五年级数学倍数因数复习提纲

一、单元地位与复习目标“倍数与因数”是五年级数学的核心数论单元，是整数认识的深化与拓展，也是后续学习分数约分、通分、分数四则运算的基础工具。本单元复习需达成以下目标：1.准确理解因数、倍数、质数、合数、最大公因数、最小公倍数等概念的定义与逻辑关系；2.熟练掌握找因数、倍数的方法，以及2、3、5的倍数特征；3.能正确计算两个数的最大公因数（GCD）和最小公倍数（LCM）；4.避免常见易错点，提升应用概念解决实际问题的能力。二、核心知识点梳理（一）因数与倍数的基本概念1.定义：在整数除法中（除数\(b\neq0\)），若商是整数且无余数，则称\(a\)是\(b\)的倍数，\(b\)是\(a\)的因数（或约数）。例：\(12\div3=4\)，则12是3和4的倍数，3和4是12的因数。2.相互依存性：因数与倍数是成对出现的，不能单独说“12是倍数”或“3是因数”，必须表述为“12是3的倍数”或“3是12的因数”。3.0的特殊性：0是任何非0整数的倍数（如\(0\div5=0\)），但0没有因数（0不能做除数）。（二）因数与倍数的寻找方法1.找一个数的因数：方法：成对列举法（从1开始，依次试除，直到商与除数相等）。例：找18的因数——\(18\div1=18\)，\(18\div2=9\)，\(18\div3=6\)，\(18\div6=3\)（重复），故18的因数为\(1,2,3,6,9,18\)。注意：一个数的因数个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身。2.找一个数的倍数：方法：依次相乘（用这个数乘1,2,3,…）。例：找7的倍数——\(7\times1=7\)，\(7\times2=14\)，\(7\times3=21\)，…（无限延伸）。注意：一个数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。（三）2、3、5的倍数特征倍数类型特征举例2的倍数个位是0,2,4,6,8（偶数）12,34,505的倍数个位是0或515,20,453的倍数各位数字之和是3的倍数12（1+2=3）、36（3+6=9）组合特征：既是2又是5的倍数：个位是0（如20,30）；既是2又是3的倍数：个位是偶数且数字和是3的倍数（如12,24）；既是3又是5的倍数：个位是0或5且数字和是3的倍数（如15,30）；既是2、3又是5的倍数：个位是0且数字和是3的倍数（如30,60）。（四）质数与合数1.定义：质数（素数）：大于1的自然数，只有1和它本身两个因数（如2,3,5,7）；合数：大于1的自然数，除了1和它本身还有其他因数（如4,6,8,9）。2.1的特殊性：1既不是质数也不是合数（只有1个因数）。3.100以内质数表（需背诵）：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97（共25个）。（五）最大公因数（GCD）与最小公倍数（LCM）1.定义：最大公因数：几个数公有的因数中最大的一个（记作\((a,b)\)）；最小公倍数：几个数公有的倍数中最小的一个（记作\([a,b]\)）。例：12和18的公因数有1,2,3,6，故\((12,18)=6\)；公倍数有36,72,…，故\([12,18]=36\)。2.寻找方法：列举法：分别列出因数/倍数，找公共最大/最小（适用于小数）；分解质因数法：最大公因数：取各质因数的最小次幂相乘；最小公倍数：取各质因数的最高次幂相乘。例：\(12=2^2\times3\)，\(18=2\times3^2\)，则\((12,18)=2\times3=6\)，\([12,18]=2^2\times3^2=36\)；短除法：用公因数连续去除，直到商互质（只有公因数1），则：最大公因数=所有除数的乘积；最小公倍数=除数×商的乘积。例：12和18用短除法，除以2得6和9，再除以3得2和3（互质），故\((12,18)=2×3=6\)，\([12,18]=2×3×2×3=36\)。3.特殊情况：互质数（如5和7）：\((a,b)=1\)，\([a,b]=a×b\)；倍数关系（如12和6）：\((a,b)=\text{较小数}\)，\([a,b]=\text{较大数}\)。三、常见易错点提醒1.概念混淆：不能单独说“8是倍数”，需明确“8是2的倍数”；2.1的分类：易将1归为质数，记住1既不是质数也不是合数；3.3的倍数特征：误看个位（如认为13是3的倍数），应看数字和（1+3=4，不是3的倍数）；4.找因数遗漏：如找24的因数时漏掉1或24，需用成对列举法；5.倍数的无限性：不能说“最大的倍数是100”，倍数没有最大值；6.计算错误：短除法中，最大公因数是除数乘积，最小公倍数是除数×商乘积，不要混淆。四、典型例题解析1.找因数例：找出30的所有因数。解析：成对列举——\(30÷1=30\)，\(30÷2=15\)，\(30÷3=10\)，\(30÷5=6\)，故30的因数为\(1,2,3,5,6,10,15,30\)。2.找倍数例：写出40以内6的倍数。解析：\(6×1=6\)，\(6×2=12\)，\(6×3=18\)，\(6×4=24\)，\(6×5=30\)，\(6×6=36\)，\(6×7=42\)（超过40），故40以内6的倍数为\(6,12,18,24,30,36\)。3.2、3、5的倍数判断例：判断120是否是2、3、5的倍数。解析：个位是0→是2和5的倍数；数字和1+2+0=3→是3的倍数，故120是2、3、5的倍数。4.质数合数判断例：判断17、25、29是否为质数。解析：17只有1和17两个因数→质数；25有1,5,25三个因数→合数；29只有1和29两个因数→质数。5.最大公因数计算例：求16和24的最大公因数。解析：短除法——除以2得8和12，再除以2得4和6，再除以2得2和3（互质），故\((16,24)=2×2×2=8\)。6.最小公倍数计算例：求15和20的最小公倍数。解析：分解质因数——\(15=3×5\)，\(20=2^2×5\)，故\([15,20]=2^2×3×5=60\)。五、复习建议1.构建知识框架：用思维导图整理“因数与倍数→2、3、5的倍数特征→质数与合数→最大公因数与最小公倍数”的逻辑关系，明确各知识点的联系（如质数是因数个数为2的数，最大公因数用于分数约分）。2.背诵关键内容：熟练记忆100以内质数表、2、3、5的倍数特征（可通过“儿歌”辅助：“2的倍数看个位，0,2,4,6,8；5的倍数个位0或5；3的倍数看和数”）。3.针对性练习：重点练习易错点：如找因数（避免遗漏1或本身）、判断质数（注意1和偶数的特殊性）、计算最大公因数与最小公倍数（短除法步骤）；使用“错题本”：记录错误题目（如“把1当成质数”“3的倍数特征记错”），标注错误原因，反复巩固。4.联系实际应用：最大公因数：分糖果（每袋糖果数相同且无剩余，求每袋最多装多少颗）、剪正方形（用长方形纸剪最大正方形，边长是长和宽的最大公因数）；最小公倍数：相遇问题（两人同时出发，再次同时相遇的时间是速度的最小公倍数）、找共同时间（每周六、日休息，下次同时休息是6和7的最小公倍数42天）。5.互动复习：与同学互相出题（如“说出10以内的质数”“求12和18的