计算专练08 统计的运算 (教师版)-高中数学计算题专练

第13页（共13页）统计的运算一．填空题（共10小题）1．已知一组数据为2.4，2.6，3.3，3.8，4.0，4.1．则这组数据的中位数为3.55．【答案】3.55．【解析】一组数据为2.4，2.6，3.3，3.8，4.0，4.1．这组数据共6个数，且已经按照从小到大的顺序排好，∴这组数据的中位数为第三个数和第四个数的平均数，即3.3+3.82故答案为：3.55．2．从一批棉花中随机抽测了8根棉花的纤维长度（单位：mm），其数据为88，89，76，101，121，89，90，90，则该组数据的第60百分位数为90．【答案】90．【解析】将数据88，89，76，101，121，89，90，90从小到大排列：76，88，89，89，90，90，101，121，由8×0.6＝4.8，故该组数据的第60百分位数为第5个数，即90．故答案为：90．3．某中学田径队有男运动员28人，女运动员21人，按性别进行分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为14的样本，如果样本按比例分配，则男运动员应该抽取的人数为8【答案】8．【解析】某中学田径队有男运动员28人，女运动员21人，抽取一个容量为14的样本，则男运动员应该抽取的人数为14×28故答案为：8．4．为了解体育锻炼情况，随机统计了n名学生在某个时间段内的体育锻炼时间，所得数据都在区间[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．若在区间[50，75）中的频数为30，则n的值是300．【答案】300．【解析】由频率分布直方图可知，在区间[50，75）中的频率为0.004×25＝0.1，所以n=300.1故答案为：300．5．已知某中学高一有学生1000人，其中男生460人，现采用分层抽样的方法从中抽取50人，对他们的身高进行了统计．若男生身高的平均数和方差分别为170.6和12.59，女生身高的平均数和方差分别为160.6和38.62，据此可以估计该校高一年级学生的平均身高是165.2，总体方差为51.5．（答案保留一位小数）【答案】165.2；51.5．【解析】某中学高一有学生1000人，其中男生460人，采用分层抽样的方法从中抽取50人，对他们的身高进行了统计，若男生身高的平均数和方差分别为170.6和12.59，女生身高的平均数和方差分别为160.6和38.62，由题意得，高一男生460人，女生540人，男、女生人数比为：23：27，∴样本中男生23人，女生27人．记男生身高为x1，x2，…，x23，平均数为x，方差为sx女生身高为y1，y2，…，y27，平均数为y，方差为sy记总体平均数为z，方差为s2，则z=根据方差的定义，总体方差为：s2由i=123同理可得：i=1所以s=1=1故答案为：165.2；51.5．6．现利用随机数表法从编号为00，01，02，…，18，19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为14．952260004984012866175168396829274377236627096623925809564389089006482834597414582977814964608925【答案】见试题解答内容【解析】由题意可知，第一支为01，以后依次为17，09，08，06，14，所以第6支水笔的编号为14．故答案为：14．7．某学校统计了所有在职教师（只有一级教师和高级教师）的工资情况，其中一级教师80人，平均工资为4.5千元，方差为0.04，高级教师20人，平均工资为6.5千元，方差为0.44，则该校所有在职教师工资的方差为0.76．【答案】0.76．【解析】根据题意，设该校所有在职教师工资的平均数为x，方差为S2，则有一级教师80人，平均工资为4.5千元，高级教师20人，平均工资为6.5千元，则x=80×4.5+20×6.5则S2=80100[0.04+（4.5﹣4.9）2]+20100[0.44+（6.5﹣4.9）2故答案为：0.76．8．一组数据x1，x2，x3，⋯，xn的平均数为1，方差为5，记20x1+5，20x2+5，20x3+5，⋯，20xn+5的平均数为a，方差为b，则a+b＝2025．【答案】2025．【解析】因为数据x1，x2，x3，⋯，xn的平均数为1，方差为5，所以数据20x1+5，20x2+5，20x3+5，⋯，20xn+5的平均数为a＝20×1+5＝25，方差为b＝202×5＝2000，所以a+b＝2025．故答案为：2025．9．某高三年级组采用随机抽样的方式抽取了20名学生在某次数学周测中解答填空压轴题的时间记录如表：解答时间/分钟[0，5）[5，10）[10，15）[15，20）频数2882根据上表数据估计这20名学生解答时间的平均值为10，中位数为10．【答案】10，10．【解析】由题意，根据上表数据估计这20名学生解答时间的平均值为x=因为解答时间位于区间[0，10）的频率为2+820=1故答案为10，10．10．已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，4，4，6，a，b，12，14，18，20，且总体的平均值为10．则1a+1b的最小值为【答案】见试题解答内容【解析】∵总体的平均值为10，∴2+4+4+6+a+∴a+b＝20，由题意可知，a＞0，b＞0，∴1a+1b=120（a+b）（1a+1b）=120（即1a+1故答案为：15二．