2024-2025学年八年级数学上册培优训练-专题02三角形的重要线段和角度计算（学生版+名师详解版）

专题02三角形的重要线段和角度计算（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟试卷难度：较难试卷说明：本套试卷结合人教版数学八年级上册同步章节知识点，精选易错，常考，压轴类问题进行专题汇编！题目经典，题型全面，解题模型主要选取热点难点类型！同步复习，考前强化必备！适合成绩中等及偏上的学生拔高冲刺。一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（本题2分）（2024秋·云南楚雄·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，则x的度数为（

）A． B． C． D．2．（本题2分）（2025春·陕西西安·八年级西北大学附中校考阶段练习）如图，在中，，D为边上的一点，E点在边上，，若，则（

）

A． B． C． D．3．（本题2分）（2024秋·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，点在内，平分，平分．若，则等于（

）

A． B． C． D．4．（本题2分）（2024秋·河南洛阳·八年级统考期中）如图，在中，已知点D，E，F分别是的中点，的面积是4，则的面积是（）A．2 B．1 C． D．5．（本题2分）（2024秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，从各顶点作平行线，各与其对边或其延长线相交于点D，E，F．若的面积为，的面积为，的面积为，只要知道下列哪个值就可以求出的面积（

）A． B． C． D．6．（本题2分）（2025春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在中，，是高，是角平分线，是中线，交于点G，交于点H，以下结论：①的面积的面积；②；③；④；其中正确的结论个数是（

）A．3个 B．2个 C．1个 D．4个7．（本题2分）（浙江·八年级假期作业）如图，把纸片沿折叠，使点A落在图中的处，若，，则的度数为（

）

A． B． C． D．8．（本题2分）（浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，，点是的中点，、交于点，则四边形的面积的最大值是（

）

A． B． C． D．9．（本题2分）（2024秋·八年级课时练习）如图，，∠M＝44°，AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，则∠N等于（

）A．21.5° B．21° C．22.5° D．22°10．（本题2分）（2024秋·湖北孝感·八年级统考期中）如图，，、、分别平分，外角，外角，以下结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分.11．（本题2分）（2024秋·重庆江北·八年级字水中学校考开学考试）对面积为1的△ABC进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至点A、B、C，使得AB=3AB，BC=3BC，CA=3CA，顺次连接A、B、C，得到△ABC（如图所示），记其面积为S．现再分别延长AB、BC、CA至点A、B、C，使得AB=3AB，BC=3BC，CA=3CA，顺次连接A、B、C，得到△ABC，记其面积为S，则S=．12．（本题2分）（2024秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，的面积为1，分别延长，，到，，，使，，，得到，再分别延长，，到，，，使，，，再得到，则的面积为．13．（本题2分）（2024秋·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，在中，延长CA至点F，使得，延长AB至点D，使得，延长BC至点E，使得，连接，若，则为.14．（本题2分）（2024秋·山西晋中·八年级统考期末）一副三角板按如图所示摆放，其中，，点B在边上，点D在边上，与相交于点G，且，则度．15．（本题2分）（2024秋·广东佛山·八年级校考期末）如图，，、、分别平分外角、内角、外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有．16．（本题2分）（2024秋·陕西西安·八年级西安一中校考期中）如图，A、B分别是x轴上位于原点左、右两侧的点，点在第一象限，直线PA交y轴于点，直线PB交y轴于点D，此时，，则．17．（本题2分）（·全国·八年级假期作业）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，则△ABD的面积为．

18．（本题2分）（2024秋·山东潍坊·八年级统考期末）如图，和相交于点O，分别平分和，若，则．19．（本题2分）（2024秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，，平分交于点E，，，M、N分别是，延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中结论正确的有．

20．（本题2分）（2024秋·浙江·八年级专题练习）在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，当AP=AD时，与和之间的关系式为：；一般地，当AP=AD（n表示正整数）时，与和之间关系式为：．

