2020-2021学年湖北省武汉市黄陂区八年级下学期期中数学试题及答案

2020-2021学年湖北省武汉市黄陂区八年级下学期期中数学试题及答案一、选择题（每小题3分，共30分）1若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3 B．x＞3 C．x＜3 D．x≤32下列各式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．3若平行四边形两个内角的度数比为1：2，则其中较大内角的度数为（）A．100° B．110° C．120° D．135°4下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（）A．2，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，65下列计算错误的是（）A．3+2＝5 B．÷2＝ C．×＝ D．＝6如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC B．∠ABC＝∠ADC，AB∥CD C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥CD，AD＝BC7如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝6cm，则四边形CODE的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．128已知a，b，c在数轴上的位置如图，化简的结果为（）A．﹣a﹣b+2c B．﹣a﹣b C．﹣a+b D．a+b9如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410将一张矩形纸片MNPQ按如下操作折叠：第一步，在矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形MNAB；第二步，如图2，把这个正方形沿CD折成两个全等的矩形，再把纸展平；第三步，折出内侧矩形ABCD的对角线BD，并把BD折到图3中的DE处；第四步，展平纸片，按所得的点E折出EF，即得到矩形AEFB，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题（每小题3分，共18分）11化简：＝；＝；（2）2＝．12若，则x的取值范围是．13木工师傅要做扇长方形纱窗，做好后量得长为6分米，宽为4分米，对角线为7分米，则这扇纱窗（填“合格”或“不合格”）．14如图，延长矩形ABCD的边BC至E，使CE＝BD，连接AE，若∠ADB＝40°，则∠E的度数为．15如图，将矩形纸片ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，E，F分别在AB，CD上，下列结论：①△ECF为等腰三角形；②若AB＝2BC，则AE：BE＝5：3；③若△ECF为等边三角形，则AB＝1.5BC；④延长GF，则GF必经过点A．其中正确的结论有（填写序号）．16如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，∠EAF＝60°．若AE＝3，AF＝4，则AB的长为．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。17计算（1）；（2）．18化简求值：+﹣2，其中a＝．19如图，E、F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形．20如图，点A，B，C均为格点，请用无刻度直尺完成作图，画图过程用虚线，画图结果用实线表示，请按步骤完成下列问题．（1）在AB的上方找一个格点D，使∠ABD＝45°；（2）在边AB上画点E，使∠AEC＝45°；（3）将线段DC平移到EF，使点D与点E重合．21如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB交CD于E，连接BE，∠AEB＝90°．（1）求证：E为CD的中点；（2）点F为AE的中点，连接CF，交BE于点G，求的值．22如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝24cm，AD＝6cm，CD＝28cm．点P从点A出发，以2cm/秒的速度向点B运动；点Q从点C出发，以4cm/秒的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒．（1）若P，Q两点同时出发．①当四边形APQD为矩形时，直接写出t的值为．②若PQ＝BC，求t的值；（2）若P点先运动2秒后停止运动．此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为时（直接写出结果）△DPQ为直角三角形．23[问题背景]点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，试判断BE，EF，DF之间的数量关系．小茗同学的思路是过点A作AG⊥AE，交CD的延长线于点G，如图1，通过这种证明方法，可发现上述三条线段的数量关系为（直接写出结果）．[变式迁移]如图2，在平行四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，点E，F分别在BC，CD上．若∠EAF＝60°，BE＝1，DF＝2．①直接写出CD的长为；②连接EF，求EF的长．[拓展应用]如图3，在△ABD中，AD＝，∠BAC＝60°，∠ADB＝30°，AC＝CD，直接写出BC的长为．24如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），C（6，2），连接AB，BC，平移BC至AD（点B与点A对应，点C与点D对应），连接CD．（1）①直接写出点D的坐标为．②判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论；（2）如图1，点E为AB边上一点，连接DE，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF．若∠DFE＝45°，求BE的长；（3）如图2，N为BC边的中点．若∠AMC＝90°，连接MN，请直接写出MN的取值范围．

