专题 全等三角形六种基本模型 中考数学

专题11全等三角形六种基本模型

压轴题密押

通用的解题思路:

模型一：一线三等角模型

一皴三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，

也可以是锐角或钝角。或叫“K字模型”。

三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方

形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：

当题目的条件中只有一个或者两个直角时.，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往

往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。

基本类型:

模型二：手拉手模型一一旋转型全等

一、等边三角形手拉手-出全等

二、等腰直角三角形手拉手-出全等

两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有，

①△BCD^^ACE；②BD_LAE（位置关系）旦BD=AE（数量关系）；③FC平分NBFE；

题型三：倍长中线模型构造全等三角形

倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对

应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”

证明）（注：一般都是原题已经有中线时用）。

三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中

线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.

•E

主要思路：倍长中线（线段）造全等

A

*E

延长AD到E,使DE=AD,连接BE

作CFJ_AD于F,作BE_LAD的延长线于E连接BE

延长MD到N,使DN=MD,连接CD

题型四：平行线+线段中点构造全等模型

遇有两条平行线间线段的中点时，我们可以通过作经过该中点

的直线与两条平行线相交构造“8”字型全等。

如图，AB〃CD,点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.我们把

这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过

中点的线段和平行线相交.即“延长中线交平行”。

如图，D是AB上一点,DF交AC于点

E,DE*E,FC〃AB,试判断AE与CE有怎样的

数量关系？井证明你的结论。

解：AE:CE,理由如下：

证明：・.・FC〃AB,

•••NADE二NF,（两直线平行，内置角和等）

XVDE^FE,ZAED^ZCEF,

AAADE^ACFE（ASA）,

.,.AE=CE.

证明：延长DE交AB的延长线于点F

=/U9炉

••・UC〃AB,

・・・NCDE二NF,（两直线平行，内错角相等）

又YCE-BE,ZCED-ZBEF,

AACDE^ABFE（ASA）,

.•・DE*E.

VED平分/ADC

二NODE二NEDA

.*.ZF=ZtDA

AAD-AF

：.AE平分/DAB.（等腰三角形的三线合一）

题型五：等腰三角形中的半角模型

过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与

半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

题型六：角平分线+垂直构造全等模型

类型一、角平分线垂两边

先平分线+外垂直

当已知条件中出现。尸为NQ48的角平分线、尸加_1。4于点〃时，辅助线的作法大都为过点P作

刖_1_。8即可.即有尸加=取、bOMP⑦bONP等,利用相关结论解决问题.

类型二、角平分线垂中间

角平分线+内垂直

当已知条件中出现。尸为4。8的角平分线,PMJ_OP于点尸时，辅助线的作法大都为延长交

0B于点N即可.即有AOMN一是等腰三角形、0P是三线等，利用相关结论解决问题.

压轴题预测

模型一：一线三等角模型

1.(2023•石家庄模拟)如图①，矩形A4d>与以比1为直径的半圆O在直线/的上方，线段AB与点E、F

都在直线/上，且A8=7,加'=10,3C>5.点8以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线石尸方向

运动，矩形A8CD随之运动，运动时间为，秒.

(1)如图②，当，=2.5时，求半圆O在矩形A8CD内的弧的长度；

(2)在点8运动的过程中，当4)、8C都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H.连接OG、OH,

2.(2023•怀化三模)如图所示，工人赵师傅用10块高度都是15〃的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵

与地面垂直的墙/WC力和比G”，点P在跳:上，已知AP=PF,NA尸尸=90。.

(1)求证：

3.(2023•承德二模)如图1,胡C经过RtAABC的三个顶点，圆心O在斜边上，AC=4,直径AB所

对的弧长为AC长的3倍，将等腰RtAADE的直角顶点。放置在边8C上，EFLBC于点

(1)ZABC=

(2)求证：MCD合XDFE；

(3)如图2,当点石落在AB上时，求政的长.

4.(2023•凤台县校级二模)感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1,点A在直线0E上，且

ZBDA=ZBAC=ZAEC=90°,像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线

三等角”模型.

