【2023春】人教版九年级数学中考压轴试题（含答案解析）

【精品】人教版九年级数学中考压轴试题

(含答案)

1.(7分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+mx+n经过点A

(-1,0)和B(0,3).

(1)求抛物线的表达式；

(2)抛物线与x轲的正半轴交于点C,连接BC.设抛物线的顶点P

关于直线尸t的对称点为点Q,若点Q落在△OBC的内部，求t的

取值范围.

【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题；

(2)分别求出点Q落在直线BC和x轴上时的t的值即可判断；

【解答】解：⑴♦・.抛物线y=-x2+mx+n经过点A(-1,0)和B(0,

3),

.f-1-m+n=0

**1n=3'

解得严:

In=3

・・・抛物线的解析式为y=-X2+2X+3.

(2)如图，易知抛物线的顶点坐标为(1,4).

B

yjo•Q\^

观察图象可知当点P关于直线y=t的对称点为点Q中直线BC上时，

t=3,

当点P关于直线y=t的对称点为点Q在x轴上时，t=2,

・•・满足条件的t的值为2<t<3.

【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法、轴对称等知识，解

题的关键是熟练掌握基本知识，学会寻找特殊点解决问题，属于中考

常考题型.

2.(7分)在正方形ABCD中，点P在射线AC上，作点P关于直线CD

的对称点Q,作射线BQ交射线DC于点E,连接BP.

(1)当点P在线段AC上时，如图1.

①依题意补全图1；

②若EQ=BP,则NPBE的度数为45°,并证明；

(2)当点P在线段AC的延长线上时,如图2.若EQ=BP,正方形ABCD

的边长为1,请写出求BE长的思路.(可以不写出计算结果)

【分析】(1)①作点P关于直线CD的对称点Q,作射线BQ交射线DC

于点E,连接BP；②依据题意得到DP二EP,再根据四边形内角和求得

ZBPE=90°,根据BP=EP,即可得到NPBE=45。；

(2)连接PD,PE,依据△CPD04CPB,可得DP=BP,NFN2,根据

DP=EP,可得N3=N1,进而得到NPEB=45°,N3=N4=22.5。，ABCE

中，已知N4=22.5，,BO1,可求BE长.

【解答】解：(1)①作图如下：

②如图，连接PD,PE,易证4CPD丝Z\CPB,

・・・DP二BP,NCDP=NCBP,

VP.Q关于直线CD对称,

AEQ=EP,

VEQ=BP,

ADP=EP,

AZCDP=ZDEP,

VZCEP+ZDEP=180°,

.,.ZCEP+ZCBP=180°,

VZBCD=90°,

AZBPE=90°,

VBP=EP,

AZPBE=45°,

故答案为：45。；

(2)思路：如图，连接PD,PE,

易证ACPD/ACPB,

・・・DP=BP,Z1=Z2,

VP>Q关于直线CD对称,

AEQ=EP,Z3=Z4,

VEQ=BP,

ADP=EP,

AZ3=Z1,

・・・N3=N2,

.•.Z5=ZBCE=90°,

VBP=EP,

AZPEB=45°,

AZ3=Z4=22.5°,

在aBCE中，已知/4=22.5。,BC=1,可求BE长.

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、轴对称的

性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合运用，解决本题的关键

是熟记全等三角形的性质定理和判定定理.

3.（8分）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（X”yj,点Q

的坐标为（X2,丫2）,且xi?x2,y.^y2,若PQ为某个等腰三角形的腰，

且该等腰三角形的底边与x轴平行，则称该等腰三角形为点P,Q的

“相关等腰三角形”.下图为点P,Q的“相关等腰三角形”的示意

图.

（1）已知点A的坐标为（0,1）,点B的坐标为（75,0）,则点A,

B的“相关等腰三角形”的顶角为120°；

（2）若点C的坐标为（0,6），点D在直线y=4正上，且C,D的“相

关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD的表达式；

（3）。。的半径为加，点N在双曲线y二-2上.若在。。上存在一

x

点M,使得点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出

点N的横坐标x、的取值范围.