参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3 B．x＞3 C．x＜3 D．x≤3【考点】二次根式有意义的条件．【专题】存在型．【答案】A【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴x﹣3≥0，解得x≥3．故选：A．2下列各式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【考点】最简二次根式．【专题】二次根式；运算能力．【答案】A【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、是最简二次根式；B、＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；C、＝＝3，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；D、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；故选：A．3若平行四边形两个内角的度数比为1：2，则其中较大内角的度数为（）A．100° B．110° C．120° D．135°【考点】平行四边形的性质．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【答案】C【分析】设较大内角为2x，较小内角为x，由平行四边形的性质列出等式可求解．【解答】解：∵平行四边形两个内角的度数比为1：2，∴设较大内角为2x，较小内角为x，∴2x+x＝180°，∴x＝60°，∴2x＝120°，故选：C．4下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（）A．2，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6【考点】勾股定理的逆定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】C【分析】分别把选项中的三边平方后，根据勾股定理逆定理即可判断能否构成直角三角形．【解答】解：A、∵22+22≠32，∴2，2，3不能构成直角三角形；B、∵22+32≠42，∴2，3，4不能构成直角三角形；C、∵32+42＝52，∴3，4，5能构成直角三角形；D、∵42+52≠62，∴4，5，6不能构成直角三角形．故选：C．5下列计算错误的是（）A．3+2＝5 B．÷2＝ C．×＝ D．＝【考点】二次根式的混合运算．【答案】A【分析】利用二次根式加减乘除的运算方法逐一计算得出答案，进一步比较选择即可．【解答】解：A、3+2不能再进一步运算，此选项错误；B、÷2＝，此选项计算正确；C、×＝，此选项计算正确；D、﹣＝2﹣＝．此选项计算正确．故选：A．6如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC B．∠ABC＝∠ADC，AB∥CD C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥CD，AD＝BC【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【答案】D【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；B、∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝180°，又∵∠ABC＝∠ADC，∴∠BAD＝∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；C、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；D、∵AB∥CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是等腰梯形或平行四边形，故选项D符合题意；故选：D．7如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝6cm，则四边形CODE的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】矩形的性质．【答案】D【分析】由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC＝OD＝3，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝6，OA＝OC，OB＝OD，∴OD＝OC＝AC＝3，∴四边形CODE是菱形，∴四边形CODE的周长为＝4OC＝4×3＝12．故选：D．8已知a，b，c在数轴上的位置如图，化简的结果为（）A．﹣a﹣b+2c B．﹣a﹣b C．﹣a+b D．a+b【考点】实数与数轴；二次根式的性质与化简．【专题】二次根式；符号意识．【答案】B【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：由数轴可得：a+c＜0，c﹣b＞0，故原式＝﹣a﹣c+c﹣b＝﹣a﹣b．