应用：(1)如图2,RtAABC中，ZACT=9O°,CB=CA,直线经过点C,过4作AQ_LED于点D,

过8作跳:_LE£＞于点E.求证；M3EC=^CDA.

(2)如图3,在/VWC中，。是FC卜一点.力=90°,AC=AD,/DRA=/DAR,八8=26•求点

C到45边的距离.

(3)如图4,在，43CD中，E1为边3C上的一点，尸为边上的一点.若ND防=N8,AB=\0,BE=6,

5.(2023•鄂伦春自治旅二模)如图1,二次函数)，=«i+3)(x-4)的图象交坐标轴于点A,B(0,-2),点P

为走轴上一动点.

(1)求二次函数y=a(x+3)(x-4)的表达式；

(2)过点。作PQlx轴分别交线段抛物线于点Q,C,连接AC.当OP=1时，求A4CQ的面积;

(3)如图2,将线段“绕点。逆时针旋转90。得到线段P/).

①当点。在抛物线上时，求点。的坐标；

②点42,-3)在抛物线上，连接户E,当庄平分时，直接写出点P的坐标.

3

6.（2023•潍坊三模）如图1,将一个等腰直角三角尺的顶点C放置在直线/上，ZABC=90°,AB=BC,

过点A作4）_L/于点。，过点B作BEL/于点E.

观察发现：

（1）如图1,当4,3两点均在直线/的上方时

①猜测线段AD，CE与虚的数量关系并说明理由；

②直接写出线段QC,4）与虚的数量关系；

操作证明：

（2）将等腰直角三角尺48c绕着点C逆时针旋转至图2位置时，线段。C,AO与破又有怎样的数量关

系，请写出你的猜想，并写出证明过程；

拓广探索：

（3）将等腰直角三角尺八AC绕着点。继续旋转至图3位置时，AJ）与BC交于点H,若CD=3,人。=9,

请直接写出D〃的长度.

图1图3:

7.（2023•尤溪县校级模拟）在矩形A8CD中，连接4C，线段AE是线段AC绕点A逆时针旋转90。得到,

平移线段AE得到线段OF（点A与点。对应，点E与点厂对应〕，连接4尸，分别交AC，CE于点、M，N,

连接EF.

（1）求证：BN=FN；

（2）求NAM的大小：

（3）若BM=x,FN=y,求矩形ABC。的面积（用含有尤，y的式子表示）.

8.（2024•龙马潭区一模）如图，抛物线丁=如2+版+6（4/0）与x轴交于4-1,。），8（3,0）两点，与），轴交

于点C，顶点为。.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若在线段4c上存在一点使得N8WO=45。，过点O作。”_LOM交4c的延长线于点H,求点用

的坐标；

（3）点尸是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点尸，Q，使得以点产，Q,C,D为

顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

9.(2023•太康县二模)在正方形A8C£＞中，E是BC边上一点(点E不与点B,。重合)，AE1EF,垂

足为点E,所与正方形的外角NDCG的平分线交于点尸.

(1)如图1,若点石是BC的中点，猜想让与斯的数量关系是_AE=EF_；证明此猜想时，可取回

的中点P,连接律.根据此图形易证=AEFC.则判断=的依据是

(2)点E在3c边上运动.

①加图2,(1)中的猜想是否仍然成立？请说明理由.

②如图3,连接"，DF,若正方形A8CD的边长为I,直接写出的周长c的取值范围.

图2图3?

模型二：手拉手模型一一旋转型全等

1.（2023•巴中）综合与实践.

（1）提出问题.如图1,在A44c和A4OE中，/8AC=ND4石=90°,且AA=AC，AD=AE,连接加）,

连接CE交BD的延长线于点O.

①ZBOC的度数是.

②BD:CE=.

（2）类比探究.如图2,在A48C和ADEC中，ZBAC=ZEDC=90°,且=DE=DC,连接短）、

况并延长交于点O.

①乙408的度数是；

②AD:BE=.

（3）问题解决.如图3,在等边AA4C中，人。_LAC于点。，点E在线段4）上（不与4重合），以AE为

边在AD的左侧构造等边AAEF,将A4EF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度.如图4,历为砂的中

点，N为BE的中点.