【分析】（1）画出图形求出NBAO的度数即可解决问题；

（2）利用等边三角形的性质求出点D坐标即可解决问题；

（3）因为点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，推出直线

MN与x轴的夹角为45°,可以假设直线MN的解析式为y=-x+b,当

直线与。。相切于点M时，求出直线MN的解析式，利用方程组求出

点N的坐标，观察图象即可解决问题.

・••点A,B的“相关等腰三角形”AABC的当C（道,0）或（-2战,

1）,

VtanZBAO=卓二的，

/.ZBA0=ZCA0=60°,

・・・NBAC=NABC'=120°,

故答案为120.

（2）如图2中，设直线y=4加交y轴于F（0,4班）,

一2二一已一一么EWVL

\F/

、✓

\✓

、✓

\/

\/

\/

C*

图2

VC（0,正），

・・・CF=3心

・・•且C,D的“相关等腰三角形”为等边三角形，

.\ZCDF-ZCD,F=60°,

・・.DF=FD'=3V3*tan30°=3,

AD（3,4爪），）（-3,4Vs）,

.•・直线CD的解析式为y=Tx+«,或y=-及x+遭.

(3)如图3中,

・・,点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形,

・・・直线MN与x轴的夹角为45°,

可以假设直线MN的解析式为y=-x+b,

当直线与。。相切于点M时,易知b二土2,

，直线MN的解析式为y=-x+2或y=-x-2,

ry=-x+2_.

由3，解得匕或［J

y=—y=3y=-l

AN(-1,3),N'(3,1),

"y=-x-2

由3解得X：或I-，

y=­y=-3y=l

AN.(-3,1),N2(1,-3),

观察图象可知满足条件的点N的横坐标的取值范围为：-3<x、W-1

或1WXW3.

【点评】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、等边三角形

的性质、等腰直角三角形的性质、“相关等腰三角形”的定义等知识,

解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴

题.

4.(5分)如图所示，某小组同学为了测量对面楼AB的高度，分工

合作，有的组员测得两楼间距离为40米，有的组员在教室窗户处测

得楼顶端A的仰角为30°,底端B的俯角为10。，请你根据以上数

据，求出楼AB的高度.（精确到0.1米）

（参考数据：sinlO°^0.17,coslO0^0.98,tanl0°^0.18,亚

七1.41,^3^1.73)

A

【分析】过点D作DE1AB于点E,在RtAADE中tanN1二整，Z1=30°,

可得AE=DEXtanNl,代入相应数据可得AE长，在RtZXDEB中，

tanN2二器，代入相应数据可得EB长，进而可得AB=AE+BE的长,

【解答】解：过点D作DELAB于点E,

在RtAADE中，NAED=90°，tanNl=瞿，Zl=30°，

：.AE=DEXtanZ1=40Xtan30°=40X^^40X1.73X^23.1

JJ

在RtZ\DEB中，ZDEB=90°，tanZ2=^,Z2=10°，

：.BE=DEXtanZ2=40Xtan100^40X0.18=7.2,

・・・AB=AE+BE-23.1+7.2=30.3米.

A

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是读懂题意，把

实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.

5.（6分）已知：如图，AB为。。的直径，CE_LAB于E,BF〃OC,连

接BC,CF.

求证：ZOCF=ZECB.

【分析】延长CE交。0于点G,利用圆周角的性质进行解答即可.

【解答】证明：延长CE交。。于点G.

〈AB为。。的直径，CEJ_AB于E,

/.BC=BG,

AZG=Z2,

VBF#OC,

・・・N1=NF,

又YNG=NF,

AZ1=Z2.

即NOCF=NECB.

【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据圆周角定理解答.

6.(6分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x-2与双曲线

尸K(kWO)相交于A,B两点，且点A的横坐标是3.

