2020-2021学年湖北省武汉市青山区八年级下学期期中数学试题及答案

2020-2021学年湖北省武汉市青山区八年级下学期期中数学试题及答案一、你一定能选对!（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上将对应的答案标号涂黑.1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．2．在实数范围内有意义，则a的取值范围（）A．a≥3 B．a≤3 C．a≥﹣3 D．a≤﹣33．矩形和菱形都具有的性质是（）A．有一组邻边相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直4．下列计算正确的是（）A．+＝ B．3﹣＝3 C．＝+ D．6＝25．若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较大的内角是（）A．45° B．60° C．90° D．120°6．下列说法中能推出△ABC是直角三角形的个数有（）①a2＝c2﹣b2；②∠A：∠B：∠C＝1：1：2；③a：b：c＝1：：2；④∠C＝∠A﹣∠B．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．下列条件中，能推出▱ABCD为矩形的是（）A．AB＝BC B．AC平分∠BAD C．AC⊥BD D．AC＝BD8．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（）A． B． C．4 D．9．如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第四个正方形，OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，设△AA1A2，OA1A2A3，△A2A3A4，…的面积分别为S1，S2，S3，…．如此下去，则S2021的值为（）A．22018 B．22019 C．22019+ D．2202010．如图，在正方形ABCD中，O为对角线BD的中点，E为边AB上一点，AF⊥DE于点F，OF＝，AF＝1，则EF的长为（）A． B． C． D．﹣1二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置.11．（﹣）2＝；＝．12．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上点，测得BC＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离m．13．如果是整数，则正整数n的最小值是．14．如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是．15．在▱ABCD中，AB＝，AD＝，点A到边BC，CD的距离分别为AE＝，AF＝1，则∠EAF的度数为．16．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移，得到△EFG，连接EC，ED，FC，则EC+FC的最小值为．三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.17．计算：（1）﹣4+；（2）（﹣）÷．18．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且BE∥AC，AE∥BD，连接EO．（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明理由；（2）若CD＝6，求OE的长．19．已知直角三角形的两直角边长分别为（2+）和（2﹣）．求这个直角三角形的斜边长．20．如图，是由边长为1的小正方形构成的10×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点．五边形ABCDE的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：（1）五边形ABCDE的周长为．（2）在AB上找点F，使E，C两点关于直线DF对称；（3）设DF交CE于点G，连接AG，直接写出四边形AEDG的面积；（4）在直线DF上找点H，使∠AHB＝135°．21．如图，小明家A和地铁口B两地恰好处在东西方向上，且相距3km，学校C在他家正北方向的4km处，公园D与地铁口和学校的距离分别5km和5km．（1）求地铁口、公园和学校三地组成的∠BDC的大小；（2）计算公园与小明家的距离．22．（1）如图1，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝a，BC＝b，AC＝m，BD＝n．①若AC＝BD，则m2＝；（用含a，b的式子表示）若AC⊥BD，则m2＝；（用含a，n的式子表示）②试探索a，b，m，n这四条线段之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，在△EFG中，GH是中线，若FG＝6，GH＝7，EG＝9，则FH的长为．