长航院空气动力学与热工基础讲义02气体动力学基础

PAGEPAGE2第二篇气体动力学基础绪论第一篇工程热力学，介绍的都是静止气体在热力过程中各参数的变化关系及能量的转换情形，但是，在喷气式发动机中，进行热力过程的气体不是静止的，而是高速流动的。也就是说，气体分子不但在作无规则的热运动，而且在作有规则的机械运动。流动气体与静止气体比较，有一定的特点，而喷气发动机的工作原理与流动气体的特点，有着密切的关系。气体动力学就是研究流动气体特点的科学。气体是物质之一，它的运动与其他物质的运动一样，遵循着自然界中的一些基本定律，如质量守恒、能量守恒与转换定律等。在本篇中，将用一些基本方程式来表达流动气体的这些基本定律，为此还要引用一些新的参数（如流速、滞止参数、临界参数等）和新的概念（气体的稳定流动，压缩性、粘性、扰动、动能、压力能等）。又由于时间、地点和条件的不同，流动气体除遵循普通定律外，还具有一些特点，如以不同速度流过不同管道时就有显著的不同点。第一章流动气体基本知识§1—1气体的连续介质模型一、流体质点与连续介质模型处于流体状态的物质，无论是液体还是气体，都是由大量不断运动着的分子所组成。从微观的角度来看，流体的物理量在空间是不连续的，这是因为分子之间总是存在间隙，并且分子内部的质量分布也不连续。同时，由于分子的随机运动，又导致任一空间点上的流体物理量对于时间的不连续性。但是在气体运动力学中，我们所讨论的问题的特征尺寸往往大于气体的分子平均自由程（指1个分子在连续两次碰撞之间所通过的平均路程），而人们感兴趣的是气体的宏观特性。即大量分子的统计平均特性。这样，我们有理由不以分子作为研究对象，而是引进流体的连续介质模型，并以连续介质作为我们研究的对象。为了建立连续介质模型的概念，让我们首先观察一个很有启发性的试验结果。图2—图2—1—1流体质点如图2—1—1a所示，取包含点的微元。在此体积中的流体质量为。体积中的流体平均密度为。我们绕P点取大小不同的，测出其中质量，计算出其中平均密度。实测结果如图2—1—1b所示。在包含P点的微元体积向逐渐收缩的过程中，其平均密度逐渐趋于一个确定的极限值，而且当体积继续收缩时其平均密度不再变化。此时分子的个性并未显示出来。只有当体积收缩到比更小时，此时中的分于数已减少到这样程度，随机进入和飞出此体积的分子数不能随时平衡，因此体积中的分子数也将随机波动，从而引起体积内流体平均密度的随机波动，这时流体表现出分子的个性，比值不再具有明确的肯定数值，如图2—1—1b中波动曲线所示。由此可见，是一种特征体积，从宏观上看，它的几何尺寸与研究的工程问题中物体尺寸相比要小得多，但从微观上看，它又包含有足够多的分子数目，从而使统计平均值有确切的意义。我们把微元体积中的所有流体分子的总体称作流体质点。利用流体质点这个概念，可以得出流体连续介质模型的定义：流体是由连续分布的流体质点所组成。流体既被看成是连续介质，则反映宏观流体的各种物理量，就都是空间坐标的连续函数。因此，在以后的讨论中都可以引用连续函数的解析方法，来研究气体处于平衡和运动状态下的有关物理参数之间的数量关系。但是当我们所研究的问题的特征尺寸接近或小于质点的特征尺寸时连续介质的模型将不再适用。可见流体的连续介质模型是一个具有相对意义的概念。二、气体物理量根据连续介质模型，气体中每一点都被相应的气体质点所占据。所谓空间任意点上的气体物理量(如密度、速度、压强等)就是指位于该点上气体质点的物理量。(一)气体中一点处的密度和速度根据连续介质的概念，密度的数学定义为（2—1—1)所以，密度就是单位体积内所含的质量。在任意时刻，空间任意点上的气体质点的密度都具有确定的数值，因此密度是坐标点及时间t的函数。令V表示一点处气体运动速度，是指给定瞬间通过该点的气体质点的瞬时速度，类似于密度，它也是连续函数速度V是个矢量，它在空间坐标方向上的三个分量分别为。同理，也可以建立连续介质中一点处的比容v，比重和温度的概念。(二)气体中一点处的压强一个受力的固体元件，在内部任意切出一个剖面，在这个剖面上，一般既有法向力又有切向力。同样，在流动着的气体内部任意取出一个面积为的剖面来看，剖面上一般也有法向力和切向力，如图2—1—2所示。这里切向力完全是由粘性产生的，而气体的粘性又只有在流动时才会表现出来。法向力总是有的，不论气体是静止还是流动的。法向应力定义为(2—1—2)气体中的法向应力p，即垂直作用在单位表面面积上的力称为压强，(或又叫压力)压强以压迫力（箭头指向气体中某点)为正，吸引力为负。图2图2—1—2气体的压强根据连续介质模型，它也是连续函数切向应力的定义是(2—1—3)气体中切向应力叫做摩擦应力。在静止气体中，不存在粘性摩擦应力。有些运动着的气体的粘性摩擦应力，也很小，可以忽略不计，这种忽略粘性应力的气体叫做理想气体，在理想气体中任一点的压强大小与方位无关，即气体从任一方向压向该点的压强在数值上是一样的。§1—2气体的基本属性在气体的基本属性中，与气体流动有关的是热力学属性(已在工程热力学中阐明)和气体的压缩性，粘性和导热性。一、气体的压缩性气体的密度随着压力或温度的变化而变化的物理性质，叫做气体的压缩性。流动的气体，由于速度的变化，会引起压力或温度相应的变化，从而使密度发生变化。气体密度的变化又会影响气体的流动。因此，这里所说的气体可压缩性，不是指静止气体在外加压力作用下的压缩性，而是指气体在流动过程中由于本身的压力变化所引起的密度变化。通常我们用却这个量来衡量气体压缩性的大小。显然，改变单位密度所需压力改变量越大，即大，说明气体难压缩或压缩性小；反之，小，说明气体易压缩或压缩性大。以后会证明，等于音速的平方，所以压缩性与音速有直接关系。压缩性对流动气体的影响通常用马赫数M表示，定义如下(2—1—4)其中C为局部气体速度，a为局部音速。计算表明，气体低速流动时，由于气流速度变化而引起的气体密度相对变化量很小，在此情况下，可以近似地假定气体的密度是不变的。