故选：B．9如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．【答案】C【分析】先求出每边的平方，得出AB2+AC2＝BC2，AD2+CD2＝AC2，BD2+AB2＝AD2，根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可．【解答】解：理由是：连接AC、AB、AD、BC、CD、BD，设小正方形的边长为1，由勾股定理得：AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，AD2＝12+32＝10，BC2＝52＝25，CD2＝12+32＝10，BD2＝12+22＝5，∴AB2+AC2＝BC2，AD2+CD2＝AC2，BD2+AB2＝AD2，∴△ABC、△ADC、△ABD是直角三角形，共3个直角三角形，故选：C．10将一张矩形纸片MNPQ按如下操作折叠：第一步，在矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形MNAB；第二步，如图2，把这个正方形沿CD折成两个全等的矩形，再把纸展平；第三步，折出内侧矩形ABCD的对角线BD，并把BD折到图3中的DE处；第四步，展平纸片，按所得的点E折出EF，即得到矩形AEFB，则的值为（）A． B． C． D．【考点】全等图形；翻折变换（折叠问题）．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】D【分析】设AD＝ND＝x，则AN＝AD+ND＝2x，在Rt△BCD中，利用勾股定理求得：BD＝x，用含x的代数式表示出AB和AE的长即可．【解答】解：在图2中，∠BCD＝90°，设AD＝ND＝x，则AN＝AD+ND＝2x，在图1中，可知AN＝AB＝2x，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝，由图3可知，BD＝DE＝x，∴AE＝DE﹣AD＝x﹣x，∴＝，故选：D．二、填空题（每小题3分，共18分）11化简：＝；＝；（2）2＝．【考点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法．【专题】二次根式；运算能力．【答案】3，，12．【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：＝3；＝；（2）2＝12．故答案为：3，，12．12若，则x的取值范围是．【考点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法．【专题】二次根式；符号意识．【答案】x＞1．【分析】直接利用二次根式的性质结合一元一次不等式的解法得出答案．【解答】解：∵，∴x≥0且x﹣1＞0，解得：x＞1．故答案为：x＞1．13木工师傅要做扇长方形纱窗，做好后量得长为6分米，宽为4分米，对角线为7分米，则这扇纱窗（填“合格”或“不合格”）．【考点】勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用勾股定理逆定理分析得出答案．【解答】解：∵42+62＝52≠72＝49，∴这扇纱窗不是直角，故不合格．故答案为：不合格．14如图，延长矩形ABCD的边BC至E，使CE＝BD，连接AE，若∠ADB＝40°，则∠E的度数为．【考点】矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】20°．【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E＝∠DAE、BD＝AC＝CE，知∠E＝∠CAE，而∠ADB＝∠CAD＝40°，可得∠E度数．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝40°，∴∠E＝∠DAE，又∵BD＝CE，∴CE＝CA，∴∠E＝∠CAE，∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E＝40°，即∠E＝20°．故答案为：20°．15如图，将矩形纸片ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，E，F分别在AB，CD上，下列结论：①△ECF为等腰三角形；②若AB＝2BC，则AE：BE＝5：3；③若△ECF为等边三角形，则AB＝1.5BC；④延长GF，则GF必经过点A．其中正确的结论有（填写序号）．【考点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．【答案】①②④．【分析】根据矩形性质CD∥AB，∠B＝90°，利用翻折变换的性质AE＝CE，∠GFE＝∠DFE，∠AEF＝∠CEF，在Rt△BCE中结合勾股定理，分别判断各个选项是否正确．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠CFE＝∠AEF，∵矩形纸片ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，∴∠AEF＝∠CEF，AE＝CE＝∠CFE，∴△ECF为等腰三角形，∴选项①符合题意；若AB＝2BC，设BC＝m，BE＝x，则AB＝2m，AE＝CE＝2m﹣x，在Rt△BCE中，m2+x2＝（2m﹣x）2，解得x＝m，∴BE＝m，AE＝2m﹣m＝m，∴AE：BE＝5：3，∴选项②符合题意；若△ECF为等边三角形，则∠ECF＝60°，∴∠ECB＝30°，在Rt△ECB中，∠ECB＝30°，设BE＝a，则CE＝2a，BC＝，∴AB＝AE+BE＝3a，BC＝a，∴AB：BC＝，∴选项③不符合题意；连接AF，如图，由①知CE＝CF，∴CE＝CF＝AF＝AE，∴四边形AECF为菱形，∴∠AFE＝∠AEF，∵∠GFE＝∠DFE，∴∠GFE+∠AFE＝∠DFE+∠AEF＝180°，∴点A，F，G三点共线，∴选项④符合题意；故答案为①②④．