三、解答题：本大题共7小题，21-25题每小题8分，26-27题每小题10分，共60分．21．（本题8分）（2024秋·广东梅州·八年级期末）如图，，平分，．

(1)与平行吗？请说明理由；(2)与的位置关系如何？为什么？(3)若平分．证明：．22．（本题8分）（2024秋·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）已知如图，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点C在y轴上，点B在x轴上方．(1)如图1，点C的坐标是．①若，则______；②若A的坐标是，求点B的坐标．如图2，若x轴恰好平分，与x轴交于点E，过点B作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由．23．（本题8分）（2025春·黑龙江大庆·八年级统考期中）如图①，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．(1)求点C，D的坐标及S四边形ABDC；(2)在y轴上是否存在一点Q，连接QA，QB，使S△QAB＝S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点Q的坐标；若不存在，试说明理由；(3)如图②，点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．24．（本题8分）（2024秋·广东东莞·八年级校考期中）如图，已知于点，且，，求的度数．

25．（本题8分）（2024秋·广东惠州·八年级校考开学考试）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒，且a、b满足．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且．

(1)则，．(2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作，交于点D，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．26．（本题10分）（2024秋·湖北随州·八年级校考期中）在中，，，求和的度数．27．（本题10分）（2025春·广东梅州·八年级校考开学考试）综合与探究：

(1)如图1，，分别是的两个内角，的平分线，说明的理由．【深入探究】(2)①如图2，，分别是的两个外角，的平分线，与之间的等量关系是；②如图3，，分别是的一个内角和一个外角的平分线，，交于点，探究与之间的等量关系，并说明理由．【拓展应用】(3)请用以上结论解决下列问题：如图4，在中，，分别平分，，，，分别在，，的延长线上，，分别平分，，，分别平分，．若，则的度数是．专题02三角形的重要线段和角度计算（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟试卷难度：较难试卷说明：本套试卷结合人教版数学八年级上册同步章节知识点，精选易错，常考，压轴类问题进行专题汇编！题目经典，题型全面，解题模型主要选取热点难点类型！同步复习，考前强化必备！适合成绩中等及偏上的学生拔高冲刺。一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（本题2分）（2024秋·云南楚雄·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，则x的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角形内角和及三角形内角角平分线求得，即可求解．【详解】解：三角形内角和是故选：A．【点睛】本题考查三角形内角和定理和内角角平分线的性质，解题的关键是掌握三角形两内角角平分线的夹角=另一内角，及其推导过程．2．（本题2分）（2025春·陕西西安·八年级西北大学附中校考阶段练习）如图，在中，，D为边上的一点，E点在边上，，若，则（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角形的外角性质可得，结合，可得出∠，利用三角形的外角性质可得，进而可得出，再结合及即可解答．【详解】解：∵是的外角，∴，∵，∴．∵是的外角，∴，∴，又∵，∴，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．3．（本题2分）（2024秋·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，点在内，平分，平分．若，则等于（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据角平分线的定义几三角形内角和即可求解．【详解】解：在内，平分，平分，，，则，，，，，故选：．【点睛】本题考查了三角形内角和即角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和即角平分线的定义是解答本题的关键．4．（本题2分）（2024秋·河南洛阳·八年级统考期中）如图，在中，已知点D，E，F分别是的中点，的面积是4，则的面积是（）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】因为点F是的中点，所以的底是的底的一半，高等于的高；同理，D、E分别是的中点，与同底，的高是高的一半；利用三角形的等积变换可解答．【详解】解：如图，点F是的中点，∴的底是，的底是，即，高相等，∴，∵E是的中点，与同底，∴的高是高的一半，∴，∴，且，∴，即阴影部分的面积为1．故选：B．【点睛】此题主要考查三角形的面积求解，解题的关键是熟知三角形中线的性质．5．（本题2分）（2024秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，从各顶点作平行线，各与其对边或其延长线相交于点D，E，F．若的面积为，的面积为，的面积为，只要知道下列哪个值就可以求出的面积（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行线间的距离处处相等得到：和在底边上的高相等，和在底边上的高相等，和在底边上的高相等，所以由三角形的面积公式和图形间的面积的数量关系进行证明即可．【详解】证明：∵，∴和在底边上的高相等，和在底边上的高相等，和在底边上的高相等，∴∴．即．∵即即，故选：C．【点睛】本题考查了平行线之间的距离，三角形面积，根据等底等高的三角形面积进行转化是解题的关键．6．（本题2分）（2025春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在中，，是高，是角平分线，是中线，交于点G，交于点H，以下结论：①的面积的面积；②；③；④；其中正确的结论个数是（

