专题21概率与成对数据的统计分析(讲义)（解析版）

专题21概率与成对数据的统计分析(讲义)

心如识点梳理

一、事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

1.相互独立事件

(I)概念：对任意两个事件人与从如果P(/W)=PS)P(⑸，则称事件人与事件8相互独土，简称为独立.

(2)性质：若事件4与8相互独立，那么A与A与8,A与8也都相互独立.

2.条件概率

p(4D)

(1)概念：一般地，设A,4为两个随机事件，且P(A)>0,我们称P(B|A)=^7k为在事件人发生的条件

下，事件8发生的条件概率，简称条件概率.

(2)两个公式

①利用古典概型，P(B|A)=〃(管)；

fl\/VZ

②概率的乘法公式：P(AB)=P(A)P(B\A).

3.全概率公式

一般地，设41，...»A”是一组两两互斥的事件，A\UA2U...UAn=Q,且P(/t)>0,i=1,2,…，〃，

则对任意的事件8G。，有尸(8)=三0(A)P(^,),我们称上面的公式为全概率公式.

常用结论：

1.计算条件概率除了应用公式P(加4)=与黑-外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)="(紫)，其中〃(A)

为事件A包含的样本点数，〃(A3)为事件AB包含的样本点数.

2.全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发

生的简单事件的概率的求和问题.

二、离散型随机变量及其分布列和数字特征

1.离散型随机变量

一般地，对于随机试验样本空间。中的每个样本点w,都有唯一的实数X(卬)与之对应，我们称X为随机变

量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为笛，也....★，我们称X取每一个值即的概率尸(X=W=p,,i

=1,2,…，〃为X的概率分布列，简称分布列.

3.离散型随机变量的分布列的性质

①〃,对(/'=1，2,…，〃)；

②〃i+p2+…+p〃=1.

4.离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为

XX|X2・・・Xi・・・

PPiPl•••Pi•«•Pn

⑴均值

称瓜㈤二即⑶+为幺+…+人通+…+为必产三工必为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量

取值的平均水平.

(2)方差

称。(X)=(汨一仇X))2pi+a2—E(X))2p2+...+(x“一E(X))2p“=£|(Xi-E(X))2pj为随机变量X的方差，并

称、Q(X)为随机变量X的标准差，记为6X),它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度.

5.均值与方差的性质

(l)E(aX+b)=aE(X)+b.

2

(2)D(aX+b)=aD(X)(afb为常数).

常用结论：

随机变量的线性关系

若X是随机变量，y=aX+6a,〃是常数，则y也是随机变量.

三、二项分布与超几何分布、正态分布

1.伯努利试验与二项分布

(1)伯努利试验

只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行〃次所组成的随机试验称

为〃重伯努利试验.

(2)二项分布

一般地，在〃重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为“(OVpVl),用X表示事件A发生的次

数,则X的分布列为P(X=(=C/(l-p)E,2=0,1,2,n.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X〜伙〃，〃).

2.两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)=p,O(X)=〃(l—p).

(2)若X〜即bp),则E(X)=〃p,D(X)=〃p(l—p).

3.超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取〃件(不放回)，用X表示抽取的

〃件产品中的次品数，则X的分布列为P(X-女一孙加+1,,〃+2,…，/，其中，小N,

MSM〃0N,〃?=max{(),〃一N+M},r=min{n,M},如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称

随机变量X服从超几何分布.

4.正态分布

⑴定义

1-(X-/P2

若随机变量X的概率分布密度函数为/U)=+-e_L，x£R，其中，〃£R，。＞0为参数，则称随机变

量x服从正态分布，记为x〜/v3,『).

(2)王态曲线的特点

①曲战是单峰的，它关于直线对称.

②曲线在处达到峰值浜言.

③当H无限增大时，曲线无限接近/轴.

⑶力原则

①P(/LQ9+b)W.6827；

②P(〃一2区X0/+2亦。9545；

③P(〃一3dx%+3。户0.9973.

(4)王态分布的均值与方差

若X〜N(ji,/),则七(X)=〃，/)(%)=/.

常用结论：

1.二项分布当〃=1时就是两点分布.

