【九上HK数学】安徽省合肥市庐阳中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

安徽省合肥市庐阳中学2024--2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟．一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A，B，C，D，四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1.下列函数中，是二次函数的是（）A. B.C. D.2.二次函数图象的顶点所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.抛物线与轴交点的坐标是（）A B. C. D.4.如果将抛物线向上平移2个单位长度，那么所得到的拋物线的解析式是（）A. B.C. D.5.对于二次函数，当函数值随的增大而减小时，则的取值范围是（）A. B. C. D.6.若关于的函数的图象与轴只有一个交点，则的值是（）A.3 B. C. D.或7.如表是一组二次函数y＝x2﹣x﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根是（）x1234y﹣3﹣139A1.2 B.2.3 C.3.4 D.4.58.某同学在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离，则该同学此次掷球的成绩(即的长度)是（）A. B. C. D.9.如图，已知二次函数的图象与一次函数的图象存在两个交点，其中一个交点在轴上，另一个交点在轴上，则函数的图象大致是（）A. B.C. D.10.如图，这是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④点在二次函数图象上，若，则．其中正确结论的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11.二次函数的顶点坐标是______．12.如图，抛物线与直线相交于两点，横坐标分别为，则不等式的解集为______．13.相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长30厘米，宽20厘米．相框边（阴影部分）的宽为厘米，相框内的空白部分面积是平方厘米，则与之间的函数关系式为_______．14.如图，二次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，O是坐标系的原点，P是该二次函数图象对称轴上一动点．（1）_______．（2）周长的最小值为_______．三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15.已知抛物线的顶点是，且过原点，求该抛物线的解析式．16.已知抛物线的解析式为，求该抛物线与轴的两个交点的坐标．四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17.如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且，，求抛物线的顶点的坐标．18.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系．（1）在坐标系中画出抛物线与直线．（2）根据（1）中所作图象，直接写出方程根．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19.已知某商品的进价为100元/件，销售数量(单位：件)与销售单价(单位：元)之间满足一次函数关系，设该商品的利润为元．（1）求利润关于销售单价的函数解析式．（2）问当销售单价为多少时，利润最大？最大为多少？20.已知二次函数的图象过点．（1）求二次函数的表达式．（2）若和都是该二次函数图象上的点，且，求的最小值．六、(本题满分12分)21.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，若直线与抛物线交于A、C两点，已知C点的横坐标为2．（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）根据图象判断，当x满足什么条件时，？（3）抛物线上有两点，，且，求m的取值范围．七、(本题满分12分)22.植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为的墙，现准备用的篱笆围成矩形花圃，小俊设计了甲、乙两种方案(如图所示)：方案甲中的长不超过墙长；方案乙中的长大于墙长．（1）按图甲的方案，设的长为，矩形的面积为．①求与之间的函数关系式；②求矩形的面积的最大值．（2）甲、乙哪种方案能使围成矩形花圃的面积最大？最大是多少？请说明理由．八、(本题满分14分)23.如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，抛物线与轴的一个交点为A5,0，对称轴为直线，（1）求，的值．（2）若点Mx1,y1，Nx2,y（3）若抛物线与轴另一个交点为，与轴交于点，顶点为，轴于点，是第一象限内抛物线上的一点，连接，，，求面积的最大值及此时点的坐标．

安徽省合肥市庐阳中学2024--2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟．一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A，B，C，D，四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1.下列函数中，是二次函数的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查二次函数的识别，解题的关键是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．根据二次函数的定义逐项判断即可．【详解】解：A、最高次为1次，不是二次函数，不符合题意；B、中为分式，不是二次函数，不符合题意；C、是二次函数，符合题意；D、中为分式，不是二次函数，不符合题意；故选：C．2.