①说明为等腰三角形.

②求NMND的度数.

,ZA^：

A_____EB

图1图2

:

A

1

BDC”DC

图3图4

2.（2024•武汉模拟）如图，在A4BC和△（?£>£：中，ZBAC=NCED=90P,AB=AC,CE=OE,点石在边

/Wk,尸是8C的中点.连接/V),G是/V)的中点.

(1)求证：MCESRBCD；

(2)如图(2),若点G在8c上，直接写出tanNACE的值；

(3)如图(1),判定以E,F,G为顶点的三角形的形状，并证明你的结论.

3.（2023•市中区校级四模）［问题提出］如图1,在等边AA8C内部有一点尸，PA=3,尸8=4,PC=5,

求〃尸4的度数.

［数学思考］当图形中有一组邻边用等时，通过旋转可以将分数的条件集中起来解决问题.

1尝试解决］将MPC绕点A逆时针旋转60°得到△A33,连接产则AAP尸为等边三角形.

22

：PP=PA=3,又\PB=4,PC=5,PP+PB=PC.

：.4BPP为三角形，

.•.44P8的度数为.

［类比探究］如图2,在AA4C中，Z/MC=9C尸，A4=AC,其内部有一点P,若Q4=2,PB=1,PC=3,

求ZAP3的度数.

［联想拓展］如图3,在MBC中，4MC=90°，N4C4=30°,其内部有一点P,若QA=3,PB=2,PC=473,

求ZAP"的度数.

BB4

止.N

一

A「A

图1图2图3

4.（2023•深圳模拟）如图，AABC是边长为3的等边三角形，。是上一动点，连接CZ）,以CD为边向

C。的右侧作等边△C7）E，连接

（1）【尝试初探】

如图1,当点。在线段A笈上运动时，AC与OE相交于点尸，在运动过程中发现有两个三角形始终保持全

等，请你找出这对全等三角形，并说明理由.

（2）【深入探窕】

如图2,当点O在线段A8上运动时，延长瓦），交C8的延长线于点”，随着。点位置的变化，”点的位

置随之发生变化，当4）=2取＞时，求tan/OHC的值.

（3）【拓展延伸】

如图3,当点。在的延长线上运动时，CD、AE相交于点F,没MDF的面积为S,,ACEF的面积为S2,

当邑=4£时，求AE的长.

5.12023•岱岳区二模）如图，正方形ABCD边长为7.E、歹在半径为4的QA上，且石4_1_月4,连接。石、

BE、BF、DF.

（1）试探求线段。£、跖的数量和位置关系；

（2）求证：DF?+BE?=EF?+,并求。户2+4炉的值.

6.(2023•苏州一模)如图，AA8C是边长为3的等边三角形，。是上一动点，连接8,以CD为边向

CQ的右侧作等边三角形COE,连接AE.

(1)【尝试初探】

如图1,当点。在线段上运动时，AC,DE相交于点F,在运动过程中发现有两个三角形始终保持全

等，请你找出这对全等三角形，并说明理由.

(2)【深入探究】

如图2,当点。在线段A3上运动时，延长理)，交C3的延长线于点〃，随着。点位置的变化，H点的位

置随之发生变化，当4)=28。时，求tanNWZC的值.

(3)【拓展延伸】

如图3,当点。在胡的延长线上运动时，CD,AE相交于点尸，设A4Z*的面积为号，△("户的面积为反，

当邑=4£时，求应)的长.

7.（2023•灌云县校级模拟）在AABC中，AB=AC,N84C=a,点尸是平面内不与点A,C重合的任意

一点，连接PC，将线段PC绕点夕旋转。得到线段以），连接AP,CD,BD.

（1）当a=60。时，

①如图1,当点P在A44c的边fiC上时，线段PC绕点P顺时针旋转。得到线段包＞,则A尸与的数量

关系是.