当气体以高速流动时就必须考虑压缩性影响了。二、气体的粘性气体流动时，由于气体与固体壁面的附着力和气体本身之间的分子运动和内聚力，使气体各处的速度产生差异。例如假设有一股平直均匀气流，以速度流过平板，如图2—1—3所示。测量平板表面附近各层气体的流速，就会发现：紧贴平板的那层气体流速降低为零；沿平板的法线方向向外，气流速度逐渐增大，直到离开平板一段距离后，速度才和原来气流速度没有显著的差别。速度沿平板法线方向的这种变化，正是气体粘性的表现。运动较快的流层可以带动较慢的流层，反之运动较慢的流层则又阻滞运动较快的流层，不同速度流层之间相互制约，产生类似固体摩擦过程的力，称为内摩擦力。气体流动时产生内摩擦力的这种性质叫做气体的粘性。根据牛顿内摩擦定律，流体在运动时，内摩擦力F与流体速度沿法线方向的变化率(速度梯度)成正比，与接触面积A成正比，与流体的性质(粘性)有关而与流体内的压强无关，它的数学表达式为：(2—1—5)内摩擦力F除以接触面积A，即得气体内的切应力(2—1—6)这里是表征气体粘性的比例系数，称为粘度或粘性系数。在国际单位制中，粘度的单位是。不同的流体介质的值各不相同，同一介质的值随温度而变化。这里特别需要指出的是，粘度是反映流体本身的固有特性的系数；而摩擦应力则取决于粘度和当地的速度梯度。我们所说的理想流体，是指和都小因而的流体，不是指流体的粘度等于零。现在我们分析气流各层之间的摩擦力的本质。由物理学知道，不论气体是处于静止状态还是处于运对状态，气体的分子总是不停地进行着不规则的热运动，这种热运动使不同流层中的气体质量进行交换，而如果各层气流的速度不相等的话，相邻两层中的气体分于的动量必然不相同，因而就有动量交换。单位时间时通过相邻两层的分界面单位面积上的动量交换便是摩擦应力。如果流体不是一层一层地流动(称为层流)而是紊乱地流动(称为紊流)，则相邻两层不仅有分子运动带来的动量交换，而且又由于流体的微团的乱动带来的动量交换，后者比前者大得多，所以紊流比层流的摩擦阻力大得多。关于紊流和层流的概念以后还要详细讲。在许多气体动力学问题里，粘性力与惯性力同时存在，往往把和写成组合参数，并以符号ν表示即ν称为运动粘度。而与此相对应，把称为动力粘度。 图2图2—1—3空气粘性的表现三、气体的导热性同固体传热类似，气体中温度不均匀的地方，也会出现热传导现象。单位时间内通过垂直于n方向的单位面积所传递的热量q按傅立叶导热定律确定为(2—1—7)式中为气体的导热系数，为温度梯度。负号表示热量的传递方向永远与气温度梯度的方向相反。第二章一维定常流基本方程§2—1连续方程连续方程是质量守恒定律应用于流动气体所得到的关系式。质量守恒定律在一维定常管流中的具体形式就是流过任何截面的流量是相等的。设有一维定常管流，如图2—2—1所示。在流管中任取垂直于管轴的截面1—1和2—2，设截面1—1的管截面积是，流速是，密度是；截面2—2的管截面积是流速是，密度是。由于是定常流动，各截面所有参数都不随时间变化，那么，每秒钟通过两截面的质量分别是和，而流过其它任一截面的质量是。按质量守恒定律可得等式（2—2—1）图2—图2—2—1连续方程推导上式称为连续性方程。对于不可压流=常数，上式写为(2—2—2)上式表明，在一维定常不可压流里，流管沿程各截面上的流速是与横截面积成反比例变化的。凡横截面积小处，流速必大，反之亦然。上面推导的(2—2—1)和(2—2—2)式称为积分形式的连续方程。为了便于应用连续方程分析、计算问题以及推导其它方程，下面对连续方程的微分形式作一推导。对(2—2—1)式进行全微分得两边同除以得（2—2—3）对于低速不可压定常流有（2—2—4）(2—2—3)和(2—2—4)式称为微分形式的连续方程。它说明在一维常流动中，管道横截面积、气体密度与气流速度的相对变化量之和等于零。§2—2动量方程和动量矩方程一、动量方程理论力学中关于动量定理的一种说法是，作用在物体上的力在微元时间内的冲量等于在该时间内物体量的微元变化。现在把这个定理应用到流体的运动。我们取图2—2—2所示的由流管两个横截面1、2和该两截面之间流管的侧表面组成控制区，以该区内的流体作为研究对象。设经时间后，这块流体流到一个新的位置。现在我们来计算这块流体在时间内动量的变化。由于是定常流，在之间流体的动量不变，因而所研究的流体的动量的变化就等于和这两块流体动量之差。注意到动量是向量，则很容易写出动量变化量在X坐标方向的投影为式中是质量流量。设流体所受控制区边界给它的作用力的合力在X轴方向的分量为P则其微元冲量为。根据动量定理有：所以得到（2—2—5）上式表明，单位时间内经截面2流出的动量和经截面1流入的动量之差，等于控制区边界作用在两截面1、2之间这块流体上的外力。该外力可由控制区边界给流体的分布压力积分而来，重力可忽略不计。二、动量方程的应用现在我们应用动量方程来求一维管流中参数变化的微分关系式。图2—2—2动量方程推导用图沿图2—2—3中流管的S轴取一微段，设截面的面积为A，压强为p流速为C，截面b的对应量分别为，，。因很小，可认为两截面上的流速方向不变，压强方向正好相反。我们取微段的侧表面和两端截面为控制区。因两截面十分接近，侧表面上的压强近似等于两截面上的压强的平均值，即。侧表面上的压力在S轴上的投影等于此平均压强乘以侧表面面积在垂直于S轴的平面上的投影面积，即图2—2—3一维管流的压强与速度的微分关系推导用图因假设是理想流体，不存在摩擦力；此外还忽略气体的重力。所以正S方向上的外力的合力为展开上式右边并略去二阶小量可得如前所述，两截面上的流速方向相同，因而它们的动量的方向都与管轴S的正向一致，按S方向应用动量方程(2—2—5)，则有故(2—2—6)该式表明，气流沿流管作增速运动时，其压强必然要降低；反之，减速时压强必然要升高。下面我们再运用动量方程来求作用在扩压器内壁上的作用力。图2—2—4气体流过扩压器的情形假设扩压器的进、出口横截面积分别为和，如图2—2—4所示。