23．如图，P是菱形ABCD的边BC上一个动点，∠ABC＝60°，线段PC的垂直平分线与对角线BD交于点E，连接PE，CE，AP．（1）如图（1），∠BAP＝16°，直接写出∠APE的大小；（2）如图（2），试探索线段AB，BP，BE满足怎样的数量关系？并说明理由；（3）如图（3），若AB＝1，过点E作EF⊥AP于点F，点P从点B往点C运动至EF最小时停止，直接写出点P的运动路径长．24．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A（0，a），点B（b，0），且a，b满足：b+4＝+，点C与点B关于y轴对称，点P，点E分别是x轴，直线AB上的两个动点．（1）则点C的坐标为；（2）连接PA，PE．①如图1，当点P在线段BO（不包括B，O两个端点）上运动，若△APE为直角三角形，F为斜边PA的中点，连接EF，OF，试判断EF与OF的关系，并说明理由；②如图2，当点P在线段OC（不包括O，C两个端点）上运动，若△APE为等腰三角形，M为底边AE的中点，连接MO，试探索PA与OM的数量关系，并说明理由；（3）如图3，连PA，CE，设它们所在的直线交于点G，设CE交y轴于点F，连接BG，若OP＝OF，则BG的最小值为．

参考答案一、你一定能选对!（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上将对应的答案标号涂黑.1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解：A、不能化简，是最简二次根式，符合题意；B、＝2，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝2，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝，能化简，不是最简二次根式，不符合题意．故选：A．2．在实数范围内有意义，则a的取值范围（）A．a≥3 B．a≤3 C．a≥﹣3 D．a≤﹣3【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．解：根据题意得，3﹣a≥0，解得a≤3．故选：B．3．矩形和菱形都具有的性质是（）A．有一组邻边相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直【分析】根据矩形的性质和菱形的性质得出即可．解：矩形的性质是：①矩形的四个角度数直角，②矩形的对边相等且互相平行，③矩形对角线相等且互相平分；菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角，所以矩形和菱形都具有的性质是对角线互相平分，故选：B．4．下列计算正确的是（）A．+＝ B．3﹣＝3 C．＝+ D．6＝2【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．解：A、+，无法计算，故此选项错误；B、3﹣＝2，故此选项错误；C、＝，故此选项错误；D、6＝6×＝2，故此选项正确；故选：D．5．若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较大的内角是（）A．45° B．60° C．90° D．120°【分析】据平行四边形的性质得出AB∥CD，推出∠B+∠C＝180°，根据∠B：∠C＝1：2，求出∠C即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠B：∠C＝1：2，∴∠C＝×180°＝120°，故选：D．6．下列说法中能推出△ABC是直角三角形的个数有（）①a2＝c2﹣b2；②∠A：∠B：∠C＝1：1：2；③a：b：c＝1：：2；④∠C＝∠A﹣∠B．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据勾股定理逆定理可得①③是否是直角三角形，根据三角形内角和计算出角的度数可判断②④是否是直角三角形．解：①a2＝c2﹣b2，即a2+b2＝c2，是直角三角形；②由∠A：∠B：∠C＝1：1：2可得∠C＝180°×＝90°，是直角三角形；③∵a：b：c＝1：：2，12+（）2＝22，∴是直角三角形；④∠C＝∠A﹣∠B可变为∠A＝∠C+∠B，根据∠A+∠B+∠C＝180°可得∠A+∠A＝180°，解得∠A＝90°，因此是直角三角形；故选：D．7．下列条件中，能推出▱ABCD为矩形的是（）A．AB＝BC B．AC平分∠BAD C．AC⊥BD D．AC＝BD【分析】根据矩形的判定方法即可一一判断．解：A、∵AB＝BC，∴▱ABCD为菱形，故A选项不合题意；B、∵AC平分∠BAD，∴▱ABCD为菱形，故B选项不合题意；C、∵AC⊥BD，∴▱ABCD为菱形，故C选项不合题意；D、∵AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故D选项符合题意；故选：D．8．