【25年秋季】新人教版八年级数学上册专项讲练专题12.13 角的角平分线的性质（知识讲解）

专题12.13角的角平分线的性质（知识讲解）【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法，并能根据尺规作图解决实际问题.3.熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

几何语言：∵DC平分∠ADB,又∵PE⊥AD,PF⊥BD,垂足为E、F，∴PE=PF特别指出：解题时一定要写上E⊥AD,PF⊥BD这个条件要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.几何语言：∵PE⊥DA,PF⊥DB,垂足为E、F，又∵PE=PF∴DC平分∠ADB,即点P在∠ADB的平分线上。要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边D、E.

（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.

（3）作射线OC.∴射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做这个三角形的内心，三角形内心到这个三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC的内心为，旁心为，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质定理及证明1．已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．【分析】根据PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，得出CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，得出∠MPN+∠MCN=180°，再证Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），得出∠MCD=∠NCE即可．解：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°，在Rt△MCD和Rt△NCE中，，∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），∴∠MCD=∠NCE，∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°．【点拨】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和是解题关键．举一反三：【变式1】已知：如图，ABC中，∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CE交于点I，连接AI并延长交BC于点F．求证：AF平分∠BAC．【分析】过点I分别向△ABC的边BC、AC、AB作垂线，垂足分别为点G、H、K，然后由角平分线的性质得到IG＝IH，IG＝IK，然后得到IH＝IK，再证明△IHA≌△IKA即可得到AF平分∠BAC．解：如图所示，过点I分别作IG⊥BC、IH⊥AC、IK⊥AB，垂足分别G、H、K，∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴IG＝IH，IG＝IK，∴IH＝IK，在Rt△IHA和Rt△IKA中，，∴Rt△IHA≌Rt△IKA（HL），∴∠IAH＝∠IAK，∴AF平分∠BAC．【点拨】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．【变式2】如图，△ABC中，∠A＝60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．（1）求∠BGC的度数．（2）求证：GD＝GE．【答案】（1）；（2）见分析【分析】（1）利用角平分线的定义，结合三角形内角和定理可得出∠GBC＋∠GCB，进一步求得∠BGC；（2）连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．由角平分线的性质及逆定理可得GN＝GM＝GF，AG是∠CAB的平分线；在四边形AMGN中，易得∠NGM＝180°−60°＝120°；在△BCG中，根据三角形内角和定理，可得∠CGB＝120°，即∠EGD＝120°，∴∠EGN＝∠DGM，证明Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS）即可得证GE＝GM．解：（1）∵∠A＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°−60°＝120°，∵∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G，∴∠GBC＋∠GCB＝∠ABC＋∠ACB＝（∠ABC＋∠ACB）＝60°，∴∠BGC＝180°−（∠GBC＋∠GCB）＝120°；（2）连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．∵∠A＝60°，∴∠ACB＋∠ABC＝120°，∵CD，BE是角平分线，∴∠BCG＋∠CBG＝120°÷2＝60°，∴∠CGB＝∠EGD＝120°，∵G是∠ACB平分线上一点，∴GN＝GF，同理，GF＝GM，∴GN＝GM，∴AG是∠CAB的平分线，∴∠GAM＝∠GAN＝30°，∴∠NGM＝∠NGA＋∠AGM＝60°＋60°＝120°，∴∠EGD＝∠NGM＝120°，∴∠EGN＝∠DGM，又∵GN＝GM，在Rt△EGN≌Rt△DGM，∴Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS），∴GE＝GD．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质及角平分线的性质，作出辅助线构造三角形全等是解题的关键．类型二、角的平分线的性质定理2．