空气通过扩压器的流量为，进、出口气流速度和压强分别为、和、，求作用在扩压内壁上的作用力。取扩压器1—2段为控制体。由动量方程知式中，等于1、2截面上作用的气体力与扩压气壁对气体的作用力之和。即 故设气体作用在扩压器内壁上的反作用力为。根据牛顿第三运动定律，和大小相等，方向相反，即(2—2—7)又称为管壁所受的内推力。(2—2—7)式虽然是根据气体流过扩压器推导出来的，但对于所有与轴对称的管内流动(如喷气式发动机内各主要部件以及整台发动机)都适用。这时，只要知道气体流量和进、出口气流参数，就可以求出管壁所受内推力的大小，而无需考虑进、出口两个截面间气体流动的具体情形。这就给计算管壁与气体相互的作用力带来极大的方便。气流流过管道时，每个截面都有这样一个组合参数叫做冲力，用符号J表示，它的单位是牛顿。即(2—2—8)应用冲力J，(2—2—7)式又可写成(2—2—9)(2—2—9)式表明，在1、2两截面这段管道的内推力等于气流出口与进口截面上的冲力之差。如果研究的不是一个管道。而是整台发动机，显然，只要知道发动机进、出口截面上气体冲力的大小，就可由(2—2—9)式求出发动机的内推力。三、动量矩方程从力学中知道，作用于物体上外力的合力对任一轴线之力矩，等于该物体对同一轴线之动量矩随时间的变化率，即动量矩定律，其数学表达式为。将这一定律应用于流动气体，就可得到一维定常流的动量矩方程。设有一维定常管流，控制体和体系取法如图2—2—5所示。由于流场是定常的，区域段内气体动量矩不变，气体动量矩的变化量等于区域和段内气体动量矩之差，即因为所以将上式代入动量矩定律数学表达式得(2—2—10)该式即为流动气体的动量矩方程。它表明，作用于控制体内气体上外力的合力对任一轴线之力矩，等于每秒钟内流出和流入该控制体内气体对同一轴线的动量矩之差。图2—2—5动量矩方程推导图由物理学知，功率N等于力矩和旋转角速度的乘积，即将(2—2—10)式代入上式得设，分别代表旋转体1—1截面和2—2截面中心处的圆周速度，则，将此关系式代入上式得(2—2—11)由于功率是外力对每秒钟流过的气体所作的功，所以，外力对每千克气体的作功量W为(2—2—12)在喷气式发动机原理中，利用上述公式计算和研究压缩器和涡轮的旋转力矩、功和功率。如果外力矩为零，流体只依靠其惯性而运动时，由(2—2—10)式便可得到(2—2—13)上式表明，当流体依靠本身的惯性运动时，其切向速度与流体所处位置的半径成反比。它在分析离心式喷嘴的工作原理时是很有用的。§2—3能量方程能量方程是能量守恒和转换定律应用于流动气体所得到的关系式。它表达了气体在流动过程中能量的转换情形。一、能量方程的推导能量守恒和转换定律告诉我们：对一确定的体系，加入的能量应等于体系能量的增量。据此，我们可以推导出能量方程。控制体和体系的选取，如图2—2—6所示。(一)对体系加入的能量1．热量一般对气体加热有两种方式：从外界对气体加热(如在气流中燃烧燃料)，加热量用表示；从内部加热，即损失功转变成热加给气体，加热量用表示。对气体加入的总热量为2．机械功为体系中叶轮旋转对气体所作的功。 3．推动功参看图2—2—6，当体系流动时，在1—1截面处，外界气体对体系的作用力为，这个力要推动体系向前流动，而对它作正功；同样在2—2截面处，外界气体对体系的作用力为这个力要阻止体系向前流动，而对它作负功。体系前后气体对体系所做功的总和叫做推动功；用表示。图2图2—2—6能量方程推导作用图很明显，在时间内，1—1截面上的作用力对体系所作的功为不难看出，就是1—1段的体积。设1—1截面处气体的比容为，1—1段内气体的质量为，则也表示1—1段的体积，因而有代入前式，得同理，2—2截面上的作用力所作的功为故在时间内，外界气体对系统所作的推动功为由于是定常流，1—2段内气体质量不变，故1—1段和2—2段内气体的质量相等，令其为dm，则所以4．损失功是指各种流动损失所消耗机械能的总和。损失功总是负值。综上所述，体系从位置1—2流至位置1—2的过程中，对体系加入的总能量为二)体系能量的增量体系能量的增量可由2—2段和1—1段内气体的能量之差来确定(参看图2—2—6)，这是因为，气体作定常流动时，在容积1—2内，气体的能量并不发生变化。气体所含能量有三种形式：动能、内能和位能。故体系能量的增量应为这三种能量增量之和。1．动能增量由上述分析可知2．内能增量3．位能增量式中分别为截面1—1和2—2中心处的高度(由基准面算起)。（三）能量方程根据能量守恒与转换定律，加给体系的能量应等于体系能量的增量。故等号两边同除以dm，并令，表示1千克气体流过控制体1—2的过程中所得到的热量：，分别表示1千克气体流过控制1—2的过程中，所得到的机械功与所消耗的损失功。移项后，上式可写成在多数情况下，气体位能能的变化与其它项相比是很小的，可忽略不计。又由于损失功变成热又加给气体，即而所以由于所以为气体的焓，以i表示。于是（2—2—14)上式即为1千克流动气体的能量方程。由于此方程包焓丁焓，故又称为焓方程。由焓方程知：外界加给气体的热量和机械功，用于增大气体的动能和焓。焓方程不包含损失这一项。这说明，不论是否考虑流动损失，方程的形式都是一样的。这是因为，气体流动损失所消耗的损失功，完全转换成了热又加给了气体，损失只不过使能量从一种形式(损失功)转变成另一种形式(热)而已，对气体能量总的平衡无影响。如果气体向外界放热和对外界做机械功，则方程中的和两项前应采用负号。所以1千克气体的能量方程式可综合成(2—2—15)能量方程的微分形式可写成(2—2—16)二、能量方程的应用研究能量方程的目的在于应用它来解决气体流动过程中能量的转换关系等实际问题，下面我们将举例说明能量方程的应用。(一)求压缩器功气体流过压缩器时，由于同外界无热交换，所以加热量为零；又由于外界对气体做了机械功，其符号应取正。据此，能量方程(2—2—15)可写成(2—2—17)利用(2—2—17)式可求得压缩器功。