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（）A． B． C．4 D．【分析】由在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，利用菱形的性质以及勾股定理，求得OB的长，继而可求得BD的长，然后由菱形的面积公式可求得线段DE的长．解：如图．∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，∴AC⊥BD，OA＝AC＝3，BD＝2OB，∵AB＝5，∴OB＝＝4，∴BD＝2OB＝8，∵S菱形ABCD＝AB•DE＝AC•BD，∴DE＝＝＝．故选：D．9．如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第四个正方形，OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，设△AA1A2，OA1A2A3，△A2A3A4，…的面积分别为S1，S2，S3，…．如此下去，则S2021的值为（）A．22018 B．22019 C．22019+ D．22020【分析】首先求出S1、S2、S3，然后归纳命题中隐含的数学规律，即可解决问题．解：∵四边形OAA1B1是正方形，∴OA＝AA1＝A1B1＝1，∴S1＝×1×1＝＝21﹣2，∵∠OAA1＝90°，∴OA12＝12+12＝2，∴OA1＝，∴OA2＝A2A3＝OA1＝2，∴A2B1＝2﹣1＝1，∴S2＝×2×1＝1＝22﹣2，同理可求：S3＝×2×2＝2＝23﹣2，S4＝4＝24﹣2，…，∴Sn＝2n﹣2，∴S2021的值为22019．故选：B．10．如图，在正方形ABCD中，O为对角线BD的中点，E为边AB上一点，AF⊥DE于点F，OF＝，AF＝1，则EF的长为（）A． B． C． D．﹣1【分析】连接AC，过O点作OG⊥OF交DE于G，根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．解：连接AC，过O点作OG⊥OF交DE于点G，∵四边形ABCD是正方形，O为BD的中点，AC，BD为对角线，∴O为对角线的交点，在正方形ABCD中，AC⊥BD，OA＝OD，∵OG⊥OF，∴∠AOF+∠AOG＝90°，∠DOG+∠AOG＝90°，∴∠AOF＝∠DOG，∵AF⊥DE，∴∠FAO+∠1＝90°，∵∠GDO+∠2＝90°，∠1＝∠2，∴∠FAO＝∠GDO，在△AOF与△DOG中，，∴△AOF≌△DOG（ASA），∴AF＝DG＝1，OG＝OF＝，∴△OFG是直角三角形，∴FG＝，∴FD＝FG+GD＝3，∵∠BAD＝90°，AF⊥DE，∴∠EAF+∠FAD＝∠FAD+∠ADF＝90°，∠EFA＝∠AFD＝90°，∴△AFE∽△DFA，∴，∴EF＝AF＝，故选：C．二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置.11．（﹣）2＝5；＝2．【分析】直接利用二次根式的性质化简得出即可．解：（﹣）2＝5；＝2．故答案为：5，2．12．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上点，测得BC＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离40m．【分析】在直角三角形中已知直角边和斜边的长，利用勾股定理求得另外一条直角边的长即可．解：AB＝＝＝m，故答案为：40．13．如果是整数，则正整数n的最小值是3．【分析】因为是整数，且＝＝2，则3n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为3．解：∵＝＝2，且是整数；∴2是整数，即3n是完全平方数；∴n的最小正整数值为3．故答案是：3．14．如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是4．【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得AD＝BC＝EB＝5，根据勾股定理的逆定理可得∠AED＝90°，再根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝8，∠EDC＝90°，根据勾股定理可求CE的长．解：∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE＝5，∴AD＝5，∵EA＝3，ED＝4，在△AED中，32+42＝52，即EA2+ED2＝AD2，∴∠AED＝90°，∴CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90°，在Rt△EDC中，CE＝＝＝4．故答案为：4．15．在▱ABCD中，AB＝，AD＝，点A到边BC，CD的距离分别为AE＝，AF＝1，则∠EAF的度数为45°或135°．【分析】首先根据题意画出图形，再根据勾股定理可得DF＝AF，AE＝BE，然后再根据三角形内角和可得∠DAF＝45°，∠EAB＝45°，根据平行四边形的性质可得AB∥CD，进而得到∠D+∠DAB＝180°，求出∠DAB的度数，进而可得答案，同理可得出∠EAF另一个度数．