(1)求k的值；

(2)过点P(0,n)作直线，使直线与x轴平行，直线与直线y二x

-2交于点M,与双曲线尸K(kWO)交于点N,若点M在N右边，

X

【分析】(1)把A横坐标代入一次函数解析式求出纵坐标，确定出A

坐标，代入反比例解析式求出k的值即可；

(2)根据题意画出直线，根据图象确定出点M在N右边时n的取值

范围即可.

【解答】解：(1)令x=3,代入y=x-2,则y=1,

AA(3,1),

・・•点A(3,1)在双曲线y/(kWO)上,

/.k=3；

(2)联立得:

解得：&网z即BS，-3),

如图所示:

当点M在N右边时，n的取值范围是n>l或-3VnV0.

【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用了数形

结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

7.(7分)已知：如图，在aABC中，AB=AC,以AC为直径作。。交

BC于点D,过点D作。0的切线交AB于点E,交AC的延长线于点F.

(1)求证：DE1AB；

求DF的长.

【分析】(1)连接0D,由EF为圆。的切线，利用切线的性质得到0D

与EF垂直，又OD=OC,利用等边对等角得到一对角相等，再由AB=AC,

根据等边对等角得到另一对角相等，等量代换可得出一对同位角相等,

根据同位角相等两直线平行可得出0D与AB平行，由与平行线中的一

条直线垂直，与另一条也垂直，即可得证:

(2)连接AD,根据相似三角形的判定和性质解答即可.

【解答】证明：（1）连接0D,

VEF切。0于点D,

A0D1EF,

又・.・OD=OC,

/.ZODC=ZOCD,

VAB=AC,

・・・ZABC=ZOCD,

・・・NABC二NODC,

・・・AB〃OD,

ADE±AB；

(2)连接AD,

〈AC为。()的直径，

AZADB=90°,

AZB+ZBDE=90°,ZB+Z1=9O°,

AZBDE=Z1,

VAB=AC,

AZ1=Z2.

又・・・NBDE=N3,

・・・N2=N3.

.,.△FCD^AFDA,

.FCCD

••而丁，

VtanZBDE=1,

/.tanZ2=^-,

.CDJ,

**DA=^2,

.FCJ,

••而至，

VCF=3,

AFD=6.

【点评】此题考查了切线的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关

键.

8.（7分）综合实践课上，某小组同学将直角三角形纸片放到横线纸

上（所有横线都平行，且相邻两条平行线的距离为1）,使直角三角

形纸片的顶点恰巧在横线上，发现这样能求出三角形的边长.

（1）如图1,已知等腰直角三角形纸片△ABC,NACB=90°,AC=BC,

同学们通过构造直角三角形的办法求出三角形三边的长，则AB二

V26;

（2）如图2,已知直角三角形纸片ADEF,ZDEF=90°,EF=2DE,求

出DF的长；

（3）在（2）的条件下，若横格纸上过点E的横线与DF相交于点G,

直接写出EG的长.

D

【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出AD=CE=3,BE=DO2,

进而利用勾股定理解答即可；

（2）过点E作横线的垂线，交L,b于点M,N,根据相似三角形的

判定和性质解答即可；

（3）利用梯形的面积公式解答即可.

【解答】解：（1）如图1,

VZDAC+ZACD=90c,ZACD+ZECB=90°,

・・・ZDAC=ZECB,

在aADC与4BCE中，

'AC二BC

,NADC=NCEB二90c,

ZDAC=ZECB

AAADC^ABCE,

Z.AD=CE=3,BE=DC=2,

，AC=7AD2+DC2=V13,

••・AB=7AC2+BC2=7（V13）2+（V13）2=V26;

故答案为：V26

(2)

DM

A

过点E作横线的垂线，交L,L于点M,N,

/.ZDME=ZEDF=90c,

VZDEF=90°,

・・・N2+N3=90°,

VZ1+Z3=9O°,

AZ1=Z2,

AADME^AENF,

.DMMEDE

••丽二NF二EF'

VEF=2DE,

.DM_ME_DE_1

••丽二丽"EF革'

VME=2,EN=3,

・・・NF=4,DM=L5,

根据勾股定理得DE=2.5,EF=5,DF=|V5,

(3)根据(2)可得:

DM+EGEG+FNDM+FN,

，施lfT.1+-，心irx，

—乙z-乙z-*EN=乙-z-

即号至X2蹩X32沪X5,

解得：EG=2.5.