②如图2,当点尸在AA8C内部时，线段PC绕点尸顺时针旋转a得到线段①），①中"与8D的数量关系

还戊立吗？若成立，请证明结论，若不成立，说明理由；

（2）当a=90。时，

①如图3,线段PC绕点月顺时针旋转a得到线段H）.试判断AP与双）的数量关系，并说明理由；

②若点A,C,2在一条直线上且AC=3PC,线段PC绕点P逆时针旋转a得至IJ线段OP，求叱的值.

AP

AA

B

DDCBc

图1图2图3备用图

8.(2024•邳州市校级一模)(1)问题发现：

如图1,A4CB和A7X石均为等边三角形，点4，D,E在同一直线上，连接跖.

①线段4),即之间的数量关系为：

②ZAE8的度数为.

(2)拓展探究：

如图2,A4C8和均为等腰直角三角形，NAC8=NAE。=90°,点8,D,E在同一直线上，连接CE,

求丝的值及N8EC的度数；

CE

(3)解决问题：

如图3,在正方形A5c。中，CD=M，若点P满足PD=g,且NBQ/)=90°,请直接写出点C到直线/A

的距离.

9.（2023•酒泉一模）（1）感知：如图①，四边形A8CO和C£FG均为正方形，BE与的数量关系

为;

（2）拓展：如图②，四边形八4CO和C£FG均为菱形，且NA二N产，请判断应:与OG的数量关系，并说

明理由；

（3）应用：如图③，四边形A4CD和CEFG均为菱形,点E在边4）上，点G在4）延长线上.若AE=2ED,

Z4=ZF,AE3C的面积为8,求菱形CEAG的面积.

图①图②图③

10.(2023•海淀区校级四模)在平面直角坐标系中，O的半径为1,M为上一点，点N(0「2).

对于点P给出如下定义：将点?绕点"顺时针旋转90。，得到点产，点P，关于点N的对称点为Q,称

(1)如图I,已知点24,0),点Q为点尸关于点N的“中旋点”.

①若点”(0,1),在图中画出点Q,并直接写出OQ的长度为；

②当点用在二。上运动时，直线y=上存在点尸关于点M,N的“中旋点”。，求〃的取值范围；

(2)点尸&0),当点“在C。上运动时，若C。上存在点尸关于点M，N的“中旋点”Q,直接写

出/的取值范围.

11.（2023•黑龙江模拟）在AA8C中，AB=AC,NB4C=9O。，P为直线AB上一点，连接尸C,将尸。绕

点P顺时针旋转90。得到W）,连接AO.

图①图②

(1)当点尸在线段Afi上时，如图①，求证：BC—BD=6BP；

(2)当点P在44的延长线上时，如图②；当点P在的延长线上时，如图③，线段8C,BD,BP之

间又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不必证明.

12.(2024•东城区一模)在RiAABC中，N84C=90°,AB=AC,点。，七是8C边上的点，DE=-BC,

连接4).过点。作4)的垂线，过点石作8c的垂线，两垂线交于点尸.连接AF交AC于点G.

(1)如图1,当点。与点4重合对，直接写出〃4/与N8AC之间的数量关系：

(2)如图2,当点。与点〃不重合(点。在点E的左侧)时，

①补全图形；

②ZZM尸与N8AC在(1)中的数量关系是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说羽理由.

(3)在(2)的条件下，直接用等式表示线段班＞,DG,CG之间的数量关系.

13.（2023♦天宁区校级模拟）在立面直角坐标系xOy中，点A（0,2）,点8在x轴正半轴上，点C在第一象

限内.

（1）如图1,OB=4.

①若A4BC是以AC为斜边的直角三角形，旦tanNA4C=2.请在图（1）中利用圆规、无刻度宜尺作出点C

的位置（不写作法，保留作图痕迹），写出点。的坐标：;

②若A48C是等边三角形.求点。的坐标；

（2）如图2,AA8C是等边三角形，点。在以。（3百，6）为圆心，半径为广的圆上.若存在两个AA8C满

14.(2023•牡丹区校级一模)有共同顶点的A4BC与AADE中，CA=CB,石4=,且NACB=/A£D=a,

连接加，CE,线段4。，CE相交于点

(1)如图①，当。=60。时，叱的值是，々"C的度数是____:

CE

求处的值和的度数，并说明理由；

(2)如图②,当a=90。时，

CE

当点H与MDE的顶点重合时，清直接写出器的值.