从(2—2—17)式可以看出，在压缩器中，加给气体的机械功，是用于增大气体的焓和动能的。(二)求轮缘功气体流过涡轮时，由于同外界无热交换，所以加热量为零；又由于气体对外界做了机械功，所以机械功前应取负号。据此，能量方程(2—2—15)可写成(2—2—18)利用(2—2—18)式可以求得1千克燃气对涡轮所作的机械功，即轮缘功。从(2—2—18)式可以看出，在涡轮中，气体所作的机械功和气体动能的增大，都是气体焓降低的结果。(三)气体作绝热流动的能量关系在不少气体动力学问题中，可以忽略粘性和热传导的影响。同时，气流与外界无任何能量交换，所以流动过程中是可逆的绝热过程即等熵过程。在绝热情况下，，总能量为常数，此时能量方程可写成(2—2—19)或(2—2—20)如果在式(2—2—20)中应用状态方程消去，可得能量方程的另一形式为(2—2—21)上式称为理想流体的一维绝热可压流的能量方程。§2—4伯努利方程能量方程解决了流动气体能量的转换关系问题。但是方程中既含有机械能，又含有热能，且不显含损失功。在实际应用中，有时只希望讨论机械能之间的转换和求解损失功的大小问题，这时，用能量方程就不方便了。伯努利方程就是用机械能形式写出来的能量方程。下面我们就来研究伯努利方程。一、伯努利方程的推导要得到机械能形式表示的能量方程，就需要把能量方程中以热能形式出现的项，用适当的机械能形式的项来代替。热力学第一定律提供了这种可能性。因为热力学第一定律的解析式正是表达了热与功相互转换的数量关系。将这一解析式应用于能量方程，便可得到伯努利方程。下面来推导伯努利方程。一般形式的能量方程为将方程写成微分形式(1)由热力学第一定律知(2)将（2）式代入（1）式并忽略位能的变化，整理得或(2—2—22)这就是微分形式的伯努利方程。对上式积分得(2—2—23)这就是积分形式的伯努利方程。同能量方程一样，如果气体对外做功，则项前应取负号，因此伯努力方程可综合写成(2—2—24)对于无粘不可压流体(即理想不可压流体)，常数，代入(2—2—6)式，井沿流管积分得或(2—2—25)上式为理想不可压流体的伯努利方程，或称低速能量方程。其中为静压；为动压，记为称为总压(或全压)。该方程表明，理想不可压流体，沿着流管其全压保持不变。当流速增大时，动压增大，静压减少；反之亦然。二、伯努利方程的应用发动机工作时，压缩器对气体做功，燃气对涡轮做功等，均可应用伯努利方程作定量分析。另外，空速表测速原理也是伯努利方程的具体应用。下面我们来介绍伯努利方程在这些方面的应用。(一)求压缩器功在压缩器中，压缩器对气体做功，机械能前应取正号，故(2—2—24)式可写成(2—2—26)为了了解上式的物理意义，应先弄清代表什么?显然的值是与过程的性质有关的。过程不同，的变化就不同，的值也产不同。为使结论具有普遍性，下面我们以多变过程来研究的物理意义。由于是多变过程，所以∴(2—2—27)上式也可写成，由工程热力学知，这一项表示多变压缩过程中，压缩1千克静止气体所耗费的功；表示推动1千克流动气体所耗费的推动功。二者之和就表示多变压缩过程中，压缩1千克流动气体所耗费的功，简称多变压缩功，用表示。图2图2—2—1多变压缩功从积分的概念得知：等于压容图上面积见图(2—2—7)，即多变过程曲线1—2与纵坐标轴所包围的面积。另外，还可以从(2—2—7)式看出常常用压力比的形式表示，将以及代入(2—2—27)式得(2—2—28)至此，可以利用上式说明(2—2—26)式的物理意义。将(2—2—28)式代入(2—2—26)式，得(2—2—29)上式表明，压缩器对1千克气体所作的功，一部分用来提高气体的压力，另一部分用来增加气体的功能，还有一部分消耗于损失。(二)求轮缘功在涡轮中，气体对工作叶轮作功，机械功应取负号。故伯努利方程(2—2—24)可写为变换后得(2—2—30)与讨论压缩功一样，也要弄清代表什么？对多变过程积分，并考虑到积分上下限为，可得或可以看出，是表示多变膨胀过程中，1千克静止气体膨胀所作的功，而是表示1千克流动气体所作的推动功，则就表示1千克流动气体在多变膨胀后所发出的功，简称多变膨胀功，以表示。在压容图上用面积表示(如图2—2—8所示)。也可以用压力比的形式表示图2图2—2—8多变膨胀功(2—2—31)为了使(2—2—30)式表示的物理意义更清楚，把它改写成为(2—2—32)由此可见，1千克流动气体膨胀后所发出的功，用来对涡轮工作叶轮作机械功，增大气体的动能和消耗于损失。(三)空速表测速原理飞行速度是由空速管、空速表系统来测量和指示的。空速表上的粗针指示飞行表速，细针指示飞行真速，如图2—2—9所示，其原理如下。空速管上有两种孔，侧壁上一排孔叫静压孔，它感受大气静压，并通过导管与开口膜盒外部相通；空速管前端的孔叫全压孔，用来感受总压，并通过导管和空速表的开口膜盒内腔相通。这样，膜盒内外压强就是动压q。当飞机在海平面飞行时，膜盒内外的压强差为膜盒在此压强差作用下膨胀，带动空速表粗针转动，指示飞机表速，用符号表示。表速并不是真正的飞行速度，这是因为刻度盘所表示的表速大小是根据动压和海平面的密度之间的关系而确定的，所以，粗针所转动的角度是随动压q的大小而增减的。如果飞行高度升高，飞行速度不变，此时，由于大气密度减小，动压下降膜盒收缩，空速表粗针所转动的角度减小，指示的表速也随之减小。因此，表速只能反映飞行中动压的大小和海平面的飞行速度，并不能指示任一高的飞行真速。飞行真速是由空速表中细针指示的。细针的转动角度除了受开口膜盒控制外，还受真空膜盒的控制。当飞行高度增高时，真空膜盒膨胀，带动细针多偏一个角度，指示出飞行真速。图2图2—2—9空速管和空速表飞行表速和真速之间有一定的换算关系，根据得到(2—2—33)上式表明，在海平面飞行时，真速等于表速；飞行高度增加，真速要大于表速。表速和真速的指示都很重要，缺一不可。表速指示对飞行员的操纵起重要作用。例如，表速大，动压大，意味着飞机的局部载荷大。为了防止飞机的结构遭到破坏，应规定最大限制表速，如歼七飞机的最大限制表速为1200公里/小时。