【点评】此题考查三角形综合题，关键是根据全等三角形的判定和性

质、相似三角形的判定和性质进行解答.

9.(7分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y4x2+bx经过点A(-

3,4).

(1)求b的值；

(2)过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B,在直线AB上任取

一点P,作点A关于直线0P的对称点Q

①当点C恰巧落在x轴时，求直线0P的表达式；

②连结BC,求BC的最小值.

【分析】(1)将点A的坐标代入二次函数解析式求得b的值；

(2)①根据对称的性质，结合点A的坐标求得点P的坐标，然后利

用待定系数法求得直线解析式；

③以。为圆心，0A长为半径作。0,连接B0,交。。于点C,结合点

与坐标的性质，点与圆的位置关系求BC的最小值.

【解答】解：(1)・.•抛物线y4x2+bx经过点A(-3,4)

令x=-3,代入金x?+bx,则4=X9+bX(-3),

b--1；

(2)①如图:

・.,AP〃OC,

.\Z1=Z2,

XVZA0P=Z2,

・・・ZAOP=Z1,

JAP二AO,

VA(-3,4),

/.A0=5,

AAP=5,

APi(2,4),

同理可得P2(-8,4),

AOP的表达式为y=2x或尸Jx.

②如图：

X

以0为圆心，0A长为半径作。0,连接B0,交。0于点C

VB（12,4）,

0B=4^/10,

・・・BC的最小值为氧而-5.

【点评】考查了二次函数综合题.掌握待定系数法求二次函数、一次

函数解析式，对称是性质的应用，点的坐标与图形的性质以及点与圆

的位置关系等知识点，综合性比较强，难度较大.

10.（5分）如图，建筑物的高CD为17.32米，在其楼顶3测得旗

杆底部B的俯角a为60°,旗杆顶部A的仰角B为20°,请你计

算旗杆的高度.（sin20°^0.342,tan20°^0.364,cos20°^0.940,

Vs^l.732,结果精确到0.1米）

【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，借助

公共边CE等价转换，解这两个三角形可得AE、BE的值，再利用

AB=AE+BE,进而可求出答案.

【解答】解：根据题意，再RtZ\BCE中，ZBEC=90°,tanQ二舞，

*BE〜132—］八平

,・CE-石祈-〜米’

再RtZiACE中，ZAEC=90°，tan6喑，

CIS

AAE=CE-tan20°、10义0.364=3.64米，

AAB=AE+BE=17.32+3.64=20.96~2L0米，

答：旗杆的高约为2L0米.

【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构

造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形.

11.(5分)如图，李师傅想用长为80米的棚栏，再借助教学楼的外

墙围成一个矩形的活动区ABCD.已知教学楼外墙长50米，设矩形ABCD

的边长AB为x(米)，面积为S(平方米).

(1)请写出活动区面积S与x之间的关系式，并指出x的取值范围；

(2)当AB为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？

【分析】(1)设矩形的边AB为x米，则边BC为80-2x米，根据矩

形面积公式“面积=长乂宽”列出函数的关系式.

(2)将所得函数解析式配方成顶点式即可得.

【解答】解：⑴根据题意知AB=x,BC=80-2x,

/.S=x(80-2x)=-2X2+80X,

又0<80-2x^50,

解得15^x<40,

/.S=-2X2+80X(15<X<40)；

(2)VS=-2X2+80X

=-2(x-20)2+800,

.••当x=20时，S最大值为800,

答：当AB为20米时，活动区的面积最大，最大面积是800平方米.

【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数,

学会利用二次函数的性质解决问题.

12.(5分)如图，ABC是等腰三角形，AB二AC,以AC为直径的。0与

BC交于D,DE1AB,垂足为点E,ED的延长线与AC的延长线交于点

F.