2.若X服从正态分布，即X〜M〃，/)，要充分利用正态曲线关于直线对称和曲线与x轴之间的面积为

1解题.

3.利用〃重伯努利试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X=k)

=心〃*(1一〃)”一的三个条件：(1)在一次试验中某事件4发生的概率是一个常数p；(2)/7次试验不仅是在完全

相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示〃次试验中事件A恰好

发生了女次的概率.

，蹑踪酬综

一、填空题

1.根据以往的临床记求，某种珍断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表

示事件”被诊断者患有癌症”，则有P(川0=0.95,P(AlC)=0.95,现在对自然人群进行普查，设被试验的人

患有癌症的概率为0.005,即P(O=0.005,则P(Q4)=.(精确到0.001)

【答案】0.087

【分析】根据条件概率和全概率公式可求得结果.

【解析】因为P(A|C)=0.95,所以P(A|C)=l—P(Z©=0.05,

因为P(C)=0.005,所以P(C)=0.995,

所以由全概率公式可得HA)="(A|C)〃(C)+〃(A,

因为P（AC）=尸（C|A）P（A）=P（A\C）P（C）

“/、P(A|C)P(C)0.95x0.00519^

ttr以C|4)=-----1-----~~—=-------------------------=——x0A.A08O7

Ii)P(A|C)P(C)+P(A|C)P(C)0.95x0.005+0.05x0.995218,

故答案为：0.087.

【点睛】关键点点睛：掌握条件概率和全概率公式是解题关键.

2.对一个物理量做“次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差

/2、

%~N0-,为使误差3在(-050.5)的概率不小于0.9545,至少要测量_____次(若X-N3"),则

n)

P(|X-X/|<2cr)=0.9545)).

【答案】32

【解析】因为J得到〃=。，b=要使误差邑在(-050.5)的概率不小于0.9545,

则(〃-2G〃+2b)u(-0.5,0.5),得到不等式计算即可.

【解析】根据正态曲线的对称性知：要使误差分在(-050.5)的概率不小于0.9545,

则-20,〃+2b)u(-0.5,0.5)且“=0,0=£，

所以0.522/2n32.

Vn

故答案为：32.

【点睛】本题是对正态分布的考查，关键点在于能从与~N„1读出所需信息.

3.已知随机变量4-NG.。)，且鲁沱［二,则尸(3<4v5)=.

【答案】0.3

【分析】由正态分布的性质可得pe〈i)=pc>5),根据尸(。<5)+尸e>5)=i和

鬟N=7可得尸片>5)=0.2,结合尸(3v4<5)=P楂<5)~尸匕<3)计算即可.

【解析】由正态分布的性质可知：〃=3,曲线关于g=3对称，

故/e〈i)=尸e>5),结合正态分布的性质，

得年<1)」即尸《>5)」

P«<5)4'7P«<5)4'

又P4v5)+尸e>5)=l,所以尸e>5)=0.2,

^P(3<<<5)=P(^<5)-P(^<3)=(l-0.2)-0.5=0.3.

故答案为：0.3

4.中国光谷(武汉)某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按

如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常T.作，则该部件正常工作.由大数据统计显

示：三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000,10?).且各个元件能否正常工作相

互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况(各部件能否正常工作相互独立)，那么这

1000台仪器中该部件的使用寿命超过10()0小时的平均值为台.

【答案】375

【分析】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为g,从而求出部件正常工作超过10000

小时的概率，再根据二项分布求加平均值.

【解析】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为

(IYI3

则部件正常工作超过10000小时的概率为1--x-=-,

12JLo

又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为1000x1=375台.

O

故答案为：375.

【点睛】本题考查正态分布和相互独立事件及二项分布，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

5.学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失

败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为:，设他参加一次答题活动得分为3则万4=_________.

4

【答案】V

4

【解析】先求得4的所有可能取值，再根据相互独立事件概率计算公式进行计算，从而求得期望值.

【解析】依题意可知J的可能取值为234,5,且:

p(^=4)=-x-=—,

74416

皿4313

P(5=3)=-x-=——,

74416

STH

133944II

所以号=5x7r+4X3+3X%+2XG=

Io16IoIo16

故答案为：?