）A．3个 B．2个 C．1个 D．4个【答案】A【分析】根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；根据等角的余角相等得到，再根据角平分线的定义和三角形外角性质可对②进行判断；根据等角的余角相等得到，再根据角平分线的定义可对③进行判断．【详解】是中线得到，，故①正确；，是高，，是角平分线，，，，，，故②正确；，，，而，，故③正确．根据已知条件不能推出，即不能推出，故④错误；故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高线等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．7．（本题2分）（·浙江·八年级假期作业）如图，把纸片沿折叠，使点A落在图中的处，若，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用折叠性质得，，再根据三角形外角性质得，利用邻补角得到，则，然后利用，进行计算即可．【详解】解：，，纸片沿折叠，使点A落在图中的处，°，，，，，，故选：A．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，求一个角的邻补角，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．8．（本题2分）（·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，，点是的中点，、交于点，则四边形的面积的最大值是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】连接，设，由三角形面积公式可得，，由点E是的中点，得，，进而得，，，，，，得出，通过讨论的面积最大值得四边形的面积最大值．【详解】解：连接，

设，，，，点是的中点，，，，，，，，，，在中，，，，四边形的面积的最大值是，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的面积，已知两边三角形面积的最大值等知识，解题关键是理解运用同高的两个三角形面积之比等于底边之比．9．（本题2分）（2024秋·八年级课时练习）如图，，∠M＝44°，AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，则∠N等于（

）A．21.5° B．21° C．22.5° D．22°【答案】D【分析】由平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，只要证明得，即可求出答案．【详解】解：如图，线段AM与AN相交于点E，∵，∴，∵AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，∴，，，，∴，∴；①在△ACM中，有，∴②，由①②，得，∴，即；∵，又，∴，∴，即，∴；故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确地利用所学知识进行角度之间的转化．10．（本题2分）（2024秋·湖北孝感·八年级统考期中）如图，，、、分别平分，外角，外角，以下结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定一一判定即可．【详解】解：①设点A、B在直线上，∵、分别平分的内角，外角，∴平分的外角，∴，∵，且，∴，∴，故①正确．②∵、分别平分的内角、外角，∴，∴，故②正确．③∵，，∴，∴，∵，∴，∴，故③正确．④∵∴，∴，故④正确．故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定等，熟悉各个概念的内容是解题的关键．二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分.11．（本题2分）（2024秋·重庆江北·八年级字水中学校考开学考试）对面积为1的△ABC进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至点A、B、C，使得AB=3AB，BC=3BC，CA=3CA，顺次连接A、B、C，得到△ABC（如图所示），记其面积为S．现再分别延长AB、BC、CA至点A、B、C，使得AB=3AB，BC=3BC，CA=3CA，顺次连接A、B、C，得到△ABC，记其面积为S，则S=．【答案】1369【分析】根据等高的三角形面积之比等于底之比，依次推理面积之间的比例即可．【详解】解：如图连接，∵△ABC的面积是1，∵，∴的面积是3，∵，∴的面积是9，∴的面积是12，同理和的面积都是12，∴的面积是37，即的面积是△ABC面积的37倍，同理的面积是的37倍，∴，故答案为：1369．【点睛】本题考查了三角形的面积，能够正确判断相邻的两个三角形面积之间的关系是解决本题的关键．12．（本题2分）（2024秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，的面积为1，分别延长，，到，，，使，，，得到，再分别延长，，到，，，使，，，再得到，则的面积为．【答案】49【分析】连接，找出延长各边后得到的三角形是原三角形面积的7倍的规律，利用规律求解即可．【详解】解：连接，∵的面积为1，，，，∴，∴；同理得．故答案为：49．【点睛】本题考查了三角形的面积，解答此类问题的关键是仔细分析所给图形的特征得到规律，再把得到的规律应用于解题．13．（本题2分）（2024秋·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，在中，延长CA至点F，使得，延长AB至点D，使得，延长BC至点E，使得，连接，若，则为.【答案】【分析】如图，连接，设，利用等高模型的性质，用m表示出各个三角形的面积，可得的面积为，构建方程，可得结论．【详解】如图，连接，设，.∵，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴∴，∴，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查三角形的面积，等高模型的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．14．（本题2分）（2024秋·山西晋中·八年级统考期末）一副三角板按如图所示摆放，其中，，点B在边上，点D在边上，与相交于点G，且，则度．【答案】105【分析】根据平行线的性质及三角形内角和定理，即可求解．【详解】解：，，，，，，，故答案为：105．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题时注意：两直线平行，内错角相等．15．（本题2分）（2024秋·广东佛山·八年级校考期末）如图，，、、分别平分外角、内角、外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有．【答案】①②③【分析】根据角平分线定义得出∠，，，根据平角得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．【详解】解：∵平分，∴，∵，，∴，∴，故①正确；∵，∴，∵平分，，∴，故②正确；∵平分的外角，∴，∵，∴，由得：，即，∴，∴，故③正确；由得：，∴，故④错误；∵，，∴，又∵是的外角，∴，故⑤错误；故答案为：①②③．【点睛】此题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，主要考查学生的推理能力，有一定的难度．16．（本题2分）（2024秋·陕西西安·八年级西安一中校考期中）如图，A、B分别是x轴上位于原点左、右两侧的点，点在第一象限，直线PA交y轴于点，直线PB交y轴于点D，此时，，则．【答案】【分析】如图，过作于，先求解，从而可得的面积，可得的长度，再求解的坐标，利用，证明，再利用中点坐标公式求解，的坐标，从而可得答案．【详解】解：如图，过作于，∵点在第一象限，，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，解得：，∴∵，∴，设，，由中点坐标公式可得：，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查的是坐标与图形，图形面积与坐标的关系，三角形的中线的性质，利用数形结合的方法求解是关键．17．（本题2分）（·全国·八年级假期作业）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，则△ABD的面积为．

