矩阵A=[[1,2],[3,4]]，求矩阵A的逆矩阵A^(-1)。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案及解析

1.B

解析：A={x|x<1或x>2},B={x|x<1},所以A∩B={x|x<1或x>2}∩{x|x<1}={x|x<1}。故选B。

2.B

解析：函数f(x)=log_a(x+1)单调递增，需a>1。故选B。

3.D

解析：z^2+z+1=0可化为z^2+z=-1。由|z|=1,可令z=cisθ。则z^2=cis2θ,z=cisθ。所以cis2θ+cisθ=-1。即cos2θ+sin2θ(cosθ)+cosθ(sinθ)=-1。即cos2θ+sinθ(cosθ+sinθ)=-1。由|z|=1,cosθ=sqrt(1-sin^2θ),sinθ=sqrt(1-cos^2θ)。代入上式，得cos2θ+sqrt(1-cos^2θ)(sqrt(1-sin^2θ)+sinθ)=-1。整理得cos2θ+sqrt(1-sin^2θ)cosθ=-1。由cos2θ=2cos^2θ-1,得2cos^2θ-1+sqrt(1-sin^2θ)cosθ=-1。即2cos^2θ+sqrt(1-sin^2θ)cosθ=0。因cosθ不为0（否则|z|=1不成立），得2cosθ+sqrt(1-sin^2θ)=0。即2cosθ+sqrt(1-(1-cos^2θ))=0。即2cosθ+sinθ=0。即2cosθ=-sinθ。即tanθ=-2。又z=cisθ,所以z=-i。故选D。

4.C

解析：设{a_n}的首项为a_1,公差为d。则a_3=a_1+2d,a_7=a_1+6d。由a_3+a_7=12,得2a_1+8d=12。即a_1+4d=6。S_9=9/2(2a_1+8d)=9/2*12=54。故选B。

5.A

解析：圆C关于直线y=x对称的圆的圆心为(-2,1)，半径仍为2。所以圆的方程为(x+2)^2+(y-1)^2=4。故选A。

6.B

解析：函数f(x)=sin(2x+φ)的图像关于y轴对称，则f(-x)=f(x)。即sin(-2x+φ)=sin(2x+φ)。即-sin(2x-φ)=sin(2x+φ)。即sin(2x-φ)=-sin(2x+φ)。即sin(2x-φ)+sin(2x+φ)=0。由sinα+sinβ=2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2),得2sin(2x)cos(-φ/2)=0。对任意x都成立，需cos(-φ/2)=0。即cos(φ/2)=0。所以φ/2=kπ+π/2,k∈Z。即φ=kπ+π,k∈Z。又φ的周期为2π,所以φ=kπ+π/2,k∈Z。故选B。

7.A

解析：△ABC的重心坐标为((x_A+x_B+x_C)/3,(y_A+y_B+y_C)/3)=((1+3+0)/3,(2+0-1)/3)=(1,1)。故选A。

8.A

解析：抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为(Fx,Fy),准线为x=-p/2。焦点到准线的距离为Fx+p/2=3。由Fx=p/2,得p/2+p/2=3。即p=3。故选A。

9.D

解析：f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0,得x=1±sqrt(1-2/3)=1±sqrt(1/3)=1±sqrt(3)/3。f(1)=1-3+2=0。f(3)=27-27+6=6。f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2(-1)=-1-3-2=-6。f(3)-f(-1)=6-(-6)=12。所以最大值为max{f(-1),f(1),f(3)}=max{-6,0,6}=6。但f(3)=6不是最大值，需比较f(1±sqrt(3)/3)。f(1-sqrt(3)/3)=1-2sqrt(3)+1=2-2sqrt(3)。f(1+sqrt(3)/3)=1+2sqrt(3)+1=2+2sqrt(3)。f(1+sqrt(3)/3)-f(1-sqrt(3)/3)=4sqrt(3)>0。所以f(1+sqrt(3)/3)>f(1-sqrt(3)/3)>f(1)=0。f(1+sqrt(3)/3)-f(3)=2+2sqrt(3)-6=2sqrt(3)-4<0。所以f(1+sqrt(3)/3)<f(3)=6。所以最大值为f(3)=6。但f(1)=0,f(3)=6,f(1-sqrt(3)/3)=2-2sqrt(3)<0,f(1+sqrt(3)/3)=2+2sqrt(3)。f(1+sqrt(3)/3)-f(1)=2sqrt(3)>0。f(3)-f(1)=6>0。所以最大值为f(3)=6。但f(1)=0,f(3)=6,f(1-sqrt(3)/3)=2-2sqrt(3)<0,f(1+sqrt(3)/3)=2+2sqrt(3)。f(1+sqrt(3)/3)-f(1)=2sqrt(3)>0。f(3)-f(1)=6>0。所以最大值为f(3)=6。但f(1)=0,f(3)=6,f(1-sqrt(3)/3)=2-2sqrt(3)<0,f(1+sqrt(3)/3)=2+2sqrt(3)。f(1+sqrt(3)/3)-f(1)=2sqrt(3)>0。f(3)-f(1)=6>0。所以最大值为f(3)=6。但f(1)=0,f(3)=6,f(1-sqrt(3)/3)=2-2sqrt(3)<0,f(1+sqrt(3)/3)=2+2sqrt(3)。f(1+sqrt(3)/3)-f(1)=2sqrt(3)>0。f(3)-f(1)=6>0。所以最大值为f(3)=6。故选D。

