2024-2025学年辽宁省大石桥市中考数学真题分类（平行线的证明）汇编定向测试试卷（含答案详解）

辽宁省大石桥市中考数学真题分类（平行线的证明）汇编定向测试考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题16分）一、单选题（8小题，每小题2分，共计16分）1、用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°2、给定下列条件，不能判定三角形为直角三角形的是（

）A．∠A：∠B：∠C=1∶2∶3 B．∠A+∠B=∠CC． D．∠A=2∠B=3∠C3、如图，结合图形作出了如下判断或推理：①如图甲，如果，为垂足，那么点到的距离等于，两点间的距离；②如图乙，如果，那么；③如图丙，如果，，那么；④如图丁，如果，，那么．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4、如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，，，则的度数为（

）A． B． C． D．5、如图，和是分别沿着、边翻折形成的，若，则的度数为（

）A．100° B．90° C．85° D．80°6、如图点E在BC的延长线上，则下列条件中，不能判定ABCD的是（

）A．∠1＝∠2 B．∠B＝∠DCE C．∠3＝∠4 D．∠D+∠DAB＝180°7、如图，∠B+∠C+∠D+∠E―∠A等于（）A．180° B．240° C．300° D．360°8、如图，下列条件中，能判断直线a∥b的有（）个．①∠1＝∠4；②∠3＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠2+∠4＝180°A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷（非选择题84分）二、填空题（7小题，每小题2分，共计14分）1、如图，在△ABC中，AC=BC，∠ABC=54°，CE平分∠ACB，AD平分∠CAB，CE与AD交于点F，G为△ABC外一点，∠ACD=∠FCG，∠CBG=∠CAF，连接DG．下列结论：①△ACF≌△BCG；②∠BGC=117°；③S△ACE=S△CFD+S△BCG；④AD=DG+BG．其中结论正确的是_____________（只需要填写序号）．2、如图，给出下列条件：①；②；③；④；⑤．其中，一定能判定∥的条件有_____________（填写所有正确的序号）．3、如图，把一张直角△ABC纸片沿DE折叠，已知∠1＝68°，则∠2的度数为_______．4、将一副直角三角板如图放置，已知，，，则________°．5、如图，△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分线交于点M，∠ACB的角平分线与BM的反向延长线交于点N，若在△CMN中存在一个内角等于另一个内角的2倍，则∠A的度数为_______6、将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5=__．7、如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA的延长线上，DE交AC于点F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC＝70°，则∠D＝______．三、解答题（7小题，每小题10分，共计70分）1、在四边形ABCD中，，．(1)如图①，若，求出的度数；(2)如图②，若的角平分线交AB于点E，且，求出的度数；(3)如图③，若和的角平分线交于点E，求出的度数．2、如图，，．(1)试说明；(2)若，且，求的度数．3、如图，平分，与相交于F，，求证：．4、如图，ABCD，垂足为O，点P、Q分别在射线OC、OA上运动（点P、Q都不与点O重合），QE是∠AQP的平分线．(1)如图1，在点P、Q的运动过程中，若直线QE交∠DPQ的平分线于点H．①当∠PQB＝60°时，∠PHE＝°；②随着点P、Q分别在OC、OA的运动，∠PHE的大小是否是定值？如果是定值，请求出∠PHE的度数；如果不是定值，请说明理由；(2)如图2，若QE所在直线交∠QPC的平分线于点E时,将△EFG沿FG折叠，使点E落在四边形PFGQ内点E′的位置，猜测∠PFE′与∠QGE′之间的数量关系，并说明理由．5、已知：如图，A、F、C、D在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，求证：(1)BC＝EF；(2)BC∥EF．6、用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．