(1)求证：DE是。。的切线；

(2)若。。的半径为2,BE=1,求cos/A的值.

【分析】(1)连接0D,AD,由AC为圆的直径，利用直径所对的圆周

角为直角及垂直的定义得到AD垂直于BC,利用三线合一得到D为BC

中点，再由()为AC的中点，得到()D为三角形ABC的中位线，利用中

位线性质得到0D与AB平行，进而得到0D垂直于DE,即可得证；

(2)由半径的长求出AB与AC的长，根据BE的长，由AB-BE求出

AE的长，由平行得相似，相似得比例，设CF=x,根据题意列出关于

x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出所求.

【解答】(1)证明：连接0D,AD,

〈AC为圆的直径，

AZADC=90°，AD1BC,

VAB=AC,

・••点D为BC的中点，

•・•点0为AC的中点，

AOD//AB,

VDE1AB,ZAED=90°,

AZ0DE=90°,

A0D1DE,

则DE为圆。的切线；

(2)解:,・・厂2,

AAB=AC=2r=4,

VBE=1,

JAE=AB-BE=3,

VOD//AB,

/.△FOD^AFAE,

,_W=0D=_2

,*FA-AE-7，

设CF=x,则有OF=x+2,AF=x+4,

・x+22

解得:x=2,

AAF=6,

在Rt^AEF中，ZAEF=90°,

则cosA二黑二,.

ixT乙

c.

B

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质,

圆周角定理，以及解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质

是解本题的关键.

13.(7分)在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax?-2ax+l(a>

0)的对称轴为x=b,点A(-2,m)在直线y=-x+3上.

(1)求m,b的值；

(2)若点D(3,2)在二次函数y=ax2-2ax+l(a>0)上，求a的

值；

(3)当二次函数y=ax2-2ax+l(a>0)与直线y=-x+3相交于两点

时，设左侧的交点为P(X”%)，若-3VXI<-1,求a的取值范

围.

环

5-

4

3

2

1-

-5-4-3-2-1012345x

-1-

-2

-3

-4-

-5-

留用图

【分析】(1)根据二次函数的性质，可得b=祟二1.将A(-2,m)

代入y=-x+3,即可求出m=2+3=5；

(2)将D(3,2)代入尸ax?-2ax+l,即可求出a的值；

(3)把x=-3代入y=-x+3,求出y=6,把(-3,6)代入y=ax2-

2ax+l,求出a=4-再把x=-1代入y=-x+3,求出y=4,把(-1,

4)代入y=ax?-2ax+l,求出a=l.进而得出a的取值范围.

【解答】解：(1),・,二次函数y二a/-2ax+l(a>0)的对称轴为x二b,

・・•点A(-2,m)在直线尸-x+3上，

/.n尸2+3=5；

(2)：点D(3,2)在二次函数y=ax?-2ax+l(a>0)上，

A2=aX32-2aX3+l,

._1

・・a二寸

(3)。・,当x--3B'j,y=-x+3=6,

・・・当(-3,6)在y=ax2-2ax+l(a>0)上时，6=aX(-3)2-2a

X(-3)+1,

又丁当x二时,y=-x+3=4,

・••当(-L4)在y=ax2-2ax+l(a>0)上时,4=aX(-1)2-2a

X(-1)+1,

/.a=l.

/.得Va<1.

【点评】本题考查了二次函数、一次函数的性质，函数图象上点的坐

标特征，掌握点在直线上，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关

键.

14.(7分)如图1,在矩形ABCD中，点E为AD边中点，点F为BC

边中点；点G,H为AB边三等分点，I,J为CD边三等分点.小瑞分

别用不同的方式连接矩形对边上的点，如图2,图3所示，那么图2

中西边形GKLH的面积与图3中四边形KPOL的面积相等吗？

AGHBAGHBAGHBgGE目

(1)小瑞的探究过程如下：在图2中，小瑞发现，S四边形GKU尸,S

四边形ABCD；

在图3中，小瑞对四边形KPOL面积的探究如下，请你将小瑞的思路

填写完整;

设S/XDEP=a,SAAKG=B

VEC^AF.