6.设芭、8、七、名为互不相等的正实数，随机变量x和y的分布列如下表，若记ox,。丫分别为x,y的

方差，则OXDY.（填＞,＜,=）

X储x?“3•%

x+x凡

Y♦i+S23+M

2222

_1__1__1_

P

4444

【答案】＞

【解析】根据方差计算公式，计算出ox,oy的表达式，由此利用差比较法，比较出两者的大小关系.

【解析】EX=^（^+^2+.¥3+^4）,故

222

DX=-1(x,-)+(x2-EX^+(x3-EX)+(x4-EX)|=-£片-43)?.

44a_

EY=\.\\।马+“3।曰+M।汽+。=；(0+公+七+七)=EX,

412222

\22

^^-EX\+叫+空一砧

22

内+至

I玉+为I+I广+占|-4(EX)?.

4~~2~+22

|广+七

要比较ox,oy的大小，只需比较与1广+入［广+3，两者作差并化简得

r=l~v

2\2

X2+Xy邑+%七十X

I++

/=1222

2x：+2,r；+2xj+-2(入内+工内+七七+V\)

4

二（再一人），+（人一+（$一+伍一内『①,

4

由于不42，对匕为互不相等的正实数，故①＞0,也即

百+々.占+丹।5+%I广+3

工年>,也即nx>oy.

r=1~2~22

故答案为：＞

【点睛】本小题主要考查随机变量期望和方差的计算，考查差比较法比较大小，考查运算求解能力，属于

难题.

7.甲、乙两名运动员在羽毛球场进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为P,乙胜的概率为1-〃，且

Q

各局比赛结果相互独立.当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为七.现甲、乙进行7局比赛,

采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数X的数学期望为

…小9728

【答案】行

Q

【分析】根据当比赛采取5局3胜制时，甲用4局扁得比赛的概率为二，求得每局比赛甲胜的概率P,再

27

由采取7局4胜制得到X的可能取值为：4,5,6,7,分别求得其相应概率，列出分布列求解.

Q

【解析】因为当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为万，

且每局比赛甲胜的概率为P，乙胜的概率为1-p,

所以C；〃2(l-p)p吟，

解得p=”2p=g1,

X的可能取值为：4,5,6,7,

则P(A=4)=4扪|=挤p(x=5)=C；.©g|嗤，

p(-=6)=C"|).g).全果MU7)=C；｛|J曲|喘,

X的分布列为：

X4567

1664160320

P

8?2437292187

所以采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数x的数学期望为:

E(X)=4x-6i+7x幽9728

81243729218721?7

9728

故答案为:2187

8.给出下列说法:

①回归直线y=bx+a恒过样本点的中心(冗V)；

②两个变量相关性越强，则相关系数1川就越接近1；

③某7个数的平均数为4,方差为2,现加入一个新数据4,此时这8个数的方差不变;

④在回归直线方程£=2-0.5x中，当变量x增加一个单位时，》平均减少0.5个单位.

其中说法正确的是.

【答案】①②④.

【分析】①回归直线恒过样本点的中心；

②两个变量相关性越强，则相关系数5就越接近I;

③某7个数的平均数为4,方差为2,现加入一个新数据4,平均值不变，方差改变；

④回归直线方程a=2-0.5x中，当变量x增加一个单位时，卞平均减少0.5个单位是平均减少，或者估计减

少.

【解析】①回归直线$=欣+。恒过样本点的中心(另了)，正确；

②两个变量相关性越强，则相关系数1r1就越接近1，正确；

③某7个数的平均数为4,方差为2,现加入一个新数据4,平均值不变，方差改变，故错误；

④阿I归直线方程£=2-0.5x中，当变量x增加一个单位时，3平均减少0.5个单位是平均减少，或者估计减

少.故IF确.

故答案为：①②④.

9.根据下面的数据：

X1234

y32487288

求得)‘关于x的回归直线方程为)，=19.2、+12,则这组数据相对于所求的回归直线方程的4个残差的方差为

.(注：残差是指实际观察值与估计值之间的差.)

【答案】3.2

【分析】把x的各个值代入回归直线方程，求出)，的估计值，再计算出对应的残差，最后求出它们的方差得

解.