(3)如果二=90。，—=2,

AE

ABAB

图①图②备用图

15.（2023•泰州）已知：A、3为圆上两定点，点C在该圆上，NC为所对的圆周角.

（1）如图①，「。中，B、C位于直线AO异侧，ZAO^+ZC=135°.

①求NC的度数；

②若（O的半径为5,4c=8,求的长：

逆向思考

（2）如图②，若产为圆内一点，且ZA/羽VIZ。。，PA=PB,N/V¥3=2NC.求证：尸为该圆的圆心；

拓展应用

（3）如图③，在（2）的条件下，若ZA依=90°,点。在OP位于直线AP上方部分的圆弧上运动•点。在

P上，满足CO=V5CB-C人的所有点。中，必有一个点的位置始终不变.请证明.

题型三：倍长中线模型构造全等三角形

1.(2023•兴宁区校级模拟)【模型启迪】

(1)如图1,在AABC中，。为8c边的中点，连接AO并延长至点“，使力〃=4£),连接身7,则AC与

的数量关系为，位置关系为;

【模型探索】

(2)如图2,在AA3c中，。为8c边的中点，连接4?,“为AC边上一点，连接及:交4；于点〃，且

BF=AC.求证：AE=EF；

【模型应用】

(3)如图3,在(2)的条件下，延长AC至点N,使4V=A8,连接8V,交4)的延长线于点M.若AB=7,

2

AC=5,DM=-,求线段AD的长.

3

图1图2图3

2.（2023•抚州三模）课本再现：

（1）我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问

题，同时也可以利用平行四边形研究三角形的有关问题，如探究三角形中位线的性质.

如图（1）,在A44C中，点E分别是AC的中点，连接OE.则OE与4c的关系是.

定理证明

（2）请根据（1）中内容结合图（I）,写出（1）中结论的证明过程.

定理应用

（3）如图（2）,在四边形A8CD中，点、M,N,P分别为AD,BC,8。的中点，BA,C£＞的延长线交

于点七.若NE=45。，则NM/W的度数是.

（4）如图（3）,在矩形ABC7）中，AB=4,4）=3,点E在边4r上，且=将线段AE绕点4旋

转一定的角度。（0。＜。＜360。），得到线段AF,点M是线段。尸的中点，求旋转过程中线段长的最大

值和最小值.

图⑴图⑵图⑶

3.（2023•蜀山区校级一模）如图，在AABC中，ZACB=90°,BC>AC,CO_LA8于点。，点石是AB的

中点，连接CE.

(1)若AC=3,BC=4,求CO的长:

(2)求证：BD2-AD?=2DEAB；

(3)求证：CE2AB.

2

4.（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，A43C中，。在上，E在BC上,ZAED=ZABC,尸在上,

EF=DE.

(1)如图1,若CE=BD,求证：BE=CF；

(2)如图2,若C£=AD,G在班上，ZEFG=/EFC,求证：CF=2GF；

（3）如图3,若CE=AD,EF=2,ZABC=30%当AC即底长最小时，请直接写出ABCF的面积.

5.（2023•南关区校级二模）【提出问题】兴趣小组活动中老师提出了如下问题：如图①，在AABC中，若AB=5,

AC=3,求4C边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长/V）

到E,使得，DE=AD,再连接8E（或将AAC。绕点。逆时针旋转180。得到△即力），把AB、AC、2AD

集中在AA3石中，利用三角形的三边关系可得2VA石＜8,则1＜AQV4.

【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长

一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法

称为“中线加倍”法.

【解决问题】如图②，在AA8C中，点。是边8C的中点，点E•在边上，过点。作。尸_1,。石，交边AC

于点尸，连接所.

