专题4.3 对数（高效培优讲义）（原卷版）高一数学高效培优讲义（人教A版2019必修第一册）

PAGE1专题4.3对数教学目标1.理解对数的概念、掌握对数的性质。2.掌握指数式与对数式的互化，能进行简单的对数运算。3.理解对数的运算性质和换底公式，能熟练运用对数的运算性质进行化简求值。4.能利用对数的运算性质进行解方程及与指、幂函数的综合应用问题的解决。教学重难点1.重点：掌握对数的概念及对数条件2.难点：熟练掌握指对数形式的互化，准确利用对数的运算法则进行对数式子的化简与运算，会解决与对数相关的综合问题.知识点01对数概念1、对数的概念如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：____________．其中叫做对数的底数，叫做真数．2、对数（且）具有下列性质：（1）____________没有对数，即；（2）1的对数为0，即____________；（3）底的对数等于1，即____________．3、两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为．4、对数式与指数式的关系由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．【即学即练】1．已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．2．某企业研发一款新产品，计划第一年投入研发经费10万元，此后每年投入的研发经费比上一年增长．若第年的投入的研发经费首次超过20万元，则（

）（参考数据：）A．4 B．5 C．7 D．8知识点02对数的运算法则已知，（且，、）（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；________________________推广：（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；________________________（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；__________________【即学即练】1．已知正实数，满足，，，则的最大值是（

）A．1 B．2 C．4 D．82．设，则的大小关系为（

）A． B． C． D．知识点03对数公式1、对数恒等式：2、换底公式____________才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：（1）令，则有，，即，即，即：．（2），令，则有，则有即，即，即当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：．【即学即练】1．用计算器计算可知：，则的值所在的区间为（

）A． B． C． D．2．使式子有意义的x的取值范围是（

）A． B． C． D．题型01：对数的定义【典例1】已知为单调函数且对任意实数x都有，则（

）A． B． C． D．0对数式中各字母的取值范围是：且，，．【变式1】若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是．【变式2】定义在上的函数满足，则.【变式3】已知函数，给出下列四个结论：①在定义域上单调递增；②存在最大值；③不等式的解集是；④的图象关于点对称．其中所有正确结论的序号是（

）A．① B．①③ C．①④ D．①③④题型02：指数式与对数式互化及其应用【典例1】已知，则下列正确的是（

）A． B．C． D．以上均不正确对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.【变式1】已知函数则（

）A． B． C． D．【变式2】已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式3】设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（

）A． B． C． D．题型03：利用对数恒等式化简求值【典例1】若实数、、满足，则下列式子正确的是A． B．C． D． 对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.【变式1】求值：(1)；(2)．【变式2】设，且，利用对数的换底公式证明：(1)；(2)；(3)计算：若，求的值．【变式3】若，，则的值是（

）A．3 B． C． D．4题型04：积、商、幂的对数【典例1】计算下列各式的值或化简下列各式：(1)；(2)；(3).利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．【变式1】计算：(1)(2)【变式2】化简求值．(1)；(2)已知，若，求的值．【变式3】（1）求值：．（2）求方程的解．题型05：一类与对数有关方程的求解问题【典例1】已知函数．(1)解关于x的方程；(2)若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围．直接利用定义法或者换元法【变式1】解关于的方程：(1)(2)【变式2】解关于x的方程：．【变式3】已知是方程的两个实数根，则的值等于．题型06：对数运算法则的应用【典例1】已知，，且，其中所有正确结论的序号是．1．

2．

3．

4．（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来.【变式1】已知实数满足，则下列结论正确的是（

）A． B．C．的最小值为 D．的最大值为【变式2】设，则=.【变式3】已知函数且是定义在上的奇函数.(1)求实数的值；(2)若在上是增函数且满足，求实数的取值范围.题型07：换底公式的运用【典例1】已知则.（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．（3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用．【变式1】求下列各式的值.(1)；(2)；(3).【变式2】已知正实数满足．(1)①试用以k为底的一个对数表示；②若，求实数m的值；(2)若不等式恒成立，求实数t的最大值．【变式3】（1）求的值；（2）已知正数，满足，证明：．题型08：由已知对数求解未知对数式【典例1】已知，，用，表示．利用对数运算法则的应用进行转换【变式1】已知，，则【变式2】已知（），则.【变式3】已知，用表示为（

）A． B． C． D．题型09：证明常见的对数恒等式【典例1】已知为正实数，(1)若，求证:；(2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围.利用换底公式和作差法进行证明.【变式1】已知，求证：.【变式2】已知，求证：．【变式3】求满足下列条件的各式的值(1)若，求的值；(2)设，求证：.1．已知函数，则（

）A． B． C． D．2．若，则的值为（

）A． B． C． D．3．春天正值蝌蚪成长期，研究蝌蚪的科学家发现当蝌蚪成年变成青蛙后的游速（单位：）可以表示为，其中表示青蛙的耗氧量的单位数．当一只青蛙以的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为（

）A．2600 B．2700 C．2800 D．29004．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”我们把看作每天的“进步”率是0.01，一年后的值约为；把看作每天的“退步”率是0.01，一年后的值约为，此时一年后的“进步”值是“退步”值的倍.那么，大约经过（

）天，“进步”值是“退步”值的20倍.（参考数据：）A．130天 B．149天 C．120天 D．155天5．已知，则（

）A． B．C． D．6．已知，则（）A． B． C． D．7．已知正实数，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知函数，正实数满足，则的最小值为（

）．A．1 B．2 C．3 D．49．已知，，，则（

）A． B． C． D．10．已知，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．11．已知，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．12．已知是奇函数，是偶函数，且，则（