表速小，间接说明飞机的迎角大，为了不使飞机超过失速迎角，也规定最小限制表速，如歼七飞机的最小限制表速为215公里/小时。而真速指示对飞行员按规定速度飞行和进行领航计算也是必不可少的。第三章可压缩定常流基础§3—1音速和马赫数一、音速研究可压缩流体运动时，音速是一个重要参数。音速是指微弱扰动在气体介质中传播速度。在日常生活中常常会遇到扰动传播的现象。例如用锤击鼓引起鼓膜振动，形成了扰动源，鼓膜周围的空气受到鼓膜振动的影响后，其密度和压力均将发生变化，亦即产生扰动，随后这种扰动就向四面八方传播，如图2—3—1所示。图2图2—3—1鼓膜振动引起的扰动传播当扰动传入人的耳朵时，人就听到了击鼓的声音。为了便于说明扰动传播的物理过程，下面以活塞在直管中移动所引起的气体扰动的传播为例说明微弱扰动波的概念，并运用前面所导出的连续方程和动量方程来推导音速的计算公式。假设有一根半无限长直圆管，左端由一个活塞封住，如图2-3-2a所示。直管内充满了静止的气体，其压力、密度、温度分别为、、T。轻轻地向右推动活塞，使它的速度由零增加到，然后保持匀速向右运动。活塞由静止状态加速到速度时，紧贴活塞的那层气体最先受到压缩、压力、密度、温度均略有增加，直到这层气体在活塞推动下也以速度运动为止，这层被压缩后作匀速运动的气体，对于第二层气体来说，就好象活塞一样，又挤压第二层气体，使其压力、密度、温度也稍稍增加，并迫使第二层气体也以速度运动。同理，第二层气体受到压缩并运动以后，又要挤压第三层气体，依此类推，气体的扰动就这样借气体本身的运动而一层层地传播出去(见图2—3—2b)。如果圆管中的活塞不是向右而是向左运动，参看图2—3—2c，则紧贴活塞的那层气体首先膨胀。压力、密度和温度将略为减小，直到这层气体随活塞以相同的速度运动为止，已膨胀的这层气体对第二层气体来说，就好象活塞一样。当它随活塞运动后，第二层气体也将膨胀，它的压力、密度和温度也略为减小，直至第二层气体也随活塞以相同的速度运动为止。依此类推，扰动也将一层一层地向右方传播出去。图2―图2―３―２直管中气体扰动的传播示意图从上述两种情况可知，气体受到压缩所引起的扰动在气体中的传播情况和气体膨胀引起的振动在气体中的传播情况是相似的。从图2—3—2可以看出，在微弱扰动的传播过程中，受到扰动和尚未受到扰动的气体之间有一个分界面(图中虚线所示)，在分界面的两边，气体参数的数值略有不同，这个分界面叫做微弱扰动波。气体中的微弱扰动如果是由活塞压缩气体而产生的，叫做微弱扰动压缩波；如果是由活塞移动形成稀薄区使气体发生膨胀而产生的，叫做微弱扰动膨胀波。无论是微略扰动的压缩波或膨胀波，都是向着远离扰动源的空间传播的，不同的是，压缩波所经过之处，气体的压力、密度和温度都略为增大，而膨胀波所经过之处，气体的压力、密度和温度都略为减小。如果活塞不是向一个方向运动，而是左右振动，气体的微弱扰动就将交替地以压缩波和膨胀波的形式进行传播。由交替的压缩波和膨胀波所组成的微弱扰动波，就是通常所说的音波。不论是哪一种微弱扰动波，其传播速度，统称为音速，下面我们以微弱扰动压缩波为例来推导音速计算公式。在图2—3—3a中，假设微弱压缩波以速度向右传播，波扫过的气体,压力为，密度为，温度为，并以微小速度向右运动；波前方的气体压力为p，密度为，温度为Ｔ。为使分析简单起见，选用与扰动波一起运动的相对坐标系，这样扰动波可视为静止不动，而参数为P，，T的气体以音速a向扰动波流来(参见图2—3—3b)；当气体经过扰动波后，速度降为,同时，压力、密度、温度略有升高。取图2-3—3b中包围扰动波的虚线为控制体，并忽略作用在这个控制体上粘性力。然后对此控制体沿x轴方向应用动量方程；则有式中,表示直圆管的横截面积。整理后得到：(1)图2图2—3—3音速的推导对此控制体应用连续方程，则有整理后得到因为是微弱扰动，故上式右侧分母中，d与比较起来，可以忽略不计，于是上式简化为（2）联立（1）式和（2）式解出音速(2-3-1)(2-3-1)式是根据微弱扰动压缩波的传播推导出来的，如果用微弱扰动膨胀波的传播，也可推导出相同的结果，这说明在相同的介质的条件下，它们的传播速度是一样的。因为在微弱扰动的传播过程中，气流的压力、密度和温度的变化是一个无限小量，粘性作用可忽略，并因扰动过程进行得相当迅速，来不及和外界交换热量，这就可以认为微弱扰动传播过程是等熵过程，则有取对数，得再微分，得或写成将此关系式代入(2—3—1)式，得(2-3-2)对于空气则(2-3-2a)由(2—3—2)式可看出，气体音速的大小与气体的性质和气体的温度有关。对于空气而言，温度越高，却越大，说明空气越难压缩，即音速越大；反之温度越低，越小，可见，音速的大小是声量空气压缩性的标志。二、马赫数(数)对于流动的气体，则用马赫数表征气流的可压缩程度。此外，马赫数还在研究气体高速运动规律以及气体流动问题的计算等方面，都有着广泛的应用。（一）气流数所谓气流数是指气流速度与当地音速的比值，即(2—3—3)气流的可压缩性可由微分形式的动量方程揭示出来。由(2—2—6)式得卸dp=或上式两边同乘以得将代入上式得由气流数定义得（2-3-4）上式表明，在气流速度相对变化量()一定的情况下，气流密度相对变化量()与成正比。因此，数大小可以作为衡量气流密度变化程度的标志。数在0.1到1.0的范围内，气流密度相对变化量与气流速度相对变化量由表2—3—1给出。表2—3—10.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0-0.01-0.04-0.09-0.16-0.25-0.36-0.49-0.64-0.81-1.00由表2-3—1可见，当时，由于速度变化引起密度相对变化量不到10﹪，因而可忽略密度的变化，此时可认为气流是不可压的，称为不可压流或低速流动；当时，速度变化引起密度相对变化量较大，不能忽略，此时的气流就必须考虑气体压缩性，称为可压流或高速流动。