/.△DEP^ADAK,且相似比为1：2,得到S^M4a.

VGD#BI,

**•△AGKO°AABM>且相似比为1：3,得到SAo（=9b

又「SADAG=4a+b=7-S四边形AKD,SAABF=9b+a=4s四边形ABG）・

04

••S四边形ABo）=24a+6b=36b+4a.

・3__

a=.b,S四边形ABCD=42b,S四边形KPOL=6b.

•*S四边形KPOL二卜S四边形ABCD,则S四边形KPOL<S四边形GKLH（填与">”"V

或"一").

(2)小瑞又按照图4的方式连接矩形ABCD对边上的点，则S四边形伽二

T~S四边形RBCD・

【分析】(1)根据平行线的性质、相似三角形的性质即可解决问题;

(2)如图4中，延长CE交BA的延长线于T,连接DN,设5.飞，S

△AEN=b.想办法证明S四边形AkML=4b,S四边形ABCD=20b,即可解决I可题;

【解答】解：(1)小瑞的探究过程如下：在图2中，小瑞发现，S四边

形GKUL/S四边形ABCD；

在图3中，小瑞对四边形KPOL面积的探究如下，请你将小瑞的思路

填写完整;

设SADEP=3,S^AKG=b.

・・・EC〃AF.

AADEP^ADAK,且相似比为1：2,得至ljS,K=4a.

VGD/7BI,

•••△AGKOO2\,\BM,且相似比为1：3,得到S&HM=9b

=

又S/\DRG=4a+b=四边形ABCD，S△AB1:=9b+a~S四边形ABCD.

bq

••S四边形ABQ)=24a+6b=36b+4a.

••,S四边形ABCD二42b,四边形Kpoi-6b.

S四边形KPOI.二四边形.*CI)，贝S四边形KPOLVS四边形GKLH・

故答案为慨，42,6,y,<.

0ZI

(2)如图4中，延长CE交BA的延长线于T,连接DN,设S&Ha,S

△AEN二b•

VGL//PH,

AAAAGL^AAHP,相似比为1：2,得至＜S,p=4a,

VAT#CD,

・・・NT=NECD,

VZAET=ZCED,AE=ED,

AAAET^ADEC,

AAT=CD,

・・・AT〃CJ,

・AN=AT=_3

・SAADN_3

S2

「ADNJ，

可得SziDNj二名,

SAABF=4a+/b=、SS&ADJ二与b二4S

四边形ABCD，四边形ABCD，

30

・・・16a+笺b=20b,

J

；・a=-|-b,

・'・S四边形ANML二卷(20b-8a-.b)=4b,

乙J

S四边形AMI)二20b,

AS四边形AVMI.四边形.咽CD.

故答案为卷.

D

【点评】本题考查相似形综合题、矩形的性质、平行线的性质、相似

三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键

是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属

于中考压轴题.

15.(8分)点P的“d值”定义如下：若点Q为圆上任意一点，线段

PQ长度的最大值与最小值之差即为点P的“d值”，记为九特别的，

当点P,Q重合时，线段PQ的长度为0.当。。的半径为2时：

⑴若点C(一9，0),D(3,4),则)二1，5二4；

(2)若在直线y=2x+2上存在点P,使得dp=2,求出点P的横坐标；

(3)直线y=-哼x+b(b>0)与x轴，y轴分别交于点A,B.若线

段AB上存在点P,使得2W4V3,请你直接写出b的取值范围.