【解析】把尸1,2,3,4依次代入回归直线方程为y=19.2x+12,所得估计值依次为：,=31.2,

y2-50.4,y3=69.6,y4=88.8,

对应的残差依次为：0.8,-2.4,2.4,-0.8,它们的平均数为0,

所以4个残差的方差为?=。-'+(-2.4)-：=32

4

故答案为：3.2

10.为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取包食品，并测最其质量(单

位：g).根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布假设生产状态正

常，记4表示每天抽取的2包食品中其质量在(〃-3b,〃+纭)之外的包数，若J的数学期望戊4)>0。5,则〃

的最小值为.

附：若随机变量X服从正态分布网〃,4),则夕(〃-3b<X<〃+3。)=0.9973.

【答案】19

【分析】根据正态分布的对称性，求得概率，根据二项分布的均值计算，可得答案.

【解析】依题意H〃-3b<X<〃+3b)=0.9973,所以在(〃-3d〃+3b)之外的概率1-0.9973=0.0027,则

&〜3化0.0027)，则石⑹=0.00274,因为E(>0.05,所以().002〃>0.05，解得A>美=18.52，因为kcN,

所以我的最小值为19.

故答案为：19.

11.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第，•个家庭的月收入M单位：千元)与月储蓄W(单位：千元)的数

10101010

据资料，算得2再=8°，Zx=20,W>/=I84,»：=720,则家庭的月储蓄)，对月收入x的线性回

1=1/=!Mi=l

归方程为.

n

y—fixy

附：线性回归方程§=舐+令中，0=-^二--，〃-反，其中工，卞为样本平均值.

1-1

【答案】y=0.3x-0.4

【分析】根据题中提供的数据先求得工=&y=2,再求得〃，进而求得。，故可得§=凯+加

Iioon1io2(]

【解析】由题意知〃=10,元=—Z%=右=8,》=-Zy=G=2,

n1010

Xyx,2-zu2=720-10x82=80,支菁y-，母=184-10x8x2=24,

i=lr=l

-24A

由此得〃=右=。.3履=9-万=2-0.3乂8=-0.4,故所求回归方程为)，=0.3x—0.4.

故答案为：y=0.3x-0.4.

12.在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生表现优异，发现的正

确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量X~3(〃,〃)，记夕尸C：/(l-p)i,A:=0J2，…,〃.在研究p«

的最大值时，小组同学发现：若(年+1)〃为正整数，则&=(〃+1)〃时，Pk=Pi，此时这两项概率均为最大

值；若(〃+1)〃为非整数，当攵取m+i)〃的整数部分，则凡是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复

投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，

若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为的概率最大.

【答案】18

【分析】直接根据X服从二项分布结合A=(〃+1)〃=81>4=M=13.5取整数部分可得后面

8()次出现点数I的次数为13概率最大，从而得解.

【解析】继续再讲行80次投掷试验，出现点数为1次数X服从二项分布X~台[。,]}

127

由4=5+l)P=81x：=k=13.5,结合题中结论可知，k=13时概率最大，即后面80次中出现13次点数1

62

的概率最大，

加上前面20次中的5次，所以出现18次的概率最大.

故答案为：18.

二、单选题

34

13.已知P(5|A)=1,P(A)=-,则尸(43)等于

JJ

3门4〃12~6

A.-B.-C.—D.—

432525

【答案】C

【分析】根据条件概率的计算公式，即可求解答案.

【解析】由题意，根据条件概率的计算公式P(8|A)=9篝，

44

由已知P(8|A)=j,P(A)=-

3412

则P(AB)=P(B|A)・P(A)=；x『共，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了条件概率的计算公式的应用，其中熟记条件概率的计算公式是解答的关键，着重

考查了推理与运算能力，属于基础题.

14.己知随机变量X的分布列如表：(其中。为常数)

X012345

p0.10.1a0.30.20.1

贝|JP(1KXK3)等于()A.0.4B.0.5C.0.6D.0.7

【答案】C

【分析】由概率总和为1，则尸(1«XW3)=A1)+P(2)+P(3),求得结果.

【解析】由概率之和等于1可知a=0.2,

.•.P(l<X<3)=0.1+0.2+0.3=0.6.