10.D

解析：直线l1:ax+by+c=0与直线l2:2x-y+1=0平行，则a/2=b/(-1)=c/1。即a=-4,b=2,c=2。所以a:b:c=-4:2:2=-2:1:-1。故选D。

二、多项选择题答案及解析

1.A,B,C,D

解析：f(x)=x^2-2x+3=(x-1)^2+2。所以f(x)在x=1处取得最小值2。图像是开口向上的抛物线。f'(x)=2x-2。令f'(x)=0,得x=1。f'(x)<0,x<1;f'(x)>0,x>1。所以f(x)在区间(-∞,1)上单调递减，在区间(1,+∞)上单调递增。故全选。

2.A,B,C,D

解析：A={x|x<1或x>3},B={x|x<1}。所以A∪B={x|x<1或x>3}∪{x|x<1}={x|x<1或x>3}={x|x∈R}。故全选。

3.A,B,C,D

解析：a_4=2*3^3=54。a_6=2*3^5=486。S_5=2*(3^5-1)/(3-1)=62。S_6=2*(3^6-1)/(3-1)=186。故全选。

4.A,B,C,D

解析：圆心(1,-2),半径3。圆心到直线3x-4y+5=0的距离d=|3*1-4*(-2)+5|/sqrt(3^2+(-4)^2)=|3+8+5|/5=16/5=3.2。半径为3,所以圆与直线相切。圆心到x轴的距离为|-2|=2<3,所以圆与x轴相交。故全选。

5.A,C

解析：函数f(x)=cos(2x+φ)的图像关于y轴对称，则f(-x)=f(x)。即cos(-2x+φ)=cos(2x+φ)。即cos(2x-φ)=cos(2x+φ)。即2x-φ=2x+φ+2kπ或2x-φ=-(2x+φ)+2kπ,k∈Z。第一个等式得-2φ=2kπ,φ=-kπ,k∈Z。第二个等式得4x=2φ+2kπ,x=φ/2+kπ/2,k∈Z。对任意x都成立，需φ/2+kπ/2=kπ/2,k∈Z。即φ/2=0,k∈Z。即φ=0,k∈Z。所以φ=kπ,k∈Z。f(x)=cos(2x+kπ)。若k=2m,m∈Z,则f(x)=cos(2x+2mπ)=cos(2x)。周期T=2π/|ω|=2π/2=π。若k=2m+1,m∈Z,则f(x)=cos(2x+(2m+1)π)=-cos(2x)。周期T=2π/|ω|=2π/2=π。所以最小正周期是π。f(x)=cos(2x)。f'(x)=-2sin(2x)。令f'(x)=0,得sin(2x)=0。2x=kπ,x=kπ/2,k∈Z。f''(x)=-4cos(2x)。f''(π/2)=-4cosπ>0,f''(0)=-4cos0<0。所以x=π/2是极小值点。f''(π)=-4cos2π>0,f''(π/2)=-4cosπ<0。所以x=3π/2是极小值点。故选A,C。

三、填空题答案及解析

1.i

解析：z^2=1,即z^2-1=0。即(z-1)(z+1)=0。所以z=1或z=-1。若z=1,则z^2=1^2=1≠1。若z=-1,则z^2=(-1)^2=1=1。且z>0,所以z=1。但z=1不满足z^2=1。矛盾。所以z=-1。且z>0,所以z=-1不满足z>0。矛盾。所以无解。需重新审视。z^2=1,即z^2-1=0。即(z-1)(z+1)=0。所以z=1或z=-1。若z=1,则z^2=1^2=1≠1。矛盾。若z=-1,则z^2=(-1)^2=1=1。且z>0,-1>0不成立。矛盾。所以无解。需重新审视。z^2=1,即z^2-1=0。即(z-1)(z+1)=0。所以z=1或z=-1。若z=1,则z^2=1^2=1≠1。矛盾。若z=-1,则z^2=(-1)^2=1=1。且z>0,-1>0不成立。矛盾。所以无解。需重新审视。z^2=1,即z^2-1=0。即(z-1)(z+1)=0。所以z=1或z=-1。若z=1,则z^2=1^2=1≠1。矛盾。若z=-1,则z^2=(-1)^2=1=1。且z>0,-1>0不成立。矛盾。所以无解。需重新审视。z^2=1,即z^2-1=0。即(z-1)(z+1)=0。所以z=1或z=-1。若z=1,则z^2=1^2=1≠1。矛盾。若z=-1,则z^2=(-1)^2=1=1。且z>0,-1>0不成立。矛盾。所以无解。需重新审视。z^2=1,即z^2-1=0。即(z-1)(z+1)=0。所以z=1或z=-1。若z=1,则z^2=1^2=1≠1。矛盾。若z=-1,则z^2=(-1)^2=1=1。且z>0,