2022版全国版中考数学5 3中考总复习2-6.2　图形的相似

§6.2图形的相似五年中考考点1相似与位似的有关概念1.(2021重庆A卷,4,4分)如图,△ABC与△DEF位似,点O是它们的位似中心,其中OE=2OB,则△ABC与△DEF的周长之比是 ()A.1∶2 B.1∶4 C.1∶3 D.1∶9答案A∵△ABC与△DEF位似,∴△OBC∽△OEF,且OBOE=BCEF=12,∴△ABC与△DEF2.(2020辽宁营口,6,3分)如图,在△ABC中,DE∥AB,且CDBD=32,则CECA的值为 A.35 B.23 C.45答案A∵CDBD=32,∴设CD=3x,BD=2x(x>0).∵DE∥AB,∴CECA=CDCB=3x33.(2020重庆A卷,8,4分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别是A(1,2),B(1,1),C(3,1),以原点为位似中心,在原点的同侧画△DEF,使△DEF与△ABC成位似图形,且相似比为2∶1,则线段DF的长度为 ()A.5 B.2 C.4 D.25答案D由题可知:AB=1,BC=2,AC=AB2+BC2=12+22=5,因为△DEF与△ABC成位似图形,且相似比为2∶1,4.(2020四川成都,9,3分)如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC和DF被l1,l2,l3所截,AB=5,BC=6,EF=4,则DE的长为()A.2 B.3 C.4 D.10答案D∵l1∥l2∥l3,∴由平行线分线段成比例可得DEEF=AB∵AB=5,BC=6,EF=4,∴DE4=56,∴DE=56×4=1035.(2020宁夏,17,6分)在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(4,1),C(1,1).(1)画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1;(2)画出△ABC以点O为位似中心,位似比为1∶2的△A2B2C2.解析(1)正确画出△A1B1C1如图. (3分)(2)正确画出△A2B2C2如图. (6分)考点2相似三角形的性质与判定1.(2020广西北部湾经济区,9,3分)如图,在△ABC中,BC=120,高AD=60,正方形EFGH一边在BC上,点E,F分别在AB,AC上,AD交EF于点N,则AN的长为 ()A.15 B.20 C.25 D.30答案B在正方形EFGH中,EF∥HG,EF=EH,易证AN⊥EF,所以EH=ND,令AN=x,则EF=EH=ND=60-x,由EF∥HG可得△AEF∽△ABC,故ANAD=EFBC,即x60=60-x120,解得2.(2020海南,12,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,点E、F在AD边上,BF和CE交于点G,若EF=12AD,则图中阴影部分的面积为 (A.25 B.30 C.35 D.40答案C如图,过点G作GP⊥BC于P,延长PG交EF于Q,∵AD∥BC,∴△EFG∽△CBG,∴PG∶GQ=BC∶EF=AD∶12AD=2∶1又∵PQ=AB=6,∴PG=4,GQ=2,∴S△BCG=12×10×4=20,S△EFG=12∵S矩形ABCD=6×10=60,∴S阴影=60-20-5=35.故选C.3.(2020云南,11,4分)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,则△DEO与△BCD的面积的比等于 ()A.12 B.14 C.16答案B在▱ABCD中,BO=DO,E是CD的中点,∴OE∥BC,OE=12BC,∴△DOE∽△DBC,∴S△DEOS△BCD=OE4.(2021吉林,13,3分)如图,为了测量山坡的护坡石坝高,把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁,量出竿上AD长为1m时,它离地面的高度DE为0.6m,则坝高CF为m.

答案2.7解析∵DE∥CF,∴∠DEA=∠CFA=90°.又∵∠DAE=∠CAF,∴△ADE∽△ACF,∴ADAC=DE∵AD=1m,AC=4.5m,DE=0.6m,∴14.5=0.6CF,∴CF5.(2021内蒙古包头,17,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点B作BD⊥CB,垂足为B,且BD=3,连接CD,与AB相交于点M,过点M作MN⊥CB,垂足为N.若AC=2,则MN的长为.