（2）若NA=90。，则线段8石、CF、之间的等量关系为炉+。尸=£＞尸

（3）【应用拓展】如图③，在AABC中，N/$C=90。，点。为边AC的中点，点七和点尸分别在边AB、BC

上，点”为线段K尸的中点.若AE=2,CF=5,则ZW的长为

题型四：平行线+线段中点构造全等模型

1.（2023•射洪市校级一模）在R3ABC中，ZE4C=9O°,。是的中点，E是4）的中点，过点A作

AF//AC交CE的延长线于点〃.

（1）求证：四边形AO4厂是菱形；

（2）若48=8,菱形的面积为40.求AC的长.

2.（2022•前进区校级一模）已知：A。是AA3C的角平分线，点E为直线3C上一点，BD=DE,过点E作

“//A8交直线AC于点尸，当点尸在边AC的延长线上时，如图①易证A/+EF=A5；当点F在边AC上,

如图②；当点尸在边AC的延长线上，AD是AA8C的外角平分线时，如图③.写出AF、所与的数量

关系，并对图②进行证明.

BDC

BDE

①③

3.（2022•寿光市一模）如图，在矩形A3CD中，AB=\,4）=3,石为4）边的一动点（不与端点重合）,

连接C石并延长，交朋的延长线于点尸，延长E4至点G,使AG=A石；分别连接砥，BG，FG.

（1）在点E的运动过程中，四边形能否成为菱形？请判断并说明理由.

（2）若M4£与AE0C相似，求AE的长.

4.（2022•九江三模）（1）化简并求值：I-，一,其中〃=」.

a+12

（2）如图，在cAAC£＞中，点O是AC的中点，点”在边C4的延长线上，连接R7并延长交AD的延长线

于点石，斯分别与45、8交于点”、G.求证：AH=CG.

D

E

G

O

FBC

5.（2023•薛城区校级模拟）【感知】小亮遇到了这样一道题：已知如图①在A48C中，AB=AC,。在

上，石在AC的延长线上，DE交BC于F,且DF=EF,求证：B/）=CE,小亮仔细分析了题中的已知条

件后，如图②过。点作£）G//AC交8c于G，进而解决了该问题.（不需证明）

【探究】如图③，在四边形A4CQ中，AB//DC,E为4c边的中点，ZBAE=NEAF,A/7与DC的延长

线相交于点厂.试探究线段A8与Ab、3之间的数量关系，并证明你的结论.

【应用】如图④，在正方形A3CD中，石为边的中点，G、/分别为4）,3c边上的点，若AG=1,

BF=0,NGEF=9O。，则W的长为.

6.（2022•婺城区校级模拟）如图，点A,C是O上的点，且ZAOC=90。，过点4作/^_1_。4,连接

交：O于点。，点。是AC1的中点.

（1）求4的度数;

（2）求组的值.

OC

7.（2022•丰泽区校级模拟）在四边形A4CO中，BD平分ZABC,点E是BD上任意一点,连接CE,且

4BAD=24CEB,N4c£=120°,点尸为8£）延长线上一点，连接A/7,NK4/，=60。.

（1）如图1,求证：AD=AF；

（2）如图2,当庞:=庄时，求证：AB-2BC=AF；

（3）如图3,在（2）的条件下，点G在4）上，连接FG,ZAFG=/BEC,BC=3百，DG=5出,求

线段的长.

题型五：等腰三角形中的半角模型

1.（2023•昌平区二模）在等边A4AC中，点。是回中点，点E是线段4c上一点，连接,

N/）£B=a（30。,，a<6（）。），将射线D4绕点。顺时针旋转a,得到射线。Q,点尸是射线。0上一点，且

DF=DE,连接庄，FC.

（1）补全图形；

（2）求41万度数;

（3）用等式表示正，P的数量关系，并证明.

2.（2023•大连模拟）综合与实践

问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图I,在M8C中，点。在AC边上，于/

交BC于E,ZABD=2ZCAE.求证A5=8Z）.

独立思考：（1）请解答王师提出的问题.

实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面条件，并提出新问题，请你解答.“如图2,

作EG_LAC于点G,若AE=BD,探究线段4）与CE之间的数量关系，并证明

问题解析：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当点G与点。重合时，连接Cr,

若给出OE的值，则可求出C”的值.该小组提出下面的问题，请你解答

如图3,在（2）的条件下，当点D与点G重合时，连接。尸，若。石=行，求。尸的长”.