二次函数图象的顶点所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质、判断点所在象限，根据二次函数解析式得出二次函数的顶点坐标为，再结合各个象限内点的坐标特征即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．【详解】解：∵二次函数解析式为，∴二次函数的顶点坐标为，∴二次函数图象的顶点所在的象限是第二象限，故选：B．3.抛物线与轴交点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，求出当时的的值即可得解．【详解】解：在中，当时，，∴抛物线与轴交点的坐标是，故选：B．4.如果将抛物线向上平移2个单位长度，那么所得到的拋物线的解析式是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数图象平移，根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出答案，熟练掌握二次函数的平移法则是解此题的关键．【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度，那么所得到的拋物线的解析式是，故选：A．5.对于二次函数，当函数值随的增大而减小时，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据开口向下的二次函数在对称轴右侧函数值随的增大而减小，据此求出对称轴即可得到答案．【详解】解：∵二次函数解析式为，，∴二次函数开口向下，对称轴为直线，∴当时，函数值随的增大而减小，故选：D．6.若关于的函数的图象与轴只有一个交点，则的值是（）A.3 B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了二次函数图象和一次函数图象与x轴的交点问题，解题的关键是注意进行分类讨论．分两种情况：当时，函数为一次函数，函数与x轴有一个交点，当时，函数为二次函数，根据方程有两个相等的实数解，求出a的值即可．【详解】解：当，即时，函数为与x轴有一个交点，符合题意；当时，函数为二次函数，令，则，∵此时方程有两个相等的实数根，∴，解得：；综上分析可知：关于的函数的图象与轴只有一个交点时，的值为或．故选：D．7.如表是一组二次函数y＝x2﹣x﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根是（）x1234y﹣3﹣139A.1.2 B.2.3 C.3.4 D.4.5【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的图象特征解答．【详解】解：观察表格得：方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根在2和3之间，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数与x轴的交点坐标特征是解题关键．8.某同学在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离，则该同学此次掷球的成绩(即的长度)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查二次函数的应用，令，则，求出的值，即可得出点的坐标，从而得解，求出点的坐标是解此题的关键．【详解】解：在中，令，则，解得：，（不符合题，舍去），∴A9,0∴，故选：D．9.如图，已知二次函数的图象与一次函数的图象存在两个交点，其中一个交点在轴上，另一个交点在轴上，则函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数与二次函数综合，根据图象可知，，再结合一次函数与二次函数的交点情况，以及二次函数的平移规律判断出函数的图像特点，即可解题．【详解】解：由图知，二次函数开口向下，，二次函数对称轴轴左侧，，二次函数的图象与一次函数的图象存在两个交点，，即有两个根，，开口向上，即函数开口向上，由图知，与轴交与点，可看作向上平移2个单位，函数与轴交点在右侧，，函数对称轴在轴左侧，故选：B．10.如图，这是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④点在二次函数图象上，若，则．其中正确结论的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子符号．熟练掌握二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子符号是解题的关键．由图象开口向上，可得，由对称轴是直线，可得，则，可判断②的正误；当时，，则，可判断①的正误；当时，，由，可得，，则，可判断③的正误；若，由于两点与对称轴的位置关系不确定，则不一定成立，可判断④的正误．【详解】解：由图象开口向上，可得，又对称轴是直线，∴，，故②错误；当时，，∴，故①正确；当时，，又∵，∴，∴，∴，∴，故③正确；由题意，对称轴是直线，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，若，由于两点与对称轴的位置关系不确定，不一定成立，故④错误．故选：B．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11.二次函数顶点坐标是______．【答案】【解析】【分析】根据二次函数的顶点式，可以直接写出顶点坐标．【详解】解：二次函数，该函数的顶点坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数性质，解答本题的关键是明确题意，由顶点式可以直接写出顶点坐标．12.如图，抛物线与直线相交于两点，横坐标分别为，则不等式的解集为______．【答案】##【解析】【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数与不等式，根据图象可得当时，，据此即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键．【详解】解：由函数图象可知，当时，，∴不等式的解集为，故答案为：．13.相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长30厘米，宽20厘米．相框边（阴影部分）的宽为厘米，相框内的空白部分面积是平方厘米，则与之间的函数关系式为_______．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得出相框内的空白部分的长为，宽为，再根据长方形的面积公式计算即可得解．