答案6解析∵MN⊥BC,∴∠MNB=∠MNC=90°,∴∠MNB=∠ACB=90°.又∵∠MBN=∠ABC,∴△MNB∽△ACB,∴MNAC=BNBC,∴MN2=BNBC,∴∵BD⊥CB,∴∠DBC=90°,∴∠MNC=∠DBC=90°.又∵∠MCN=∠DCB,∴△MNC∽△DBC,∴MNDB=CNCB,∴MN3∴MN=3CNCB,则2BN∴BN=32CN∴BC=BN+CN=32CN+CN=52故MN=3CNCB=3CN6.(2021云南,12,3分)如图,在△ABC中,点D,E分别是BC,AC的中点,AD与BE相交于点F,若BF=6,则BE的长是.

答案9解析在△ABC中,∵点D,E分别是BC,AC的中点,DE=12AB,∴DE∥AB∴△DEF∽△ABF,∴DEAB=EFBF=12,∴EF=1∴BE=BF+EF=9.7.(2021四川南充,15,4分)如图,在△ABC中,D为BC上一点,BC=3AB=3BD,则AD∶AC的值为.

答案3解析∵BC=3AB=3BD,∴BCAB=ABBD=3,又∠B=∠B,∴△ABC∽△∴ADAC=ABBC=解题关键根据BC=3AB=3BD推导出△ABC∽△DBA是解答本题的关键.8.(2021湖北黄冈,18,7分)如图,在△ABC和△DEC中,∠A=∠D,∠BCE=∠ACD.(1)求证:△ABC∽△DEC;(2)若S△ABC∶S△DEC=4∶9,BC=6,求EC的长.解析(1)∵∠BCE=∠ACD,∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE,即∠DCE=∠ACB.又∵∠A=∠D,∴△ABC∽△DEC.(2)∵△ABC∽△DEC,∴S△ABC∶S△DEC=BC2∶CE2.又∵S△ABC∶S△DEC=4∶9,BC=6,∴CE=9.9.(2021江苏南京,20,8分)如图,AC与BD交于点O,OA=OD,∠ABO=∠DCO,E为BC延长线上一点,过点E作EF∥CD,交BD的延长线于点F.(1)求证:△AOB≌△DOC;(2)若AB=2,BC=3,CE=1,求EF的长.解析(1)证明:在△AOB和△DOC中,∠∴△AOB≌△DOC(AAS).(2)由(1)得△AOB≌△DOC,∴AB=DC=2,∵BC=3,CE=1,∴BE=BC+CE=4,∵EF∥CD,∴△BCD∽△BEF,∴DCFE=BCBE,即2EF=34,解得10.(2021浙江杭州,23,12分)如图,锐角三角形ABC内接于☉O,∠BAC的平分线AG交☉O于点G,交BC边于点F,连接BG.(1)求证:△ABG∽△AFC;(2)已知AB=a,AC=AF=b,求线段FG的长(用含a,b的代数式表示);(3)已知点E在线段AF上(不与点A,点F重合),点D在线段AE上(不与点A,点E重合),∠ABD=∠CBE,求证:BG2=GE·GD.解析(1)证明:因为AG平分∠BAC,所以∠BAG=∠FAC.又因为∠G=∠C,所以△ABG∽△AFC.(2)由(1),知ABAF=AG因为AC=AF=b,所以AG=AB=a,所以FG=AG-AF=a-b.(3)因为∠CAG=∠CBG,∠BAG=∠CAG,所以∠BAG=∠CBG.因为∠ABD=∠CBE,所以∠BDG=∠BAG+∠ABD=∠CBG+∠CBE=∠EBG.又因为∠DGB=∠BGE,所以△DGB∽△BGE,所以GDBG=BG所以BG2=GE·GD.三年模拟A组基础题组一、选择题(每小题3分,共12分)1.(2021黑龙江哈尔滨松北一模,10)如图,在△ABC中,点D在AB边上,点E在BC边上,过点D作DG∥BC,交AC于点G,过点E作EH∥AB,交AC于点H,DG的延长线与EH的延长线交于点F,则下列式子一定正确的是()A.ADBD=DGBC B.GFC.FHAD=GHAG D.HE答案C∵DG∥BC,∴ADAB=DGBC,故A选项错误;∵DG∥BC,∴GFEC=GHHC,故B选项错误;∵EH∥AB,∴FHAD=GHAG,故C选项正确;∵EH∥AB,∴HEAB=EC2.(2021辽宁大连甘井子一模,8)如图,矩形AOBC各点的坐标分别为A(0,3),O(0,0),B(4,0),C(4,3),以原点O为位似中心,将这个矩形缩小为原来的12,则点C对应点的坐标是 (A.2,32C.(-4,-3) D.2,3答案D∵以原点O为位似中心,将矩形AOBC缩小为原来的12,C(4,3∴点C对应点的坐标为12×4,12×3或-12×4即2,32故选D.3.(2021重庆渝中二调,9)如图,已知矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形,点P是位似中心,若点B、F的坐标分别为(4,3)、(-2,1),则点P的坐标为 ()A.0,23 B.(0,1) C.0答案D∵点B、F的坐标分别为(4,3)、(-2,1),∴EF=2,AB=4,AE=3-1=2,∵矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形,∴EF∥AB,∴△EPF∽△APB,∴EPAP=EFAB,即EP2解得EP=23,∴OP=1+23=则点P的坐标为0,故选D.4.(2021黑龙江哈尔滨平房二模,10)如图,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC边上的点,且DE∥BC,BE交DC于点O,连接AO并延长交DE于点G,交BC边于点F,则下列结论中一定正确的是 ()A.ADAB=AEEC B.AGC.ODOC=AEAC D.AG答案C∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,△DEO∽△CBO.∴DEBC=AEAC,DEBC=ODOC.∴故选C.二、填空题(每小题3分,共12分)5.(2021辽宁葫芦岛龙港一模,11)两个相似三角形对应角平分线的比为4∶3,那么这两个三角形的面积的比是.