图1图2图3

3.(2023•南岗区校级二模)圆内接A4BC，BE是圆O的切线，点3为切点，BE//AC.

(1)如图1,连接AO,求证：BO工AC;

(2)如图2,当AC为直径，点。在弧AA上，连接CD、BD、AO时；求证：CD=AD+4iBD.

(3)如图3,在(2)的条件下，连接C£＞与60交于点P,连。。延长与8E交于点K,KB:PB=3:2,AC=86,

求B£)的长.

图1

题型六：角平分线+垂直构造全等模型

1.(2024•平谷区一模)如图，在AA8C中，ZE4C=90°,A3=AC,点。为边中点，DELATE,

作/EDC的平分线交4c于点尸，过点E作。厂的垂线交。F于点G,交BC于点H.

(1)依题意补全图形；

(2)求证：DH=BE；

(3)判断线段也＞、〃。与跖之间的数量关系，并证明.

A

/

E//\

B

D

2.（2024•金华一模）己知：如图，在AA8C中，AD上BC于点D,E为4c上一点，且所=AC，DF=DC.

(1)求证：^BDF=MDC.

(2)已知AC=5,DF=3,求/IF的长.

3.12023•武陟县一模）如图，在M6C中，NC=45L点£是8C边上一点，AE=AI3,BDLAE于点D,

交AC于DF点F,若4）=2,DE=3,求b的长.

4.(2023•沙坪坝区校级一模)如图，在AABC中，AC=8C,点石为边上一点，连接CE.

(1)如图1,若NAC8=90。，CE=>/26,AE=4,求线段BE的长；

(2)如图2,若NAC8=60。，G为BC边上一点、且EG上BC,F为EG上一点、且EF=2FG,H为CE的

中点，连接AH,AF,FH.猜想AF与A”之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

(3)如图3,当Z4C4=90°,4CE=22.5。时，将CE绕着点石沿顺时针方向旋转90。得到反；，连接CG.点

尸、点。分别是线段C8、CE上的两个动点，连接砂、PQ.点”为EP延长线上一点，连接8"，将ME"

沿直线84翻折到同一平面内的她吸，连接网.在尸、。运动过程中，当样+PQ取得最小值且

NEm?=45。，4C=J访时，请直接写出四边形EQPR的面积.

题型六：正方形中的半角模型

1.(2023•增城区二模)在正方形AHC力中，点石、尸分别在边BC、CD上,且NE4/=45。，连接EF.

(1)如图1,若BE=2,DF=3,求砂的长度；

(2)如图2,连接BD,BD与AF、4r分别相交于点M、N，若正方形A4c£＞的边长为6,BE=2,求

的长；

(3)判断线段用V、MN、OW三者之间的数量关系并证明你的结论.

2.(2023•明水县二模)已知：正方形/WCD中，NMAN=45。，NMAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别

交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N.当NK4N绕点A旋转到3M=DV时（如图1）,易证

BM+DN=MN.

（1）当NM4N绕点A旋转到8MHDV时（如图2）,线段、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出

猜想，并加以证明；

（2）当NMAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段、ON和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写

出你的猜想.

3.（2023•昆明模拟）综合与实践

【问题情境】

数学活动课匕杨老师出I示了教材上的•个问题：

如图1，四边形八AC7)是正方形，G是上的任意一点，/)E_LAG于点E,BF//DE,交AG于点”，

求证：AF-BF=EF.

数学兴趣小组的小明同学做出了回答，解题思路如下：

由正方形的性质得到=ZfiAD=90°,

再由垂直和平行可知ZAED=ZAFB=90°,

再利用同角的余角相等得到ZADE=ZBAF,

则可根据“A4S”判定A4Z)E=AR4F,

得到AE=8/，所以A尸一所=4F-AE=£V.

【建立模型】

该数学小组小芳同学受此问题启发，对上面的问题进行了改编，并提出了如下问题：

(1)如图2,四边形A4CD是正方形，E,"是对角线AC上的点，BFHDE,连接踮，DF.