如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋∠ABC；(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见分析(2)AE+CD=AC，证明见分析【分析】（1）求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，根据角平分线定义求出∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，即可求出∠OAC+∠OCA的度数，根据三角形内角和定理求出即可；（3）在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，证△AEO≌△AMO，△DCO≌△NCO，推出∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，求出∠MON=∠MOA=45°，根据角平分线性质求出MK=ML，据此计算即可求解．(1)解：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．∴∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC，∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-∠ABC），即∠AOC=90°+∠ABC；(2)解：AE+CD=AC，证明：如图2，∵∠AOC=90°+∠ABC=135°，∴∠EOA=45°，在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，则在△AEO和△AMO中，，∴△AEO≌△AMO，同理△DCO≌△NCO，∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，∴∠MON=∠MOA=45°，过M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L，∴MK=ML，S△AOM=AO×MK，S△MON=ON×ML，∴，∵，∴，∵AO=3OD，∴，∴，∴AN=AM=AE，∵AN+NC=AC，∴AE+CD=AC．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．举一反三：【变式1】（1）如图，在中，按以下步骤作图（保留作图痕迹）：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点D、E．②分别以点D、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．③作射线交于点．则是的______线．（2）如果，，的面积为18．则的面积为______．【答案】（1）角平分；（2）27【分析】（1）根据尺规作图要求，按给定的步骤与作法画图即可；（2）根据角分线性质可知，两三角形的AB与BC边上的高相等，则得面积比为底的比，依此列式求解即可．解：（1）如图所示，BG即为所求；故答案为：角平分；（2）如图，作GM⊥AB于M，作GN⊥BC于N，∵由（1）得BG为∠ABC的角平分线，∴GM=GN，∴，解得：．故答案为：27．【点拨】本题考查尺规作图，角平分线性质，三角形面积；掌握尺规作图步骤与要求，根据角平分线性质得出两三角形的高相等，则面积比等于底的比是解题关键．【变式2】在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．(1)如图1，当点E与点C重合时，AD与的位置关系是______，若，则CD的长为______；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．①用等式表示与之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．【答案】(1)AD⊥CB′；；(2)①∠BAC=2∠DAE，理由见分析；②BE=CD+DE，理由见分析【分析】（1）先证明∠ADC=90°，再过点A作AF⊥BC于点F，根据角平分线的性质，证明△ADC≌△AFC(HL)，即可求解；（2）①∠ACB′=∠ACB=α=∠B，利用三角形内角和定理得到α=90°-∠BAC，再由∠DAE+∠ACD=90°，推出∠ACD=90°-∠DAE=α，进一步计算即可求解；②在BC上截取BG=CD，先后证明△ABG≌△ACD(SAS)，△GAE≌△DAE(SAS)，即可求解．(1)解：∵点E与点C重合，且∠DAE+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，∴AD⊥CB′；过点A作AF⊥BC于点F，∵AB=AC，∴CF=BF=BC=，∵∠ACB′=∠ACB，AF⊥BC，AD⊥CB′，∴AF=AD，∴△ADC≌△AFC(HL)，∴CD=CF=，故答案为：AD⊥CB′；；(2)解：①∠BAC=2∠DAE，理由如下：设∠ACB′=∠ACB=α=∠B，∴∠ACB+∠B=180°-∠BAC，即α=90°-∠BAC，∵∠DAE+∠ACD=90°，∴∠ACD=90°-∠DAE=α，∴90°-∠BAC=90°-∠DAE，∴∠BAC=2∠DAE；②BE=CD+DE，理由如下：在BC上截取BG=CD，在△ABG和△ACD中，，∴△ABG≌△ACD(SAS)，∴AG=AD，∠BAG=∠CAD，∵∠BAC=∠BAG+∠GAC，∠GAD=∠CAD+∠GAC，∴∠BAC=∠GAD，∵∠BAC=2∠DAE，∴∠GAD=2∠DAE，∴∠GAE=∠DAE，在△GAE和△DAE中，，∴△GAE≌△DAE(SAS)，∴GE=DE，∴BE=BG+GC=CD+DE．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．类型三、角的平分线的判定定理3、图，点B，C在的边AM，AN上，点D在内部，连接BD，CD，，作于点E，于点F，，求证：AD是的平分线．【分析】根据HL证明Rt△DEB≌Rt△DFC，得DF=DE即可得到结论．