16如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，∠EAF＝60°．若AE＝3，AF＝4，则AB的长为．【考点】平行四边形的性质．【专题】推理填空题；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．【答案】．【分析】延长AE交DC延长线于M点，过M点作MN⊥AF于N点，先证明△ABE≌△MCE，得到AM＝2AE＝6，然后在Rt△AMN中，利用30°直角三角形的性质和勾股定理可求AN＝3，MN＝3，然后在Rt△MNF中利用勾股定理求出MF值，依据MF＝AB，则AB值可求．【解答】解：延长AE交DC延长线于M点，过M点作MN⊥AF于N点，∵E点为BC中点，∴BE＝CE．∵AB∥DM，∴∠B＝∠ECM．又∠AEB＝∠MEC，∴△ABE≌△MCE（ASA）．∴CM＝AB，AE＝ME＝3，∴AM＝2AE＝6．在Rt△AMN中，∠MAN＝60°，所以∠AMN＝30°，∴AN＝AM＝3，MN＝＝＝3，∴NF＝AF﹣AN＝4﹣3＝1．在Rt△MNF中，利用勾股定理可得MF＝＝＝2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，又F为CD中点，∴CF＝CD＝AB．∴MF＝MC+CF＝AB．所以AB＝2，解得AB＝．故答案为．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。17计算（1）；（2）．【考点】二次根式的混合运算．【专题】二次根式；运算能力．【答案】（1）﹣3；（2）8【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算；（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．【解答】解：（1）原式＝﹣＝﹣3；（2）原式＝6﹣2+4＝8．18化简求值：+﹣2，其中a＝．【考点】二次根式的化简求值．【专题】二次根式；运算能力．【答案】化简的结果为（3a﹣1），当a＝时，原式＝．【分析】先把各二次根式化简，再合并，然后把a的值代入计算即可．【解答】解：原式＝3a+4﹣5＝（3a﹣1），当a＝时，原式＝（﹣1）×＝×＝．19如图，E、F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形．【考点】平行四边形的判定与性质．【答案】见试题解答内容【分析】连接AC，交BD于点O，由“平行四边形ABCD的对角线互相平分”得到OA＝OC，OB＝OD；然后结合已知条件证得OE＝OF，则“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，即可得出结论．【解答】证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．20如图，点A，B，C均为格点，请用无刻度直尺完成作图，画图过程用虚线，画图结果用实线表示，请按步骤完成下列问题．（1）在AB的上方找一个格点D，使∠ABD＝45°；（2）在边AB上画点E，使∠AEC＝45°；（3）将线段DC平移到EF，使点D与点E重合．【考点】作图﹣平移变换．【专题】作图题；几何直观．【答案】（1）（2）（3）作图见解析部分．【分析】（1）取格点D，连接BD，AD，构造等腰直角三角形解决问题．（2）取格点P，连接PC交AB于点E，点E即为所求作．（3）取格点Q，C，G，连接PG，QT交于点F，连接EF，线段EF即为所求作．【解答】解：（1）如图，点D即为所求作．（2）如图，点E即为所求作．（3）如图，线段EF即为所求作．21如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB交CD于E，连接BE，∠AEB＝90°．（1）求证：E为CD的中点；（2）点F为AE的中点，连接CF，交BE于点G，求的值．【考点】平行四边形的性质．【专题】证明题；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．【答案】（1）证明过程请看解答；（2）．【分析】（1）延长AD和BE交于点Q，根据已知条件证明△AEQ≌△AEB，可得EQ＝EB，再证明△DEQ≌△CEB，即可得结论；（2）延长CF和BA交于点M，结合（1）利用平行线分线段成比例定理即可得结果．【解答】（1）证明：如图，延长AD和BE交于点Q，∵AE平分∠DAB，∴∠QAE＝∠BAE，∵∠AEQ＝∠AEB＝90°．在△AEQ和△AEB中，，∴△AEQ≌△AEB（ASA），∴EQ＝EB，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠Q＝∠CBE，∠QDE＝∠BCE，在△DEQ和△CEB中，，∴△DEQ≌△CEB（AAS），∴ED＝EC，∴E为CD的中点；（2）解：如图，延长CF和BA交于点M，∵点F为AE的中点，∴EF＝AF，∵DC∥AB，∴＝＝1，∴CE＝AM，∵E为CD的中点，∴CE＝CD＝AB，∴AM＝AB，∴BM＝AM+AB＝AB，∵CD∥AB，∴＝＝＝．22如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝24cm，AD＝6cm，CD＝28cm．点P从点A出发，以2cm/秒的速度向点B运动；点Q从点C出发，以4cm/秒的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒．（1）若P，Q两点同时出发．①当四边形APQD为矩形时，直接写出t的值为．