求证：四边形班DF是菱形；

【模型拓展】

该兴趣小组的同学们在杨老师的指导下大胆尝试，改变图形模型，发现并提出新的探究点；

(2)如图3,若正方形A8CZ)的边长为12,£是对角线AC上的一点，过点E作EGJLOE,交边8C于点

G,连接。G,交对角线AC于点/，CF:EF=3:5,求尸G-O/7的值.

ADADA______________D

4.(2022•绥化三模)已知，正方形A8CD中，NAMN=45。，NAMN绕点A顺时针旋轨，它的两边长分别

交CB、左(或它们的延长线)于点M、N,AH1.MN于点、H.

(1)如图①，当NM4N点八旋转到=时，请你直接写出人〃与/W的数量关系：_4/=八4_；

(2)如图②，当NM4N绕点A旋转到BWwON时，(1)中发现的A"与43的数量关系还成立吗？如果

不成立请写出理由，如果成立清证明；

(3)如图③，已知NAWV=45。，AH工MN于点H,且MH=2,NH=3,求4〃的长.

5.(2022•集贤县模拟)已知正方形A88中，ZMAN=450,NAMN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交

CB,DC（或它们的延长线）于点M，N,AH工MN于点、H.

图①图②

（1）如图①，当/MAN绕点、A旋转到3M=DN时，请你直接写巴A”与的数量关系:

（2）如图②，当NMAN绕点A旋转到BWwDN时，（1）中发现的AH与的数最关系还成立吗？如果

不成立请写出理由，如果成立请证明;

（3）如图③，已知NMAN=45。，AH于点、H,且M”=2,AH=6,求N”的长.（可利用（2）

得到的结论）

专题11全等三角形六种基本模型

压轴鹿密押

通用的解题思路:

模型一：一线三等角模型

一皴三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，

也可以是锐角或钝角。或叫“K字模型”。

三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方

形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：

,就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往

往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。

一般类型:

基本类型:

模型二：手拉手模型一一旋转型全等

一、等边三角形手拉手-出全等

二、等腰直角三角形手拉手-出全等

两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有.：

①△BCD^^ACE；②BD_LAE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分NBFE；

题型三：倍长中线模型构造全等三角形

倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对

应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”

证明）（注：一般都是原题已经有中线时用）。

三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中

线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.

主要思路：倍长中线（线段）造全等

,E

延长AD到E,使DE=AD,连接BE

作CFJ_AD于工作BEJ_AD的延长线于E连接BE

延长MD到N,使DNGID,连接CD

题型四：平行线+线段中点构造全等模型

遇有两条平行线间线段的中点时，我们可以通过作经过该中点

的直线与两条平行线相交构造“8”字型全等。

如图，AB〃CD,点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.我们把

这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过

中点的线段和平行线相交.即“延长中线交平行”。

如图，D是AB上一点，DF交AC于点人

E,DE-FE,FC/7AB,试判断AE与CE有怎样的/\

数量关系？并证明你的结论。/

解：AE^CE,理由如下：

证明：VFC^AB,口仁

AZADE-ZF,《两直线平行，内骨角相等）/

XVDE-FE.ZAED-ZCEF.“乙一一

/.△ADE^ACFE（ASA）,

AAE^CE.

证明：延长DE交AB的延长线于点F

VZB-ZC-90P

/.0C/7AB,

•••NCDUNF,（两直线平行，内错角相答）

又,；CE由E,ZCED^-ZBEF,D

.,.△CDC^ABFE（ASA）,/

工吃4T./

・；ED平分/ADC/

•••NCDONEDA'/

AZF=ZEDA/

.t.AD-AF

•・・AE平分/DAB.（等腰三角形的三线合一）八々--------

题型五，等腰三角形中的半角模型

过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与

半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

B

题型六：角平分线+垂直构造全等模型

类型一、角平分线垂两边

角平分线+外垂直

当已知条件中出现°尸为一°i3的角平分线、4/1。4于点'/时，辅助线的作法大都为过点尸作

即可.即有PA/二RV、AOA0(a