解：如图1所示：∵AF⊥DC，AE⊥CB，∴∠DFA＝90°，∠AEB＝90°，∵AD＝，AF＝1，∴DF＝1，∴∠D＝∠DAF＝45°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠DAB＝135°，∵AB＝，AE＝，∴EB＝，∴∠EAB＝45°，∴∠EAF＝135°﹣45°﹣45°＝45°，如图2，过点A作AE⊥CB延长线于点E，过点A作AF⊥CD延长线于点F，同理可得：∠EAB＝45°，∠BAD＝45°，∠FAD＝45°，则∠EAF＝135°，故答案为：45°或135°．16．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移，得到△EFG，连接EC，ED，FC，则EC+FC的最小值为2．【分析】根据菱形的性质得到AB＝2，∠ABD＝30°，根据平移的性质得到EG＝AB＝2，EG∥AB，推出四边形EFCD是平行四边形，得到ED＝FC，于是得到EC+FC的最小值＝EC+ED的最小值，根据平移的性质得到点E在过点A且平行于BD的定直线上，作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于AE，解直角三角形即可得到结论．解：在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝2，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△EGF，∴EF＝AB＝2，EF∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴EF＝CD，EF∥CD，∴四边形EFCD是平行四边形，∴ED＝FC，∴EC+FC的最小值＝EC+ED的最小值，∵点E在过点A且平行于BD的定直线AE上，∴作点D关于定直线AE的对称点M，连接CM交BG于O，∴CM的长度即为EC+DE的最小值，∵∠EAD＝∠ADB＝30°，AD＝2，∴∠ADM＝60°，DH＝MH＝AD＝1，∴DM＝2，∴DM＝CD，∵∠CDM＝∠MDO+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠M＝∠DCM＝30°，∴CM＝2×CD＝2．故答案为：2．三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.17．计算：（1）﹣4+；（2）（﹣）÷．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式的除法法则运算．解：（1）原式＝2﹣2+＝；（2）原式＝﹣＝4﹣2．18．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且BE∥AC，AE∥BD，连接EO．（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明理由；（2）若CD＝6，求OE的长．【分析】（1）先证明四边形AEBO为平行四边形，由菱形的性质可证明∠BOA＝90°，从而可证明四边形AEBO是矩形；（2）依据矩形的性质可得到EO＝AB，然后依据菱形的性质可得到AB＝CD，得OE＝CD＝6即可．解：（1）四边形AEBO是矩形．理由：∵BE∥AC，AE∥BD，∴四边形AEBO是平行四边形，又∵菱形ABCD对角线交于点O，∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°，∴四边形AEBO是矩形；（2）∵四边形AEBO是矩形，∴EO＝AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD．∴EO＝CD＝6．19．已知直角三角形的两直角边长分别为（2+）和（2﹣）．求这个直角三角形的斜边长．【分析】根据勾股定理列式计算即可得解．解：∵直角三角形的两直角边长分别为（2+）和（2﹣），∴斜边长＝＝．20．如图，是由边长为1的小正方形构成的10×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点．五边形ABCDE的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：（1）五边形ABCDE的周长为20+．（2）在AB上找点F，使E，C两点关于直线DF对称；（3）设DF交CE于点G，连接AG，直接写出四边形AEDG的面积；（4）在直线DF上找点H，使∠AHB＝135°．【分析】（1）根据勾股定理求出五边形ABCDE各边的长，相加即可；（2）连接EC，作DF⊥EC交AB于点F即可．（3）分成两个三角形求面积即可．（4）利用等腰直角三角形的性质求解即可．解：（1）由题意，AB＝BC＝CD＝＝5，AE＝＝，DE＝5，∴五边形ABCDE的周长＝20+，故答案为：20+．（2）如图，点F即为所求作．（3）四边形AEDG的面积＝××+×5×2＝10．