解：∵DF⊥AN，DE⊥AM∴∴△DEB，△DFC是直角三角形，在Rt△DEB和Rt△DFC中，∴Rt△DEB≌Rt△DFC∴DE=DF又DF⊥AN，DE⊥AM∴AD是的平分线【点拨】本题主要考查了角平分线的判定，直角三角形全等的判定与性质，证明Rt△DEB≌Rt△DFC是解答本题的关键．举一反三：【变式1】如图，和都是等边三角形，连接与，延长交于点H．(1)证明：；(2)求的度数；(3)连接，求证：平分．【分析】（1）由△ABD和△BCE都是等边三角形得BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°，所以∠ABE＝∠DBC＝60°−∠DBE，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABE≌△DBC，得AE＝DC；（2）由△ABE≌△DBC得∠BAE＝∠BDC，因为∠BAD＝∠BDA＝60°，所以∠HAD＋∠HDA＝＝120°，所以∠AHD＝60°；（3）作BF⊥HA于点F，BG⊥HC交HC的延长线于点G，则∠AFB＝∠BFH＝∠G＝90°，即可证明△BAF≌△BDG，则BF＝BG，根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”即可证明HB平分∠AHC．(1)证明：如图1，∵△ABD和△BCE都是等边三角形，∴BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°，∴∠ABE＝∠DBC＝60°−∠DBE，在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE＝DC．(2)解：如图1，由（1）得△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC，∵∠BAD＝∠BDA＝60°，∴∠HAD＋∠HAD＝∠HAD＋∠BDC＋∠BDA＝∠HAD＋∠BAE＋∠BDA＝∠BAD＋∠BDA＝120°，∴∠AHD＝180°−（∠HAD＋∠HDA）＝60°．(3)证明：如图2，作BF⊥HA于点F，BG⊥HC交HC的延长线于点G，则∠AFB＝∠BFH＝∠G＝90°，由△ABE≌△DBC得∠BAF＝∠BDG，在△BAF和△BDG中，，∴△BAF≌△BDG（AAS），∴BF＝BG，∴点B在∠AHC的平分线上，∴HB平分∠AHC．【点拨】此题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上等知识，证明三角形全等是解题的关键．【变式2】如图，已知BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF交CE于D，且BD＝CD，求证：点D在∠BAC的平分线上．【分析】由BF⊥AC，CE⊥AB得到∠DEB＝∠DFC＝90°，则可根据“AAS”判断△DBE≌△DCF，则DE＝DF，然后根据角平分线定理得到D点在∠BAC的平分线上．解：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，在△DBE和△DCF中，，∴△DBE≌△DCF（AAS），∴DE＝DF，又∵BF⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为F、E，∴D点在∠BAC的平分线上【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应角相等，对应边相等，也考查了角平分线定理．类型四、角的平分线的性质的运用4．如图，已知．(1)请用尺规作图．在内部找一点，使得点到、、的距离相等，（不写作图步骤，保留作图痕迹）；(2)若的周长为，面积为，求点到的距离．【答案】(1)见分析(2)【分析】（1）根据题意作的角平分线的交点，即为所求；（2）根据（1）的结论，设点到的距离为，则，解方程求解即可．解：(1)如图，点即为所求，(2)设点到的距离为，由（1）可知点到、、的距离相等则解得：点到的距离为【点拨】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．举一反三：【变式1】有三条交叉公路如图所示，要在三角形区域内建一个加油站，使加油站P到三条公路的距离相等，应建在什么位置？请用尺规作图标出加油站P的位置．【分析】三角形的内心到三角形的三边距离相等距离相等，而三角形的内心是三个角的角平分线的交点，在实际作图中只需作出两条角平分线的交于一点即可．解：分别作∠ABC与∠ACB的平分线，两条角平分线交于点P，则点P即为所求点，∴P点是△ABC的内心，∴加油站P应该建在三角形内角平分线的交点处．如图所示：①以点B为圆心，以任意长为半径画圆，分别交AB、BC于点D、E；②分别以点DE为圆心，以大于DE为半径画圆，两圆相交于点F．连接BF，则BF即为∠ABC的平分线；同理作出∠ACB的平分线，两条角平分线交于点P，则点P即为所求点．【点拨】本题考查三角形内心的性质，以及内心的作法，熟练掌握三角形内心的性质是解决本题的关键．【变式2】如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库．（1）如果要求油库到两条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？（2）如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？【答案】（1）油库的位置在直线MN或直线EF上；（2）见分析【分析】（1）作∠BAC角平分线AN，作∠BAD的角平分线AE，直线MN，直线EF上的点满足条件．（2）根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，分别作出三个内角的平分线、相邻两个外角的平分线，共有四个点．解：（1）如图，油库的位置在直线MN或直线EF上；（2）如图，点P1，P2，P3，P4即为所求．【点拨】此题是考查对角平分线的性质的灵活应用，注意：三角形的外角平分线不要漏掉，思考问题要全面．类型五、尺规作图——角平分线5．如图，已知，△ABC（AB＜AC）将△ABC沿过点A的直线折叠，使AB边落在线段AC上，直线交BC边于点M，利用尺规作图方法，作出直线AM；（保留作图痕迹，不写作法）【分析】根据折叠的性质，AB边沿直线AM翻折后落在线段AC上，可知∠B