故选:C.

15.将三颗骰子各掷一次，设事件•三个点数都不同"，4=“至少出现一个3点”，则条件概率产(川％),

P(用人)分别是()

A60116056091।

A-歹IB.5，而C.-D.市‘昼

【答案】A

【分析】根据条件概率的含义，明确条件概率P(AIB),P(W)的意义，即可得出结论.

【解析】解：根据条件概率的含义，

P(A\B)其含义为在B发生的情况下，A发生的概率，即在“至少出现一个3点”的情况下，”三个点数都不

相同”的概率,

•・•“至少出现一个3点”的情况数目为6x6x6-5x5x5=91,“三个点数都不相同”则只有一个3点，共C：x5x4

=60种,：.P(A|B)=舁；

P(阴A)其含义为在A发生的情况下，8发生的概率，即在“三个点数都不相同”的情况下，“至少出现•个

3点”的概率，

・「三个点数都不相同”的情况数H为6x5x4=120,“至少出现一个3点”则三个点都不同有C；x5x4=60种，

:・P(B|A)=y

故选：A.

16.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生

产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为现从这10盒中任取〜盒，再从这盒中

任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为()

A.0.08B.0.1C.0.15D.0.2

【答案】A

【分析】利用条件概率公式即可求解.

【解析】以4分别表示取得的这盒Y光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的.

8表示取得的X光片为次品，

P⑷鼎尸⑷啧户⑷吟

P(%)$,P(%)4,P(叫)$;

则由全概率公式，

所求概率为p(8)=p(A)P(说A)+p(4)P(即)+p(A)P(树4)

513121

=­x—I—x—I-x—=0.A0O8.

101010151020

故选：A

17.已知甲盒子中有3个红球，1个白球，乙盒子中有2个红球，2个白球，同时从甲，乙两个盒子中取出

，个球进行交换，交换后，分别记甲、乙两个盒中红球个数配%。=1，2),则()

A.=E⑺B.E值)<E(〃J

C.E&)=Em)D.E值)<E(%)

【答案】C

【分析】分，=1和，=2两种情况分别去求数学期望，再进行比较即可解决.

【解析】交换后，记甲、乙两个盒中红球个数盘%(i=L2),

当，=1时,&=4,3,2,7=3,2,1

产值=4）=尸（〃⑪）=器qq

C4C4IoX

P（q=3）=P（7=2）=

v'）v'7CCG\C\：笔J16」2

。俗=2）=%=3）=除H

iI311|139

贝IJE信）=4*6+3*不+2*晶=1，£（7I）=>X-+2X-+3X-=-

oZo4oZo4

则E信）〉£（/7.）.选项AB均判断错误;

当，=2时，音=4,3,21,小=4,3,2,1

C；C；二3二1

P&=4)=P(%=1)=

C；C;-36~12

C：GG+C；C：155

唯=3)=/％=2)=

cjcj=36=12

P倡=2）=p（小=3）=*+G&G="=上

5，）C：C：3612

尸收2=1）=。（"2=4）=^^=（=，

C4C43o12

贝IJE依）=4XL3X上+2X»+1X-!-=*,

1〃121212122

d\一15.5I_5

E\小）=1x---F2ox---F（3x---F4x—=一.

v7121212122

即网&）=E（%）=|.

则选项C判断正确；选项D判断错误.

故选:C

18.已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束

为止.某考生一次发球成功的概率为发球次数为X,若X的数学期望同X）＞1.75,则〃的

取值范围为

A.（叫B.喋）C.也）D.信/）_

【答案】A

【分析】根据题意，分别求出P（X=l），P（X=2）,尸（X=3）,再根据离散型随机变量期望公式进行求解即

可

【解析】由题可知尸（X=l）=p,P（X=2）=（l-p）p,P（X=3）=（l-〃『〃+（l-〃J；。-〃丫，则

E（X）=P（X=I）+2P（X=2）+3P（X=3）=p+2（l-/?）p+3（l-/?）2＞1.75

解得〃＞［加＜；，由〃e（O,l）可得〃c0，：）,

答案选4

【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三

次成功

19.设有一个回归方程为a=2-1.5孙则变量x增加一个单位时（）

A.y平均增加1.5个单位B.y平均增加2个单位

c.＞平均减少1.5个单位D.y平均减少2个单位

【答案】C

【分析】根据所给的回归直线的方程把自变量由X变为工+1时，表示出变化后》的值，两式相减即可求解.