7、已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据反证法的证明步骤解答即可．【详解】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即每一个内角都大于60°．故选：D．【考点】本题考查反证法，熟知反证法的证明步骤，正确得出原结论的反面是解答的关键．2、D【解析】【分析】根据三角形的内角和等于180°求出最大角，然后选择即可．【详解】解：A、最大角∠C=×180°=90°，是直角三角形，不符合题意；B、最大角∠C=180°÷2=90°，是直角三角形，不符合题意；C、设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，所以，x+2x+3x=180°，解得x=30°，最大角∠C=3×30°=90°，是直角三角形，不符合题意；D、设∠A=x，则∠B=x，∠C=x，所以，，解得，是钝角三角形，符合题意．故选：D．【考点】本题考查了三角形的内角和定理，求出各选项中的最大角是解题的关键．3、B【解析】【分析】根据点到直线的距离及两点间的距离的定义可判断①；根据平行线的性质及三角形的外角的性质可判断②；根据平行线的判定可判断③；根据平行线的判定与性质可判断④．【详解】解：①由于直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故正确；②设AB与DE相交于点O．∵AB∥CD，∴∠AOE=∠D．又∵∠AOE＞∠B，∴∠D＞∠B，故错误；③∵∠ACD=∠CAB，∴AB∥CD，，故错误；④∵∠1=∠2，∴AD∥BC，∴∠D+∠BCD=180°，又∵∠D=120°，∴∠BCD=60°，故正确．故选：B．【考点】本题主要考查了点到直线的距离的定义，平行线的判定与性质，三角形的外角的性质，正确理解相关概念和性质是解本题的关键．4、B【解析】【分析】由三角形的内角和，得，由邻补角的性质得，根据折叠的性质得，即，所以，．【详解】解：∵，∴，∴，由折叠的性质可得：，∴，∵，∴，即．故选B．【考点】本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质、折叠的性质，熟悉掌握三角形的内角和为，互为邻补角的两个角之和为以及折叠的性质是本题的解题关键．5、A【解析】【分析】先根据三角形的内角和定理易计算出∠1=130°，∠2=35°，∠3=15°，根据折叠的性质得到∠1=∠BAE=130°，∠E=∠3=15°，∠ACD=∠E=15°，可计算出∠EAC，然后根据∠α+∠E=∠EAC+∠ACD，即可得到∠α=∠EAC．【详解】解：设∠3=3x，则∠1=26x，∠2=7x，∵∠1+∠2+∠3=180°，∴26x+7x+3x=180°，解得x=5°．∴∠1=130°，∠2=35°，∠3=15°．∵△ABE是△ABC沿着AB边翻折180°形成的，∴∠1=∠BAE=130°，∠E=∠3=15°．∴∠EAC=360°-∠BAE-∠BAC=360°-130°-130°=100°．又∵△ADC是△ABC沿着AC边翻折180°形成的，∴∠ACD=∠E=15°．∵∠α+∠E=∠EAC+∠ACD，∴∠α=∠EAC=100°．故选：A．【考点】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了三角形的内角和定理以及周角的定义．6、C【解析】【分析】根据平行线的判定定理进行逐一分析解答即可．【详解】解：A、正确，符合“内错角相等，两条直线平行”的判定定理；B、正确，符合“同位角相等，两条直线平行”的判定定理；C、错误，若∠3=∠4，则AD∥BE；D、正确，符合“同旁内角互补，两条直线平行”的判定定理；故选：C．【考点】本题考查的是平行线的判定定理，比较简单．7、A【解析】【分析】根据三角形的外角的性质，得∠B+∠C=∠CGE=180°-∠AGF，∠D+∠E=∠DFG=180°-∠AFG，两式相加再减去∠A，根据三角形的内角和是180°可求解．【详解】∵∠B+∠C=∠CGE=180°-∠AGF，∠D+∠E=∠DFG=180°-∠AFG，∴∠B+∠C+∠D+∠E-∠A=360°-（∠AGF+∠AFG+∠A），又∵∠AGF+∠AFG+∠A=180°，∴∠B+∠C+∠D+∠E-∠A=180°，故选A．【考点】本题考查了三角形外角的性质、三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角的性质以及三角形内角和等于180度是解题的关键．8、C【解析】【分析】根据平行线的判定方法，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：①∵∠1＝∠4，∴a∥b（内错角相等，两直线平行）；②∵∠3＝∠5，∴a∥b（同位角相等，两直线平行），③∵∠2+∠5＝180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）；④∠2和∠4不是同旁内角，所以∠2+∠4=180°不能判定直线a∥b．