解答题（共10小题）11．某房产销售公司从登记购房的客户中随机选取了50名客户进行调查，按他们购一套房的价格（万元）分成6组：（50，100]，（100，150]，（150，200]，（200，250]，（250，300]，（300，350]得到频率分布直方图如图所示．用频率估计概率．房产销售公司每卖出一套房，房地产商给销售公司的佣金如表（单位：万元）：房价区间（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]（300，350]佣金收入123456（1）求a的值；（2）求房产销售公司卖出一套房的平均佣金；（3）若该销售公司平均每天销售4套房，请估计公司月（按30天计）利润（利润＝总佣金﹣销售成本）．该房产销售公司每月（按30天计）的销售成本占总佣金的百分比按下表分段累计计算：月总佣金不超过100万元的部分超过100万元至200万元的部分超过200万元至300万元的部分超过300万元的部分销售成本占佣金比例5%10%15%20%【答案】见试题解答内容【解析】（1）∵（0.002+0.004+a+0.0048+0.0024+0.0008）×50＝1，∴a＝0.006；（2）设卖出一套房的平均佣金为x万元，则x=1×0.002×50+2×0.004×50+3×0.006×50+4×0.0048×50+5×0.0024×50+6×0.0008×50＝3.2（3）总佣金为3.2×4×30＝384万元，月利润为y＝384﹣（100×5%+100×10%+100×15%+84×20%）＝384﹣46.8＝337.2万元，所以公司月利润为337.2万元．12．某房产销售公司从登记购房的客户中随机选取了50名客户进行调查，按他们购一套房的价格（万元）分成6组：（50，100]、（100，150]、（150，200]、（200，250]、（250，300]、（300，350]得到频率分布直方图如图所示．用频率估计概率．房产销售公司卖出一套房，房地产商给销售公司的佣金如表（单位：万元）：每一套房价格区间（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]（300，350]买一套房销售公司佣金收入123456（1）求a的值；（2）求房产销售公司卖出一套房的平均佣金；（3）该房产销售公司每月（按30天计）的销售成本占总佣金的百分比按下表分段累计计算：月总佣金销售成本占佣金比例不超过100万元的部分5%超过100万元至200万元的部分10%超过200万元至300万元的部分15%超过300万元的部分20%若该销售公司平均每天销售4套房，请估计公司月利润（利润＝总佣金﹣销售成本）．【答案】见试题解答内容【解析】（1）由频率分布直方图的性质得：50×（0.0008+0.002+0.0024+0.0040+0.0048+a）＝1，解得a＝0.0060．（2）设卖出一套房的平均佣金为x万元，则x+6×0.0008×50＝3.2．（3）总佣金为3.2×4×30＝384万元，月利润为y＝384﹣（100×5%+100×10%+100×15%+84×20%）＝384﹣46.8＝337.2万元，所以公司月利润为337.2万元．13．在一次数学考试中，数学课代表将他们班50名同学的考试成绩按如下方式进行统计得到如下频数分布表（满分为100分）成绩[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）人数28151546（Ⅰ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图；（Ⅱ）估计该班学生数学成绩的中位数和平均值；（Ⅲ）若按照学生成绩在区间[0，60），[60，80），[80，100）内，分别认定为不及格，及格，优良三个等次，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为5的样本，计算：从该样本中任意抽取2名学生，至少有一名学生成绩属于及格等次的概率．【答案】见试题解答内容【解析】（Ⅰ）频率分布直方图如图所示（Ⅱ）由频率分布直方图可得该班学生数学成绩的中位数为70；该班学生数学成绩的平均值为x=45×0.04+55×0.16+65×0.3+75×0.3+85×0.08+95×0.12=70.8（Ⅲ）由题可得在抽取的5个样本中属于不及格、及格、优良三个等次的个数分别为1、3、1，对应编号分别为A、B1、B2、B3、C，从中任意抽取2名学生的情况有AB1、AB2、AB3、AC、B1B2、B1B3、B1C、B2B3、B2C、B3C，共10种，其中至少有一名学生成绩属于及格等次的情况有9种，∴至少有一名学生成绩属于及格等次的概率为91014．我国采用的PM2.5的标准为：日均值在35微克/立方米以下的空气质量为一级；在35微克/立方米一75微克/立方米之间的空气质量为二级；75微克/立方米以上的空气质量为超标．某城市环保部门随机抽取该市m天的PM2.5的日均值，发现其茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如图所示．请据此解答如下问题：（Ⅰ）求m的值，并分别计算：频率分布直方图中的[75，95）和[95，115]这两个矩形的高；（Ⅱ）通过频率分布直方图估计这m天的PM2.5日均值的中位数（结果保留分数形式）；（Ⅲ）从[75，95）中任意抽取一个容量为2的样本来研究汽车尾气对空气质量的影响，求至少有一个数据在[80，90）之间的概率．