【解析】因为直线回归方程为：y=2-l.5x®,

当变量x增加一个单位时3=2-15（X+1）②，

由②一①可得:2-1.5（x+l）-（2-1.5x）=-1.5,

所以变量x增加一个单位时）'平均减少L5个单位，

故选：C.

20.某产品的宣传费用X（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的统计数据如表所示:

X45678

y608090100120

根据上表可得回归方程S，=14x+G,则宣传费用为9万元时，销售额最接近（）A.123万元B.128万

元C.133万元D.138万元

【答案】C

【分析】由表格数据求样本中心，根据回归直线过样本中心点求4,将x=9代入方程求销售额估计值即可.

还包生竺空4雇60+80+90+100+120=9°,

【解析】由表格数据知:

55

；•由回归方程，有：14x6+a=90,即G=6,故£=14x+6,

，当x=9万元时，"14x9+6=132万元.

故选:C.

21.对四组数据进行统计，获得以下散点图（如图），将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的有（）

25

20

15

10

5

0510152025

相关系数小

A.B."<G<0<4<4

C.□〈弓＜（）＜々＜八D.弓＜口＜（）＜/;＜4

【答案】A

【分析】根据给定散点图先判断正相关、负相关，再根据点的集中程度分析相关系数大小作答.

【解析】依题意，图1和图3是正相关，相关系数，i、G大于0,图2和图4是负相关，相关系数4、〃小

于0,

图I和图2中的点相对于图3和图4更加集中，则有相关性要更强些，相关系数的绝对值要大一些，

所以弓＜4＜。＜4＜不

故选:A

22.设X〜N（M。；），y~N（〃2，。；），这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（）

A.ay?〃2）2P（y，M）B.P（X^a2）＜PiX＜＞ai）

C.对任意正数，，P（X＜t）＞P（Y＜t）D.对任意正数f,P（X＞/）＞P（y＞/）

【答案】c

【分析】根据正态分布密度曲线的性质判断即可.

【解析】由正态分布密度曲线的性质可知，XN（MW：）,YN（〃2,6）的密度曲线分别关于直线工=从，

x=〃2对称，因此结合题中所给图象可得，从＜外，所以尸（丫》外）vP（y》从），故A错误；又xN（"\6）

得密度曲线较yN（〃2,无）的密度曲线“瘦高”，所以所以P（XW%）＞P（XW0）,B错误；对任

意正数，尸（XW/）2尸（YWf）,p（x＞r）＜p（y＞r）,c正确，。错误

故选：C

23.甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（M.b：）,N（4”云），其相应的分布密度曲

线如图所示，则下列说法正确的是（）

（注：正态曲线的函数解析式为/（外=下二©詈=xeR）

\J27T-＜7

A.甲类水果的平均质量M=0.4kg

B.乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右

C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大

D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数”=L99

【答案】A

【分析】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D,进而

即得.

【解析】由题图可知甲图象关于直线x=0.4对称，乙图象关于直线x=0.8对称，

所以必=0.4,〃2=。8，必<〃2，故A正确，C错误；

因为甲图象比乙图象更“高瘦”(曲线越“高瘦”，。越小，表示总体的分布越集中)，

所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右,故R错误：

因为乙图象的最高点为(0.8J99),即石工=1.99,所以，工1.99,故D错误.

故选:A.

24.当前新冠病毒肆虐，已经成为全球性威胁.为了检测某种新冠病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小

白鼠进行试验,得到如下2x2列联表:

感染未感染总计

注射104050

未注射203050

总计3070100

则下列说法一定正确的是().

附：z2=-一、〃"力""、一-(其中〃=a+/?+c+d).

(a+))(c+d)(4+c)(〃+d)

临界值表：

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

•%2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

A.有95%的把握认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗有关”

B.有95%的把握认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗无关”

C.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗有关”

D.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗无关”

【答案】A

【分析】由列联表中数据计算V的观测值，对照临界值得出结论.