【分析】(1)圆内的点的d值二这个点到圆心距离的2倍，圆上或圆

外的点的d值二圆的直径，由此即可解决问题；

(2)根据题意，满足4二2的点位于。0内部，且在以0为圆心半径

为1的圆上，可以假设P(a,2a+2),根据P0=l,构建方程即可解决

问题；

(3)根据题意，满足2W&V3的点位于点0为圆心外径为•!•，内径

为1的圆环内，分不清楚两圆与线段AB相切时b的值即可解决问

题；

【解答】解：(1)根据题意可得圆内的点的d值二这个点到圆心距离

的2倍，圆上或圆外的点的d值二圆的直径，所以&=1,d„=4；

故答案为1,4；

(2)根据题意，满足①二2的点位于。0内部，且在以0为圆心半径

•・•点P在直线y=2x+2上，，可以假设P(a,2a+2),

VPO=1,

Aa2+(2a+2)2=1,

解得a=-1或-

□

・,・满足条件的点P的横坐标为-1或-

(3)根据题意，满足2WdpV3的点位于点0为圆心外径为,，内径

为1的圆环内，

X

当线段与外环相切时，可得b二正，

当线段于内环相切时，可得b二零，

所以满足条件的b的值：与Wb<5.

【点评】本题考查一次函数、圆、点P的“d值”定义等知识，解题

的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用此时解决

问题，学会利用特殊位置、寻找特殊点解决问题，所以中考压轴题.

16、（10分）某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，

想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度，他们先在点D

用高L5米的测角仪DA测得塔顶M的仰角为30。，然后沿DF方向前

行40m到达点E处，在E处测得塔顶M的仰角为60°.请根据他们的

测量数据求此塔MF的高.（结果精确到0.1m,参考数据：V2^1.4L

后1.73,依2.45）

【分析】首先证明AB-BM-40,在RlABCM中，利用勾股定理求出

CM即可解决问题；

【解答】解：由题意:AB=40,CF=1.5,ZMAC=30°,ZMBC=60°,

ZMAC=30°,ZMBC=60°,

JZAMB=30°

・•・NAMB=NMAB

AAB=MB=40,

在RtABCM中，

ZMCB=90°,ZMBC=60°,

AZBMC=30°.

•*-BC=£B1F20,

•*-MC=VMB2-BC2=2073»

AMC^34.64,

・・.MF=CF+Q仁36.14心36.L

【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是

灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是证明AB=BM=40,属于中

考常考题型。

17.(7分)对于平面直角坐标系xOy中的点P,给出如下定义：记

点P至到轴的距离为dl,到y轴的距离为d2,若dl》d2,则称dl为点

P的最大距离；若dl〈d2，则称d2为点P的最大距离.

例如：点P(-3,4)到到x轴的距离为4,到y轴的距离为3,

因为3V4,所以点P的最大距离为4.

(1)①点A(2,-5)的最大距离为5；

②若点B(a,2)的最大距离为5,则a的值为±5；

(2)若点C在直线y=-x-2上，且点C的最大距离为5,求点C

的坐标；

(3)若。0上存在点M,使点M的最大距离为5,直接写出。0的

半径r的取值范围。

【分析】(1)①直接根据“最大距离”的定义，其最小距离为“最

大距离”；②点B(a,2)至IJx轴的距离为2,且其“最大距离”

为5,所以奸±5；

(2)根据点C的“最大距离”为5,可得x=±5或y=±5,代入可

得结果;

(3)如图，观察图象可知：当。。于直线x=5,直线x=-5,直线y=5,

直线y=-5有交点时，。。上存在点M,使点M的最大距离为5,

【解答】解(1)①,・•点A(2,-5)至IJx轴的距离为5,至IJy轴的

距离为2,,・・2V5,

・••点A的“最大距离”为5.

②・・,点B(a,2)的“最大距离”为5,

-a二±5；故答案为5,±5.

(2)设点C的坐标(x,y)

・・,点C的“最大距离”为5,

x=±5或

y二±5,当x=5

时，尸-7,当

x=-5时，y=3,

当y=5时，x=

-7

当y=-5时,

x=3,

・••点C(-5,3)或(3,-5)

(3)如图，观察图象可知：当。。于直线x=5,直线x=-5,直线y=5,

直线尸-5有交点时，。。上存在点M,使点M的最大距离为5,

【点评】本题考查一次函数综合题、“最大距离”的定义、圆的有

关知识，解题的关犍是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学

会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题.