气流数还可用来反映气流速度的大小及气流性质。数大于1，说明气流速度超过音速，此时气流称为超音速气流；数小于1时，称为亚音速气流；当数等于1时，为等音速气流。(二)飞行数所谓飞行数是指飞行速度与飞机所在高度音速的比值，即(2—3—5)飞行数的大小可用来说明飞机飞行的快慢程度。，说明飞行速度大于音速，即飞机作超音速飞行；反之，，说明飞机作亚音速飞行。为了便于飞行员了解飞行中飞机的飞行数，有的飞机上装有数表。三、弱扰动在气流中的传播为了便于今后研究超音速气流的流动问题，下面分四种情况来进一步说明弱扰动在气流中的传播情形。(一)气流速度为零()时，弱扰动在气流中的传播气流速度等于零，气体是静止的。在这种情况下，自扰动源O点发出的弱扰动，以音速均匀地向四面八方传播。经过1秒钟，其波面到达圆1(在平面上是圆，在空间则是球面)的位置。半径为a。经过2秒钟，其波面到达圆2的位置，半径为2a，依次类推，经过相当长的时间，扰动便可传播到整个空间(如图2—3—4a所示)。(二)气流速度小于音速()时，弱扰动在气流中的传播如果气体是流动的，从0点发出的弱扰动．一方面要以音速a向四面八方传播，另一方面又被气体以流速顺流带走，如图2—3—4b所示，经过1秒钟，其波面到达圆的位置，半径仍为a，但波面各点均顺流下移了的距离。经过两秒钟，被面到达圆的位置，下移了2的距离。以此类推，其结果是弱扰动波的圆形波面一方面不断扩大，一方面还顺流下移。由此可见，在气流速度小于音速的情况下，弱扰动波沿顺流方向以速度传播；沿逆气流方向则以速度传播。但只要气流速度小于音速，弱扰动波仍可逆流前传。最后传播到整个空间。(三)气流速度等于音速()时，弱扰动在气流中的传播如果气流速度等于音速，则0点发出的弱扰动，其传播情形如图2—3—4C所示。此时波面仍是一方面扩大，一方面下移；只是由于气流速度已与音速相等，故在逆流方向这一边的波面始终彼此相切。所以，扰动只能在0点以后的半个空间内传播并使0点以后的气体参数发生变化，而不能逆流前传，使O点以前的气体参数受到任何影响。(四)气流速度大于音速()时，弱扰动波的传播情形在气流速度大于音速的情况下，弱扰动波的传播情形如图2—3—4d所示，由于气流速度大于音速，即弱扰动波被气流带动顺流方向移动的速度大于其沿半径方向传播的速度，故弱扰动波不但不能逆流传播，反而被气流带动以()的速度沿气流方向移动。这样，弱扰动的传播被限制在以扰动源0为顶点的一系列圆面的公切圆锥内，而圆锥以外的区域不受扰动的影响，称为寂静区；圆锥面则称为弱扰边或马赫波，马赫锥的半顶角(图2—3—5)，叫做马赫角。由图2—3—5所示的几何关系中可求出(2—3—6)由上式可见，气流数越大，马赫角越大，表明扰动影响的范围越小。由上述分析可知，当时，弱扰动可以逆流前传，扰动的影响波及整个空间；而当时，弱扰动不能逆流前传，扰动的影响被限制在马赫锥内。这是亚音速气流和超音速气流中弱扰动传播的本质区别。综上所述，气流数即是气流密度变化程度的标志，也是划分气流速度范围的尺度，还可以表示扰动在气流中的传播范围。图2—3—4弱扰动在气流中的传播§3—2滞止参数和临界状态参数气流的滞止参数和临界参数是气体力学中常用的重要概念，本节利用伯努利方程和能量方程的有关知识，来阐明这些概念，并从中引出极限速度和速度系数的概念。一、气流的滞止参数按一定的过程将气流速度阻滞到零，此时气流的参数称为滞止参数，又叫总参数。大家知道，为了描述流场中一点的状态，可以给出该点气体压力、温度和速度等参数的数值。但是，在工程应用上，往往是给出该点气流的滞止参数(滞止温度、滞止压力等)和数的数值。这是因为运用滞止参数分析或计算问题比较方便，同时滞止参数也比较容易测量。所以滞止参数得到了极其广泛的应用。(一)总焓和总温1．总焓和总温定义根据一维定常绝能流动的能量方程(2—2—19)式可以知道，流动气体的焓是随气流速度的减少而增大的。当气流速度减小到零，即当气流完全滞止时，焓达到最大值。气流绝能地滞止到速度为零时气体的焓称为总焓，气体的温度称为总温，分别用和表示。根据总焓和总温的定义(参看图2—3—6)，即把气流由速度绝能地滞止到零()，此时所对应的焓()就是总焓，即（2—3—7）或（2—3—8）图2图2—3—5扰动锥可见，气体的总焓等于气体的焓与动能之和。因为式(2—3—7)对于振动过程是否可逆都是适用的，所以对于总焓来说，只要求滞止过程为绝能的，而不要求一定是等熵的。2．总温的物理意义由于气体的总焓和总温之间只差一个作为倍数的常数，所以只需分析总温的物理概念亦能说明总焓的物理意义了。用通除(2—3-7a)式，得可见，总温是由两项组成。第一项静温T表示气流所具有的热能(或气体分于热运动的平均动能)，第二项表示气体作宏观运动的动能。所以，总温就表示气体分子热运动和宏观运动的能量之和，也就是代表气流所具有的总能量的大小。总温越高，表示气流的总能量越大。利用关系式可把总温公式写成将音速代入上式，得或(2-3-8)图2—图2—3—6气流绝能滞止到速度为零3．气体在流动中的总温变化规律为了便于分析总温(总焓)的变化规律，首先引用总焓的概念，()将能量方程式加以简化,根据(2-3-15)式可改写成(2—3—9)这就是总焓的形式的能量方程式。它表明，由于气流与外界交换热量和功的结果，使气流的总温(总焓)发生变化。当气体作绝能流动时，(2-3-9)式简化为：或即气体作绝能流动时，不论是否考虑气体粘性，气流的总温和总焓都保持不变。这是因为粘性虽然会引起气体的机械能损失，但是由机械能损失产生的热仍然加给了气体，该气体的总能量依然保持不变的缘故。如果气流与外界只有热能交换而无机械功交换时()(2-3-9)式简化为(2—3—9a)此式说明：当气流从外界获得热量时，其总温（总焓）就增大；反之，若气流对外界散热时，则气流的总温(总焓)就减小。