【解析】解：由列联表中数据，计算析=="*4.762,且3.841<4.762<5.024,

吧30x70x里50x5021

所以有95%的把握认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗有关”.

故选：A.

25.有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出

〃(1K〃K6,〃CN')个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为4个，则随着

〃(匹〃K6,〃cM)的增加，下列说法正确的是()

A.已增加，火增加B.*增加，%减小

C.底减小，增加D.E&减小,减小

【答案】C

【解析】由题意可知，从乙盒子里随机取出〃个球，含有红球个数X服从超几何分布，即X"(6,3,72),

可得出砥=微，再从甲盒子里随机取一球，则《服从两点分布，所以优二F值=1)=^+Z匕，

£>€=1—。仔=1)=(一五匕，从而可判断出七4和的增减性.

【解析】由题意可知，从乙盒子里随机取出八个球，含有红球个数X服从超几何分布，即X"(6,3,〃),

其中尸(X=Z)=^-,其中kwN,k<3Rk<n,EX=4=]

Q62

故从甲盒中取球，相当于从含有g+1个红球的〃+1个球中取一球，取到红球个数为2

n.

-+1

故

p("l)=2_--1------

n+\22/2+2

n

随机变量J服从两点分布，所以上；二/>(、_1)二/+11,随着〃的增大，电减小;

=22^2

。4=1一F值=1)=3-五%,随着〃的增大，。4增大.

故选：C.

【点睛】本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题.

26.己知随机变量X的分布列如图，当〃变化时，下列说法正确的是()

X0123

\_1

P——aa

326

A.月(Y),。(丫)均随着。的增大而增大

B.E(X),。”)均随着a的增天而减小

C.E(X)随着〃的增大而增大，D(X)随着”的增大而减小

D.£")随着。的增大而减小，D(X)随着”的增大而增大

【答案】A

【分析】利用期望和方差公式求出期望和方差，由分布列的性质求出。得范围即可求解.

【解析】由分布列可得：E(X)=Ox!+lx[：—a]+2a+3x2=l+a

3\2；6

D(X)=1(0-«-I)2+l-^-l)2+«(2-a-l)2+1(3-a-])2

lz2fl

na'+a(\-a)'+—(2-a)^=-a'+a+\,

=/3+l)+匕6

--4>01

由概率的性质可得：2可得。<〃<3,

a>0-

E（X）=1+。随着〃的增大而增大,

O（X）=-/+a+i=_,_gj+：开口向下，在（0,g）单调递增,

所以E（X）,O（X）均随着，的增大而增大，

故选：A.

三、解答题

27.为了推进国家“民生工程”，某市现提供一批经济适用房来保障居民住房.现有条件相同的甲、乙、丙、

T4套住房供4B,C,3人申请，且他们的申请是相互独立的.

（1）求A8两人不申请同一套住房的概率；

⑵设3名申请人中申请甲套住房的人数为X,求X的分布列和数学期望.

【答案】⑴：3

4

3

（2）分布列见解析，数学期望为］

4

【分析】（1）设出事件，求出A,8两人申请同••套住房的概率，再利用对立事件求概率公式求出A8两人

不申请同一套住房的概率；

（2）方法一：求出X的可能取值及对应的概率，求出分布列和数学期望；

方法二：得到X~8（33），再根据二项分布的性质求出分布列和数学期望.

【解析】（1）设A,8两人申请同一套住房为事件

P（W）=C>lxl=l,

所以A8两人不申请同一套住房的概率为P=1-P（M）=彳；

（2）方法一：随机变量X可能取的值为0,1,2,3.

小=。）=彳管啜

P（X=l）=dxl1xgj27

64

39

P（X=2）=C；xl-1Y

4J4~64

P（X=3）=C5X（1J=±

所以X的分布列为

X0123

272791

p

64646464

。79I3

所以数学期望£（X）=Ox三+lx—+2x—+3x—=

6464644

方法二：依题意得*~{3+}

|二C；x廿M=0J2,3,

所以P（X=A）=C；x叱）

所以X的分布列为

X0123

272791

P