【答案】18【分析】过点作于点，先根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式即可得．【详解】解：如图，过点作于点，

，，又平分，，，，的面积是，故答案为：18．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．18．（本题2分）（2024秋·山东潍坊·八年级统考期末）如图，和相交于点O，分别平分和，若，则．【答案】70【分析】根据三角形内角和定理可得，设，则，再由分别平分和，可得，，再根据三角形内角和定理可得，从而得到，然后根据得到关于x的方程，即可求解．【详解】解：如图，∵，∴，∴，∴，设，则，∵分别平分和，∴，，∵，，∴，∴，∴，∵∴，解得：，即．故答案为：70【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，一元一次方程的应用，利用参数思想构建方程是解题的关键．19．（本题2分）（2024秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，，平分交于点E，，，M、N分别是，延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中结论正确的有．

【答案】①③④【分析】证明，可得，证明，可得，可得，故①正确；证明，可得平分，故③正确；证明，若，则，与已知矛盾，故②错误；证明．可得．证明，可得，，故④正确．【详解】解：标注角度如图所示：

∵，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，故①正确；∴，∵，，而，∴，∴平分，故③正确；∵，，∴，若，∴，∴，与已知矛盾，故②错误；∵，∴．∵和的平分线交于点F，∴．∵，∴，∴，∴，故④正确．故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，解题的关键是熟知三角形的内角和等于．20．（本题2分）（2024秋·浙江·八年级专题练习）在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，当AP=AD时，与和之间的关系式为：；一般地，当AP=AD（n表示正整数）时，与和之间关系式为：．

【答案】【分析】当AP=AD时，根据△ABP和△ABD的高相等，得到，根据△CDP和△CDA的高相等，得到，结合图形计算即可；同理，当AP=AD（n表示正整数）时，根据△ABP和△ABD的高相等，得到，根据△CDP和△CDA的高相等，得到，结合图形计算即可．【详解】∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，∴，∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，∴，∴；当AP=AD（n表示正整数）时，∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，∴，∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，∴，∴；故答案为：；．【点睛】本题考查了三角形的面积的计算，掌握高相等的两个三角形的面积比等于底的比是解题的关键．三、解答题：本大题共7小题，21-25题每小题8分，26-27题每小题10分，共60分．21．（本题8分）（2024秋·广东梅州·八年级期末）如图，，平分，．