当气体与外界只有机械功交换而无热量交换时()，(2—3-9)式简写为或这就说明，当外界对气流作功(如压缩机叶轮对气流作功)时，气流的总温(总焓)会增加；反之，若气流对外界作功(如燃气流对涡轮作功)时，则气流总温(总焓)就减少。(二)总压、总密度1．总压、总密度的概念如果把气流等熵绝能地滞止到速度为零时，此时所对应的压力称为滞止压力，又叫总压；所对应的密度叫总密度。它们分别用、来表示。由于滞止过程为等熵绝能过程，故可用等熵绝能的条件直接导出：(2—3—10)(2—3—11)从同样方法得(2—3—12)由(2—3—11)和(2—3—12)式可知其总压、总密度与其静压力、静密度以及气流数之间的关系。2．总压的物理意义为了说明总压的物理意义，写出气体对外界作机械功而无热交换情况下的能量方程：（1）将代入上式得（2）已知（3）（4）将(3)式和(4)式代入(2)得(2—3—13)(2—3—13)式右边两项分别是气体对外界作的机械功和气体膨胀后所具有的动能。它们是由于气体从滞止后的压力膨胀到压力作功的结果。当，即气流的总能量相同，如果膨胀同样压力则总压越大，气体膨胀后所作的功也越大。这就是说，气体总压大小代表气体作功本领的大小，即气体具有的机械能的大小。基于对总压的物理意义的这一了解，我们可以推知：(1)总压的变化，即意味着气体与外界有机械功的交换。例如，当气体流过压缩机时，压缩机对气体作了功，所以气体总压升高；而当气体流过涡轮时，气体膨胀对涡轮作功，所以气体总压下降。(2)有流动损失，就要消耗一部分机械功，引起总压下降。例如，气流流过喷管时，虽然是一个绝能流动过程，但有流动损失，所以总压下降。但值得注意的是，此时总温并不下降。因为流动损失而产生的摩擦热，又加到气流中，故总温不变。由此可知，流动损失增加时，总能量虽然未变，但改变了气体的能量分配，使机械能减小，气体做功本领下降，而内能增加。3．总焓、总温与总压的比较为了明确总焓、总温与差压之间的差异，有必要对它们作一对比。(1)总焓、总温代表气体具有的总能量的大小，而总压则代表气体所具有械构能的多少。(2)只要是绝能流动，不管有无流动损失，总焓和总温不变。但即使是绝能流动，如有流动损失．总压就要下降。(3)对于总焓与总温的要求条件是：气流绝能地滞止到速度为零。而总压则要求气流等熵绝能地滞止到速度为零。(三)滞止参数的应用气流的参数既然是按一定的过程将气流速度滞止到零时的气流参数，应用滞止参数来分析或计算问题，动能就不会作为单独一项出现，从而也就不需要单独地考虑动能的变化，这将使分析或计算问题较为简便。应用滞止参数，也为测量气流参数提供了方便的途径。工程上，需要用实验的方法，确定流场中一点的气流速度和静温T，但是，测量流动气体的静温，比测量静止气体的温度复杂得多。因为流动气体流过测量仪表的受感部时，气流在受感部处将被滞止，从而使温度表的指示偏高，所以，这时测量的不是流动气体的静温。要想避免这种情况，温度表受感都必须与气流以相同的速度移动，仪表才能正确地测量出气体的静温。显然，这种测量方法是很难实现的。然而，气流速度很容易被阻滞到零，测量气体的总温，总压是很方便的，如再测得静压的数值，然后由(2—3—8)式(2—3—11)式和公式就可推处出气流的数，静温和速度来。在研究发动机工作特性或飞行原理时，必然联系到飞行条件，而应用滞止参数，可以使飞行条件简化。—般说明飞行条件的是飞行高度和飞行速度，实际上是给出了三个参数；、、(或者数)。由于就可以用两个滞止参数和代替以上三个参数。也就是说，两个滞止参数的变化就可以反映出飞行条件(飞行高度和飞行速度)的变化。这使分析问题和数据运算都较方便。下面再举些滞止参数应用的例子来加以说明。[例2—3—1]已知燃烧烧室进口处气流总温了，出口处气流总温，求对每千克气体的加热量。如果发动机的空气流量为35千克／秒，燃油的热值干焦／千克，求燃油的消耗量，假设燃油在燃烧室内是完全燃烧的,并忽略散热损失且已知气体加热时的平均比热为1．19千焦／千克·开。解：根据(2-3-9a)式有所需燃油消耗量为[例2—3—2]如图2—3—7所示的贮气箱中的高压空气通过喷管喷射到大气里，在出口处测量射流的总压数值，总温数值。因完全膨胀．出口处的压力恰好等于外界大气压。试确定气流的喷出速度(已知大气压力为9．81X104牛顿／米)。解：由(2—3—11)式可解得出口气流数固完全膨胀故由(2—3—8)式得因为所以图2—3—7喷管[例2—3—3]某涡轮喷气发动机在台架试车，已知涡轮进口的燃气总温为，涡轮出口的燃气总温为，求每千克燃气通过涡轮对外界作的机械功为多少?如果燃气的流量为13.3千克／秒，求涡轮的功率。设燃气的平均比热图2—3—7喷管解：在涡轮中燃气与外界基本无热交换，即据(2—3-9b)式，得故涡轮的功率为[例2—3—4]某飞机在海平面上的飞行马赫数，进气道由于飞行的冲压作用，气流在进行口处的数降为，再在通道内扩压减速，数继续降低，到进气道出口时，并因管道摩擦使总压损失5％，试求气道的冲压比和出口处气流速度。解：已知海平面大气压，因为所以因为故固总压损失5%，即故根据(2—3—11)式故 则冲压比因绝能流动又故据音速公式二、临界状态参数为了知道在什么条件下加速气流才会达到或超过音速，必须弄清临界状态参数这个概念。从绝能情况下的能量方程(2—2—19)式可看出，在绝能流动中，如果气流加速，即气体的动能增大，则气体的焓必然减小，也即气体温度要降低。由于气体的音速()与气体的温度有关，因此，在气流加速过程中，随着速度的不断增大，音速将不断减小。于是必然会出现这样二种特殊情况，即气流速度增大到某一数值时，正好与气流中的音速相等，这时气流数正好等于。数等于1时的气流速度叫做临界速度，以符号表示；这时的音速叫做临界音速，以符号表示。与临界速度相对应的管道截面、气体压力、温度和密度分别叫做临界截面、临界压力、临界温度和临界密度，并分别用、、、表示。计算临界速度或临界音速的公式，可根据能量方程推导出来，写出起始截面到临界截面的绝能情况下的能量方程。移项得将代入上式，得因故移项得或于是（2-3-14）这就是计算临界速度或临界音速的公式。