18.(5分)已知：如图，在4ABC中，AB=AC=8,ZA=120°,求BC

的长.

【分析】过点A作ADJ_BC于D.解直角三角形求出BD,利用等腰三

角形的性质即可解决问题.

【解答】解：过点A作ADJ_BC于D.

VAB=AC,ZBAC=120°,

・・・NB=NC=30。,

BO2BD,

在Rt^ABD中，ZADB=90°，ZB=30°，AB=8,

BD

cosB=AB,

.,.BD=ABcos30°=8X*=4的,

ABC=8V3.

【点评】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的

关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

19.（5分）已知：如图，AB是半圆。的直径，D是半圆上的一个动

点（点D不与点A,B重合），NCAD=/B

（1）求证：AC是半圆。的切线；

（2）过点。作BD的平行线，交AC于点E,交AD于点F,且EF=4,

AD=6,求BD的长.

【分析】（1）经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.欲

证AC是半圆。的切线，只需证明NCAB=90°即可；

（2）由相似三角形的判定定理AA可以判定AAEFsaBAD；然后根据

相似三角形的对应边成比例，求得BD的长即可.

【解答】解:（1）=AB是半圆直径,

AZBDA=90°,

/.ZB+ZDAB=90°,

XVZDAC=ZB,

AZDAC+ZDAB=90c,

即NCAB=90°,

二•AC是半圆0的切线.

（2）由题意知，OE〃BD,ZD=90°,

.,.ZD=ZAF0=ZAFE=90°,

A0E1AD,

.\ZAFE=ZD=ZAF0=90°,AF=^AD=3,

XVAD=6

.\AF=3.

又YNB=NDAE,

AAAEF^ABAD,

迷瑞，而EF=4,

.43

解得BD-|.

E

D

【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质.要证某

线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），

再证垂直即可.

20.（7分）已知一次函数丫尸为-1,二次函数丫2寸-mx+4（其中m

>4）.

（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含川的代数式表示）；

（2）利用函数图象解决下列问题：

①若m=5,求当W>0且丫2<0时、自变量x的取值范围；

②如果满足y.>0且y2^0时自变量x的取值范围内有且只有一个整

数，直接写出m的取值范围.

【分析】（1）利用配方法求二次函数的顶点坐标；

（2）①把m=5代入y2,画图象，并求与x轴交点A、B、C三点的坐

标，根据图象可得结论；

2

②根据题意结合图象可知x=3,把x=3代入y2=x-mx+4W0,当x=4

2

时，y2=x-mx+4>0即可求得m的取值;

22

【解答】解：（1）Vy2=x-mx+4=（x--^-+4,

・・・二次函数图象的顶点坐标为：（费，-4+4）…

2

（2）①当m=5时,yi=-^x-1,y2=x-5x+4.…（4分）

如图,当yi=0时，x-1=0,x=2,

VA(2,0),

2

当y2=0时,x-5x+4=0,

解得:x=l或4,

AB(1,0),C(4,0),

因为W>0,且y2<0,由图象，得：2VxW4.…(5分)

②当W>0时，自变量x的取值范围：x>2,

・・•如果满足y.>0且yzWO时的自变量x的取值范围内恰有一个整数,

/.x=3,

2

当x=3时，y2=3-3n1+4W0,

解得用》写，

J

当x=4时，，y2>0,BP16-4m+4>0,m<5.

・・.m的取值范围是：与WmV5.…（7分）

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数和

一次函数的性质，以及利用函数图象解不等式，体现了数形结合的思

想.

21.(8分)已知：如图，AB为半圆。的直径，C是半圆。上一点,

过点C作AB的平行线交。0于点E,连接AC、BC、AE,EB.过点

C作CGLAB于点G,交EB于点H.

(1)求证：NBCG二NEBG；

(2)若sinNCAB=坐，求器的值.