②若PQ＝BC，求t的值；（2）若P点先运动2秒后停止运动．此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为时（直接写出结果）△DPQ为直角三角形．【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；分类讨论；数据分析观念．【答案】（1）①；②t＝4或；（2）6秒或秒．【分析】（1）①四边形APQD为矩形，则AP＝DQ，则2t＝28﹣4t，即可求解；②BC2＝BH2+CH2，而PN＝24﹣2t﹣（4t﹣4）＝28﹣6t，故PQ2＝PN2+QN2＝（28﹣6t）2+36，而PQ＝BC，即（28﹣6t）2+36＝52，即可求解；（2）当t＝2时，AP＝4，∠PDQ不可能为直角；当∠DQP为直角时，AP＝DQ＝4，则CQ＝28﹣4＝24，则t＝＝6；当∠DPQ为直角时，证明△DPM∽△DQM，则PM2＝DM•QM，即62＝4•MQ，解得MQ＝9，进而求解．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠A＝∠D＝90°，由题意得，CQ＝4t，AP＝2t，∴DQ＝28﹣4t，BP＝24﹣2t；①∵四边形APQD为矩形，∴AP＝DQ，∴2t＝28﹣4t，解得t＝，故答案为；②如图1，作QN⊥AB于点N，作BH⊥CO于点H，则四边形BHQN为矩形，四边形ADHB为矩形，∴CH＝CD﹣AB＝28﹣24＝4，BH＝6，∴BC2＝BH2+CH2＝36+16＝52，则QN＝6，PN＝AB﹣AP﹣BN，∴PN＝24﹣2t﹣（4t﹣4）＝28﹣6t，∴PQ2＝PN2+QN2＝（28﹣6t）2+36，∵PQ＝BC，∴（28﹣6t）2+36＝52，解得t＝4或；（2）当t＝2时，AP＝4，则∠PDQ不可能为直角，当∠DQP为直角时，AP＝DQ＝4，则CQ＝28﹣4＝24，∴t＝＝6；当∠DPQ为直角时，如图2，过点P作PM⊥CD于点M，则DM＝4，∴△DPM∽△DQM，∴，即PM2＝DM•QM，∴62＝4•MQ，解得MQ＝9，∴t＝＞2，综上，t＝6秒或秒时，△DPQ为直角三角形，故答案为：6秒或秒．23[问题背景]点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，试判断BE，EF，DF之间的数量关系．小茗同学的思路是过点A作AG⊥AE，交CD的延长线于点G，如图1，通过这种证明方法，可发现上述三条线段的数量关系为（直接写出结果）．[变式迁移]如图2，在平行四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，点E，F分别在BC，CD上．若∠EAF＝60°，BE＝1，DF＝2．①直接写出CD的长为；②连接EF，求EF的长．[拓展应用]如图3，在△ABD中，AD＝，∠BAC＝60°，∠ADB＝30°，AC＝CD，直接写出BC的长为．【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【答案】[问题背景]BE+DF＝EF．[变式迁移]①3．②．[拓展应用]．【分析】[问题背景]根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF＝BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可．[变式迁移]如图2，①连接AC，证明△BAE≌△CAF（ASA），推出CE＝CF＝1，可得结论．②过点F作FT⊥BC交BC的延长线于T．解直角三角形求出ET，TF，再利用勾股定理求解即可．[拓展应用]证明△ABC是等边三角形，∠BAD＝90°，可得结论．【解答】[问题背景]解：如图1中，结论：BE+DF＝EF．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠ADC＝∠ADG＝∠BAD＝90°，∵AG⊥AE，∴∠EAG＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，在△ADG和△ABE中，∴△ADG≌△ABE（ASA）．∴AE＝AG，BE＝DG，∵∠EAF＝45°，∴∠FAE＝∠FAG＝45°，在△AFG和△AFE中，，∴△AFG≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，又∵DG＝BE，∴GF＝BE+DF，∴BE+DF＝EF．故答案为：BE+DF＝EF．[变式迁移]解：①如图2中，连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠DAC＝60°，∵AB＝BC＝CD＝AD，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠ACD＝60°，∵∠EAF＝∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF（ASA），∴CE＝CF＝1，∴DF＝2，∴CD＝CF+DF＝1+2＝3．故答案为：3．②过点F作FT⊥BC交BC的延长线于T．∵BC＝CD＝3，BE＝1，∴EC＝BC﹣BE＝2，在Rt△TCF中，∠FCT＝60°，∠FTC＝90°，∴∠CFT＝30°，∴CT＝CF＝，FT＝，∴ET＝2+＝，∴EF＝＝＝．[拓展应用]解：如图3中，∵CA＝CD，∴∠D＝∠CAD＝30°，∴∠ACB＝∠D+∠CAD＝60°，∵∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠D＝90°，∴AB＝AD•tan30°＝，∴BC＝AB＝．故答案为：．24如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），C（6，2），连接AB，