由上式可以看出，临界速度(或临界音速)的大小取决于气体的总温。在绝能流动中，气体总温不变，所以临界速度(或临界音速)也不变。这就是和音速不同的地方。音速的大小决定于气体的温度，在绝能流动中，气体温度一般是变化的，所以音速也是变化的。在临界情况下，气流的数等于，将代入(2—3—8)，(2—3—11)和(2—3—12)式，即可求出临界温度比，临界压力和临界密度比。它们分别为（2-3-15）（2-3-16）（2-3-17）把k值(空气的，燃气的和)代入上面的三式得下表：临界参数比空气（）燃气（）燃气（）1.201.1651.1251.8931.8511.8051.581.591.69由上表看出：要使气流速度增大到临界速度(即出现临界状态)，开始膨胀时气体的总压与膨胀后气体静压之比()，必须等于或大于临界压力比。对空气来说，。三、极限速度由总焓的表达式可知，气体在绝能流动过程中，随着气流的焓(或温度)不断降低，速度逐渐增大；当焓下降为零，即绝对温度下降到绝对零度的极限情况时，气流的焓全部较变为动能，气流速度将达到最大值，这时，要想进一步再增大气流的速度就示可能了。这个最大的气流速度就称为极限速度用表示。显然，在上式中，令，则由得到用代入上式，可得（2-3-18）实际上不可能使气流达到极限速度，因为任何气体在达到绝对零度以前早就液化了。极限速度仅是一种假想的最大速度的极限值。从上式看出，极限速度的大小只取决于气体的性质和总温，在绝能流动过程中，它是一个不变的常数。因此，它仅仅是研究问题的一个参考量。这一点将在下面的分析中涉及到。四、速度系数数的定义是速度与当地音速的比值，即。在音速不变的条件下，例如，飞机在某一高度飞行，该高度上空气温度为一定值，根据，音速也为一定值，因此数的大小可以直接说明气流速度的大小。已知数后，要计算气流速度，必然知道当地的音速或静温。当气体在管道中流动时，在管道各个截面上的音速，由于温度不同而不同，所以用数就不能直接说明气流速度的大小了。另外，当气流速度由零增加为极限速度时，音速下降为零，数趋于无穷大，这样，用数作图表画曲线就很不方便。为了研究和计算问题方便，气体动力学中除了要用气流数来研究气体流动问题外，有时，还用另一个性质与气流数相似的物理量——速度系数来研究气体流动问题。气流速度与监界音速的比值，叫做速度系数，用符号表示，即（2-3-19）以绝能流动中，临界音速是只和总温有关常数。因此，数的大小就直接反映的大小，已知数，要计算气流速度，只需乘以一个常数就行。另外，当时数不象数那样趋向无穷大，而是保持为一个定值，即（2-3-20）这样，就避免了作图表画曲线的困难。数和数之间有确定的对应关系，这种关系可推导如下：根据的定义式，则将(2—3—8)式和(2—3—15)式代入上式，得（2-3-21）从此式还可推导出（2-3-21a）上式关系可以画成曲线，如图2—3—8所示。由公式和曲线均可看出对于某一种气体来说当时，；当时，(亚音速)；当时；；当时，（超音速）当时，因此，数和数一样，也是表示亚音速气流或超音速气流的一个标志。由于不同气体的k值不同，所以也不同。对于空气来说，，。数与数一一对应关系列入气体动力学函数表中。图2图2—3—8λ与M数的对应关系§3—3气体动力学函数及应用气流静参数与总参数之比，气体流量以及冲力等公式中，参数间关系比较复杂，计算也很繁琐，为了简化公式并便于计算，上述公式都可以写成速度系数的函数式。由速度系统组合成的几种常见函数，称为气体动力学函数，简称气动函数，每个函数用一个符号表示，并把各个函数随效变化的数值计算出来，列成表格，便于查阅。目前常用的气体动力学函数有三组：(1)气流静参数与总参数之比的气动函数；(2)与流量有关的气动函数；(3)与冲力有关的气动函数。下面分别介绍，并举列说明其应用一、气流静参数与总参数之比的气动函数气流的总参数与静参数之比可以写成数的函数：为了画曲线和制表方便，需把上式中的数换成数，为此，将(2-3-2la)式代入上列诸式，化成数的函数，并分别以，，，来表示；可得（2-3-22）（2-3-23）（2-3-24）根据每一个数，把，，三个函数的数值计算出来，列成表格(见附录)。使用时，根据气流的数(或M数)，就可以查出与数相的静参数与总参数之比的数值。以此为基础，如已知总参数，就可以求出静参数；已知静参数，就可求出总参数。显然三个函数，，)之间的关系是：（2-3-24a）当时，函数，和随数的变化曲线如图2--3—9所示。从图中可看出，在任一数下，都有一个确定的、、数值相对应。当时，；数增大时，三个函数都减小；当时，，不同数下，这三个函数的大小还与气体的性质有关。对于空气来说，，当时，，()，。同理，根据静参数与总参数之比的数值，也可以查出相对应的数和M数大小。图2图2—3—9τ(λ)、π(λ)和ε(λ)随λ数的变化（k=1.4）[例2—3—5]用风速管测量空气流中一点的总压，静压，用热电偶测得该点气流的总温，试求该点气流速度。解：(2—3--23)式有由气动函数查得气流速度得[例2—3—6]空气在超音速喷管内作等熵绝能流动，已知进口截面上气流的静压入，总温，速度系数，出口截面上的静温，求气流在出口截面上的静压和速度系数。解：因为是等熵绝能流动，喷管中各截面处空气的总温和总压不变，所以查表得查表得，所以二、与流量有关的气动函数由流量公式知，流管任一截面和临界截面的密度（即单位面积流量）分别为：任一截面单位面积上的流量与临界截面单位面积流量之比，也就是任一截面的密流与临界截面密流之比，称为相对密流。又叫做无量纲密流。即因为临界截面是流管中的最小截面积，所以临界截面的密度最大，也就是说，临界截面的单位面积流量最大。相对密流一般小于1。它的大小，可用来说明任一截面的密流与最大密流接近的程度，即说明该截面的流通能力的大小。相对密流越接近1，说明截面流通能力越大。临界截面的相对密流等于1。相对密流可写成速度系数的函数，具体推导如下。