(1)与平行吗？请说明理由；(2)与的位置关系如何？为什么？(3)若平分．证明：．【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3)证明见解析【分析】（1）由结合邻补角互补，可得出，再利用“同位角相等，两直线平行”可得出；（2）根据角平分线的定义及，可得出，再利用“内错角相等，两直线平行”可得出；（3）由，利用“两直线平行，同旁内角互补”可得出，再结合，可得出．【详解】（1）解：．理由如下：，，，；（2）解：．理由如下：平分，，，；（3）证明：，．，，平分，，，．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义以及邻补角，牢记各平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．22．（本题8分）（2024秋·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）已知如图，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点C在y轴上，点B在x轴上方．(1)如图1，点C的坐标是．①若，则______；②若A的坐标是，求点B的坐标．(2)如图2，若x轴恰好平分，与x轴交于点E，过点B作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由．【答案】(1)①；②(2)；理由见解析【分析】（1）①根据直角三角形的性质即可得到结果；②过点B作轴，证明，求得，，即可得到点B的坐标（2）延长、交于点H，证明，得到，再证明，即可得到【详解】（1）①∵点C的坐标是，∴，∵，且，∴，∴②过点B作轴，∵，，∴，，∵是等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴（2），理由如下：延长、交于点H，∵，∴，∵x轴平分，∴，∵，∴，∴，即，∵，，∴，∵，，∴，∴【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质及角平分线的定义，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形23．（本题8分）（2025春·黑龙江大庆·八年级统考期中）如图①，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．(1)求点C，D的坐标及S四边形ABDC；(2)在y轴上是否存在一点Q，连接QA，QB，使S△QAB＝S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点Q的坐标；若不存在，试说明理由；(3)如图②，点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．【答案】(1)C（0，2）；D（4，2）；(2)存在；（0，4）或（0，−4）(3)的值不变，且【分析】（1）根据点的平移规律易得点C，D的坐标，根据平移的性质求解四边形ABDC的面积即可；（2）先计算出，设Q坐标为（0，a），根据三角形面积公式得×4×|a|＝8，解得a＝±4，即可求解；（3）过点P作，依据平行线公理的推理可得到，由平行线的性质和角的和差关系可证明∠CPQ＋∠OPQ＝∠CPO，故此可求得问题的答案；【详解】（1）解：∵点A，B的坐标分别为（−1，0），（3，0），将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到点A，B的对应点C，D，∴点C（0，2），点D（4，2），AB＝4，，AB＝CD，根据平移可知OC＝2，∴．（2）解：在y轴上存在一点Q，使，理由如下：设Q的坐标为（0，a），∵，∴×4×|a|＝8，解得：a＝±4，∴Q点的坐标为（0，4）或（0，−4）．（3）解：①是正确的结论，理由如下：过点P作，如图所示：∵，∴，∴∠DCP＝∠CPQ，∠BOP＝∠OPQ，∴∠DCP＋∠BOP＝∠CPQ＋∠OPQ＝∠CPO，∴，∴①正确，②错误．【点睛】本题主要考查了平移的性质、坐标与图形性质、平行线的性质，本题综合性强，解题的关键是熟练掌握平移的性质和三角形面积公式，属于中考常考题型．24．（本题8分）（2024秋·广东东莞·八年级校考期中）如图，已知于点，且，，求的度数．

【答案】的度数为【分析】先根据得，再根据求出的度数，最后由，进行计算即可得到答案．【详解】解：，，，，，，的度数为．【点睛】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，三角形的外角的定义，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余，三角形的外角的定义，是解题的关键．25．（本题8分）（2024秋·广东惠州·八年级校考开学考试）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒，且a、b满足．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且．

(1)则，．(2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作，交于点D，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．【答案】(1)3，1(2)10秒或85秒(3)不变，【分析】（1）根据非负数的性质求解a、