（4）如图，点H即为所求作．21．如图，小明家A和地铁口B两地恰好处在东西方向上，且相距3km，学校C在他家正北方向的4km处，公园D与地铁口和学校的距离分别5km和5km．（1）求地铁口、公园和学校三地组成的∠BDC的大小；（2）计算公园与小明家的距离．【分析】（1）由勾股定理求出BC＝5（km）＝BD，再由勾股定理的逆定理证△BCD是等腰直角三角形，∠CBD＝90°，则∠BDC＝45°；（2）过D作DE⊥AB，交AB的延长线于E，证△BDE≌△CBA（AAS），得DE＝BA＝3km，BE＝CA＝4km，再由勾股定理求解即可．解：（1）由题意得：BD＝5km，CD＝5km，∠BAC＝90°，AB＝3km，CA＝4km，∴BC＝＝＝5（km），∴BC＝BD，∵BC2+BD2＝52+52＝50，CD2＝（5）2＝50，∴BC2+BD2＝CD2，∴△BCD是等腰直角三角形，∠CBD＝90°，∴∠BDC＝45°；（2）过D作DE⊥AB，交AB的延长线于E，如图所示：则∠DEB＝90°，∴∠BDE+∠DBE＝90°，由（1）得：∠CBD＝90°，∴∠DBE+∠CBA＝90°，∴∠BDE＝∠CBA，在△BDE和△CBA中，，∴△BDE≌△CBA（AAS），∴DE＝BA＝3km，BE＝CA＝4km，∴AE＝BE+AB＝7（km），∴AD＝＝＝（km）．22．（1）如图1，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝a，BC＝b，AC＝m，BD＝n．①若AC＝BD，则m2＝a2+b2；（用含a，b的式子表示）若AC⊥BD，则m2＝4a2﹣n2；（用含a，n的式子表示）②试探索a，b，m，n这四条线段之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，在△EFG中，GH是中线，若FG＝6，GH＝7，EG＝9，则FH的长为．【分析】（1）①若AC＝BD，则ABCD是矩形，由勾股定理即可；若AC⊥BD，则ABCD是菱形，由勾股定理即可；②作CN⊥AD于N，BM垂直DA延长线于M，先证△ABM≌△DCN，再利用勾股定理得到a，b，m，n这四条线段之间的数量关系；（2）利用（1）的结论即可．解：（1）①∵AC，BD是▱ABCD的对角线，若AC＝BD，则ABCD是矩形，∴m2＝a2+b2；若AC⊥BD，则ABCD是菱形，∴＝a2，即m2＝4a2﹣n2；故答案为：a2+b2，m2＝4a2﹣n2；②如图1，作CN⊥AD于N，BM垂直DA延长线于M，∵BM＝CN，AB＝CD，∴△ABM≌△DCN，∴AM＝DN，在Rt△BDM中，BD2＝BM2+DM2，即n2＝MB2+（MA+AD）2＝MB2+MA2+AD2+2MA•AD＝a2+b2+2MA•AD，在Rt△N中，AC2＝AN2+CN2，即m2＝（AD﹣DN）2+CN2＝AD2+DN2+CN2﹣2AD•DN＝a2+b2﹣2AD•DN，∴m2+n2＝2（a2+b2）+2MA•AD﹣2DA•AD，∵MA＝DN，∴m2+n2＝2（a2+b2）；（2）如图2，将三角形补全成平行四边形，利用上面讨论有：（2FH）2+（2GH）2＝2（FG2+EG2），∴FH＝．23．如图，P是菱形ABCD的边BC上一个动点，∠ABC＝60°，线段PC的垂直平分线与对角线BD交于点E，连接PE，CE，AP．（1）如图（1），∠BAP＝16°，直接写出∠APE的大小；（2）如图（2），试探索线段AB，BP，BE满足怎样的数量关系？并说明理由；（3）如图（3），若AB＝1，过点E作EF⊥AP于点F，点P从点B往点C运动至EF最小时停止，直接写出点P的运动路径长．【分析】（1）连接AE，根据外角定义得出∠APC＝∠BAP+∠ABC＝76°，再根据等腰三角形的性质得出∠BAP+∠PAE＝∠BAE＝∠BCE＝∠EPC，设∠BAE＝∠BCE＝∠EPC＝x，∠APE＝y，根据角的关系列出方程组解方程组即可；（2）作EF⊥PC于F，得出BF＝＝BE，FC＝PF＝BE﹣BP，即可得出AB＝BC＝BF+FC＝BE+BE﹣BP＝BE﹣BP；（3）由题意判断当AP⊥BC时，EF最短，求出此时BP的长度即可．解：（1）连接AE，∵∠BAP＝16°，∠ABC＝60°，∴∠APC＝∠BAP+∠ABC＝76°，∵四边形ABCD是菱形，线段PC的垂直平分线与对角线BD交于点E，∴AE＝CE，PE＝CE，∴AE＝PE，∴∠EAP＝∠APE，∠PCE＝∠EPC，∴∠BAP+∠PAE＝∠BAE＝∠BCE＝∠EPC，设∠BAE＝∠BCE＝∠EPC＝x，∠APE＝y，∴，解得，∴∠APE＝30°；（2）AB＝BE﹣BP，理由如下：作EF⊥PC于F，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，BD是对角线，∴∠EBF＝30°，∴EF＝BE，∴BF＝＝BE，∵EF是PC的垂直平分线，∴FC＝PF＝BE﹣BP，∴AB＝BC＝BF+FC＝BE+BE﹣BP＝BE﹣BP，即AB＝BE﹣BP；（3）由题知，当AP⊥BC时，EF最短，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，