答案16∶9解析∵两个相似三角形对应角平分线的比为4∶3,∴它们的相似比为4∶3,∴它们的面积比为16∶9.6.(2020辽宁鞍山铁东一模,13)如图,在平面直角坐标系第一象限中,线段AB、CD是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为13,AB⊥x轴,点A、点C在x轴上,AC=CD=6,则B点坐标为答案(3,2)解析由题意得,△OAB∽△OCD,相似比为13∴OAOC=ABCD=13,即OAOA+6解得OA=3,AB=2,∵B点在第一象限,∴B点坐标为(3,2).7.(2021四川成都青羊二诊,14)如图,线段AB=10cm,用尺规作图法按如下步骤作图:(1)过点B作AB的垂线,并在垂线上取BC=12AB(2)连接AC,以点C为圆心,CB为半径画弧,交AC于点E,以点A为圆心,AE为半径画弧,交AB于点D,则点D为线段AB的黄金分割点.那么线段AD的长度约为cm.(结果保留两位小数,参考数据:2≈1.414,3≈1.732,5≈2.236)

答案6.18解析由作图得△ABC为直角三角形,AE=AD,BC=CE,∴AC=BC2+AB∴AD=AE=55-5≈6.18(cm).8.(2021吉林长春宽城一模,12)如图,在△ABC中,点D在AB上,点E在AC上,∠ADE=∠C,四边形DBCE的面积是△ADE面积的3倍.若DE=1.5,则BC的长为.