【详解】解：由题意得：相框内的空白部分的长为，宽为，则，∴与之间的函数关系式为，故答案为：．14.如图，二次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，O是坐标系的原点，P是该二次函数图象对称轴上一动点．（1）_______．（2）周长的最小值为_______．【答案】①.②.8【解析】【分析】（1）将代入得，计算即可得解；（2）由二次函数解析式可得二次函数的对称轴为直线，求出，得到，作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于，连接，则，由轴对称的性质可得：，的周长，由两点之间线段最短可得此时的周长最小，再由勾股定理求出的长即可得解．【详解】解：（1）将代入得：，解得：，故答案为：；（2）由（1）可得，二次函数解析式为，∴二次函数的对称轴为直线，当时，，∴，∴，如图，作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于，连接，，则，由轴对称的性质可得：，∴的周长，由两点之间线段最短可得此时的周长最小，∵，∴的周长的最小值，故答案为：．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、轴对称的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15.已知抛物线的顶点是，且过原点，求该抛物线的解析式．【答案】【解析】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，设抛物线的解析式为，再将原点代入计算即可得解．【详解】解：设抛物线的解析式为，将原点代入，得，解得，故抛物线的解析式为．16.已知抛物线的解析式为，求该抛物线与轴的两个交点的坐标．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了求抛物线与x轴的交点，把代入，解关于x的方程即可．【详解】解：当时，，整理得：，解得：，抛物线与轴的两个交点的坐标分别为和．四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17.如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且，，求抛物线的顶点的坐标．【答案】顶点【解析】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质；求出点A、C的坐标，利用待定系数法得出解析式，然后化为顶点式，即可求解．【详解】解：，代入，得，解得，，顶点．18.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系．（1）在坐标系中画出抛物线与直线．（2）根据（1）中所作图象，直接写出方程的根．【答案】（1）图见详解（2）【解析】【分析】本题考查二次函数和一次函数图象即性质，（1）根据二次函数和一次函数的解析式画图即可；（2）找出两个图象的交点即可得到答案．【小问1详解】解：，∴二次函数的对称轴为：，顶点为，当时，，，∴二次函数过点，，，一次函数过点0,4，，∴二次函数和一次函数的图象如下图所示，【小问2详解】解：的解为两个图像的交点，即，，∴．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19.已知某商品的进价为100元/件，销售数量(单位：件)与销售单价(单位：元)之间满足一次函数关系，设该商品的利润为元．（1）求利润关于销售单价的函数解析式．（2）问当销售单价为多少时，利润最大？最大为多少？【答案】（1）（2）当销售单价为150元时，利润最大，最大为2500元【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．（1）根据总利润单件利润销售数量即可得出利润关于销售单价的函数解析式；（2）将二次函数化为顶点式，结合二次函数的性质即可得解．【小问1详解】解：由题意可得；【小问2详解】解：，当销售单价为150元时，利润最大，最大为2500元．20.已知二次函数的图象过点．（1）求二次函数的表达式．（2）若和都是该二次函数图象上的点，且，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）利用待定系数法即可求解；（2）根据图象上点的坐标特征得出，由可知，即可求得，利用二次函数的性质即可求得最小值．【小问1详解】解：二次函数的图象过点，，，二次函数的表达式为；【小问2详解】解：和都是二次函数图象上的点，，.，，，的最小值是．六、(本题满分12分)21.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，若直线与抛物线交于A、C两点，已知C点的横坐标为2．（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）根据图象判断，当x满足什么条件时，？（3）抛物线上有两点，，且，求m的取值范围．【答案】（1）和（2）或（3）【解析】【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的性质，涉及解一元二次方程和解不等式．（1）根据点C的横坐标求得其纵坐标，代入二次函数解析式即可求得点c，令即可求得与x轴交点；（2）结合图象位置关系即可求得；（3）根据题意得求得p和q的表达式以及关系式，解不等式即可；【小问1详解】解：将代入直线得，将代入抛物线，得，解得：c=3，即，令，得，解得或3，则求抛物线与x轴的交点坐标为和；【小问2详解】由图象可得：当或时，；【小问3详解】由题意得，，∵，∴，．七、(本题满分12分)22.植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为的墙，现准备用的篱笆围成矩形花圃，小俊设计了甲、乙两种方案(如图所示)：方案甲中的长不超过墙长；方案乙中的长大于墙长．（1）按图甲的方案，设的长为，矩形的面积为．①求与之间的函数关系式；②求矩形的面积的最大值．（2）甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大？最大是多少？请说明理由．【答案】（1）①；②矩形的面积最大为（2）乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，面积最大