【答案】见试题解答内容【解析】（Ⅰ）∵1m∴m＝20，易知，矩形[75，95）的高为9400矩形[95，115）的高为0.01．（Ⅱ）根据频率分布直方图估计可以估计这m天的PM2.5日均值的中位数为75+20（Ⅲ）在[75，95）中共有9个数据，从9个数据中选取2个共有36个，考虑问题的对立面即所取的两数都不在[80，90）之间的基本事件个数为10个，∴所求的概率为P＝1-15．设某厂某月生产某种产品的甲、乙两个组，每人日产量（件）有如下资料：甲组：10203035405060乙组：38394040404142要求计算：（1）各组工人平均日产件数．（2）计算并说明哪个组工人的平均日产量代表性更大些？【答案】（1）甲组工人的平均日产件数为35，乙组工人的平均日产件数为40；（2）乙组数据的平均日产量代表性更大些．【解析】（1）根据题意，甲组工人的平均日产件数为17（10+20+30+35+40+50+60）＝35乙组工人的平均日产件数为17（38+39+40+40+40+41+42）＝40（2）根据题意，甲组工人日产量的方差s12=17[（10﹣35）2+（20﹣35）2+（30﹣35）2+（35﹣35）2+（40﹣35）2+（50﹣35）2+（60﹣35）乙组工人日产量的方差s22=17[（38﹣40）2+（39﹣40）2+（40﹣40）2+（40﹣40）2+（40﹣40）2+（41﹣40）2+（42﹣40由于250＞10则乙组数据的平均日产量代表性更大些．16．我国采用的PM2.5的标准为：日均值在35微克/立方米以下的空气质量为一级；在35微克/立方米到75微克/立方米之间的空气质量为二级；75微克/立方米以上的空气质量为超标．某城市环保部门随机抽取该市m天的PM2.5的日均值，发现其茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如图所示．请据此解答如下问题：（1）求m的值．（2）分别计算：频率分布直方图中的[75，95）和[95，115]这两个矩形的高．【答案】见试题解答内容【解析】（1）根据茎叶图与频率分布直方图，得；1m=0.0025×解得m＝20；（2）根据题意，80～90之间的数据有4个，所以[75，95）对应的矩形高为3+4+220×20=[95，115）对应的矩形高为2+220×20=17．某农科所在同一块试验田种植了A，B两个品种的小麦，成熟后，分别从这两个品种的小麦中均随机选取100份，每份含1千粒小麦，测量其重量（g），按[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55]分为6组（每份重量（g）均在[25，55]内），两个品种小麦的频率分布直方图如图所示，两个品种的小麦千粒重相互独立．（1）求a的值及B品种小麦千粒重的中位数；（2）用频率估计概率，从A，B两个品种的小麦中各抽取一份，估计这两份的重量恰有一个不低于45g的概率．【答案】（1）a＝0.03，B品种千粒重的中位数为43.75g；（2）0.45．【解析】（1）根据题意可得（0.01+a+0.05+0.06+0.04+0.01）×5＝1，解得a＝0.03；因为B品种小麦的前几组频率依次为0.05，0.15，0.4，所以B品种小麦的中位数在（40，45）内，且为40+0.5-0.05-0.150.08=（2）设事件M，N分别表示从A，B两个品种中取出的小麦的千粒重不低于45g，事件C表示两个样本小麦的千粒重恰有一个不低于45g，则C=则P（M）＝（0.04+0.01）×5＝0.25，P（N）＝（0.06+0.02）×5＝0.4，P（N）＝（0.06+0.02）×5＝0.4，又M，N相互独立，所以P＝0.25×（1﹣0.4）+（1﹣0.25）×0.4＝0.45．18．某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．y的分组[﹣0.20，0）[0，0.20）[0.20，0，40）[0.40，0.60）[0.60，0.80）企业数22453147（1）估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业占比；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01）【答案】（1）21%；（2）平均数与标准差的估计值分别为0.30，0.17．【解析】（1）根据产值增长率频数表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业有14+7＝21个，则产值增长率不低于40%的企业为：21100用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%．（2）企业产值增长率的平均数y=产值增长率的方差s=1＝0.0296，∴产值增长率的标准差s=∴这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30，0.17．19．甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击100次，组委会从两人的成绩中各随机抽取5次成绩（满分10分），如下表所示：甲射击成绩10781010乙射击成绩10610109（Ⅰ）分别求出甲、乙两名运动员5次射击成绩的平均数与方差；（Ⅱ）判断哪位运动员的射击成绩更好？【答案】（1）平均数均为9，甲成绩方差为85，乙成绩方差为12（2）甲运动员的射击成绩