答案3解析∵∠ADE=∠C,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,∵四边形DBCE的面积是△ADE面积的3倍,∴S△ABC=S△ADE+3S△ADE=4S△ADE,∴S△ADES△ACB=14∴BC=2DE=3.三、解答题(共21分)9.(2021江西南昌一模,14)如图,在△ABC中,点D在AB边上,∠ABC=∠ACD.(1)求证:△ABC∽△ACD;(2)若AD=2,AB=8,求AC的长.解析(1)证明:∵∠ABC=∠ACD,∠A=∠A,∴△ABC∽△ACD.(2)∵△ABC∽△ACD,∴ACAD=ABAC,即AC2∴AC=4.10.(2020北京朝阳一模,19)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AC于点E.求证:∠BAD=∠CDE.证明∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵AD⊥BC,DE⊥AC,∴∠ADB=∠DEC=90°,∴△ADB∽△DEC,∴∠BAD=∠CDE.11.(2020上海静安一模,23)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC与BD相交于点O,点E在线段OB上,AE的延长线与BC相交于点F,OD2=OB·OE.(1)求证:四边形AFCD是平行四边形;(2)如果BC=BD,AE·AF=AD·BE,求证:△ABE∽△ACD.证明(1)∵OD2=OB·OE,∴OEOD=OD∵AD∥BC,∴△AOD∽△COB,∴OAOC=ODOB,∴OAOC=OEOD,又AD∥CF,∴四边形AFCD是平行四边形.(2)∵AF∥CD,∴∠AED=∠BDC,△BEF∽△BDC,∴BEBD=BF∵BC=BD,∴BE=BF,∠BDC=∠BCD,∴∠AED=∠BCD.∵∠AEB=180°-∠AED,∠ADC=180°-∠BCD,∴∠AEB=∠ADC.∵AE·AF=AD·BE,∴AEBE=AD∵四边形AFCD是平行四边形,∴AF=CD,∴AEBE=ADDC,又∠AEB=∠∴△ABE∽△ACD.B组提升题组一、选择题(每小题3分,共12分)1.(2021黑龙江哈尔滨道里一模,10)如图,点D,F在△ABC的边AB上,点E,G分别在AC,BC上,DE与FG交于点H,DE∥BC,FG∥AC,则下列结论不正确的是 ()A.ADDB=AEEC B.FDC.FHHG=BDDF D.AD答案C∵DE∥BC,∴ADDB=AEEC,A选项正确,∵DH∥BG,∴FDDB=FHHG,∵DE∥BC,FG∥AC,∴四边形HGCE为平行四边形,∴HG=EC,∴FDDB=FHEC,B由B选项可知,C选项错误,符合题意;∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴ADDE=ABBC,D选项正确,故选C.2.(2021吉林长春绿园一模,7)如图,在△ABC中,CD,BE分别是△ABC的边AB,AC上的中线,则S△DEFS△BCFA.25 B.12 C.13答案D∵CD,BE分别是△ABC的边AB,AC上的中线,∴D是AB的中点,E是AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,DE=12BC,∴△DEF∽△CBF,∴S△DEFS△BCF=3.(2020四川巴中5月模拟,9)如图,DE是△ABC的中位线,M是DE的中点,CM的延长线交AB于点N,则NM∶MC等于 ()A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶5答案B∵DE是△ABC的中位线,M是DE的中点,∴DM∥BC,DM=ME=14∴△NDM∽△NBC,∴DMBC=NMCN=∴NMMC=13.4.(2019甘肃定西一诊,9)如图是小孔成像原理的示意图,根据图中所标注的尺寸,这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是 ()A.16cm B.13cm C.12cm 答案D如图,过O作直线OE⊥AB于E,EO的延长线交CD于F.依题意知AB∥CD,∴OF⊥CD.易知OE=12cm,OF=2cm,∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD,由相似三角形的性质知OEOF=ABCD,即122=6CD,∴CD=1二、填空题(每小题3分,共12分)5.(2021辽宁葫芦岛龙港一模,17)如图,在▱ABCD中,延长CD至点E,使DE=DC,连接BE与AC交于点F,则BFFE的值是答案1解析在▱ABCD中,AB∥CD,AB=CD,∵DE=DC,∴AB=CD=DE=12CE∵AB∥CD,∴△ABF∽△CEF,∴BFFE=ABCE=6.(2020上海黄浦一模,15)如图,将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上,其截面可看作一个宽BC=6cm,长CD=16cm的矩形.当水面触到杯口边缘时,边CD恰有一半露出水面,那么此时水面高度是cm.

答案9.6解析如图所示,作BE与桌面垂直,垂足为点E,由题意可得,CF=12CD=8cm故BF=FC2+BC2易知∠CFB=∠BAE,∠C=∠AEB,故△BFC∽△BAE,∴BCBE=BFAB,即6BE解得BE=9.6cm.故此时水面的高度为9.6cm.7.(2021福建龙岩二诊,15)将含30°角且大小不等的两个三角板按如图摆放,使直角顶点重合,连接AE、BD,则AEBD=答案3解析∵△EDC与△ACB为两个直角三角形,且∠DEC=∠BAC=30°,∠ACB=∠ECD=90°,∴∠ACB+∠DCA=∠ECD+∠DCA,∴∠DCB=∠ECA,在Rt△ACB中,tan30°=BCAC在Rt△ECD中,tan30°=DCEC∴BCAC=DCEC,∴△ECA∽△∴AEBD=AC在Rt△ACB中,ACBC=tan∠ABC=tan60°=38.(2021天津滨海一模,17)如图,△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,AD平分∠CAB,过点B作BE⊥AB,与AD的延长线相交于点E.若CA=1,则BE的长等于.

答案2-2解析过D作DF⊥AB于F,∵∠ACB=90°,CA=CB,∴∠ABC=45°,∴△DBF是等腰直角三角形,∴DF=BF,∵DC⊥AC,DF⊥AB,AD平分∠CAB,∴CD=