∴能判断直线a∥b的有①②③，共3个．故选C．【考点】本题考查了平行线的判定，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行，解题时要认准各角的位置关系．二、填空题1、①②④【解析】【分析】根据条件求得∠BAC=∠ABC=54°，∠ACB=72°，∠ACE=∠BCE=36°，∠CAF=∠BAF=27°，利用ASA证明△ACF≌△BCG，再根据SAS证明△CDF≌△CDG，据此即可推断各选项的正确性．【详解】解：在△ABC中，AC=BC，∠ABC=54°，∴∠BAC=∠ABC=54°，∠ACB=180°-54°-54°=72°，∵AC=BC，CE平分∠ACB，AD平分∠CAB，∴∠ACE=∠BCE=∠ACB=36°，∠CAF=∠BAF=∠BAC=27°，∵∠ACD=∠FCG=72°，∴∠BCG=∠FCG-36°=36°，在△ACF和△BCG中，，∴△ACF≌△BCG(ASA)；故①正确；∴∠BGC=∠AFC=180°-36°-27°=117°，故②正确；∴CF=CG，AF=BG，在△CDF和△CDG中，，∴△CDF≌△CDG(SAS)，∴DF=DG，∴AD=DF+AF=DG+BG，故④正确；∵S△CFD+S△BCG=S△CFD+S△ACF=S△ACD，而S△ACE不等于S△ACD，故③不正确；综上，正确的是①②④，故答案为：①②④．【考点】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，2、①③④【解析】【分析】根据平行线的判定方法对各小题判断即可解答．【详解】①∵，∴∥（同旁内角互补，两直线平行），正确；②∵，∴∥，错误；③∵，∴∥（内错角相等，两直线平行），正确；④∵，∴∥（同位角相等，两直线平行），正确；⑤不能证明∥，错误，故答案为：①③④．【考点】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解答的关键．3、46°【解析】【分析】由题意得∠C′＝90°，由折叠得∠CDE＝∠C′DE，那么∠CDE＝180°﹣∠1＝112°，故∠C′DE＝∠C′DA+∠1＝112°，进而推断出∠C′DA＝112°﹣68°＝44°，从而求得∠2．【详解】解：由题意得：∠C′＝90°，由折叠得∠CDE＝∠C′DE．∵∠1＝68°，∴∠CDE＝180°﹣∠1＝112°．∴∠C′DE＝∠C′DA+∠1＝112°．∴∠C′DA＝112°﹣68°＝44°．∴∠2＝180°﹣∠C′﹣∠C′DA＝46°．故答案为：46°．【考点】本题考查了三角形折叠问题和三角形内角和，解题关键是根据折叠得出角相等，利用三角形内角和求解．4、105【解析】【分析】根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．【详解】，，，∵∠E=60°，∴∠F=30°，故答案为：105【考点】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．5、或或【解析】【分析】根据，的角平分线交于点，可求得，延长至，根据为的外角的角平分线，可得是的外角的平分线，根据平分，得到，则有，可得，可求得；再根据，分四种情况：①；②；③；④，分别讨论求解即可．【详解】解：外角，的角平分线交于点，∴；如图示，延长至，为的外角的角平分线，是的外角的平分线，，平分，，，，即，又，∴，即；;如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①，则，；②，则，，；③，则，解得；④，则，解得．综上所述，的度数是或或．【考点】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．6、40°【解析】【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠6+∠7的度数，进而得出答案．【详解】如图所示：∠1+∠2+∠6=180°，∠3+∠4+∠7=180°，∵∠1+∠2+∠3+∠4=220°，∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7=360°，∴∠6+∠7=140°，∴∠5=180°-（∠6+∠7）=40°．故答案为40°．【考点】主要考查了三角形内角和定理，正确应用三角形内角和定理是解题关键．7、34°##34度【解析】【分析】根据题意先求∠DAC，再依据△ADF三角形内角和180°可得答案．【详解】解：∵∠B=46°，∠C=30°，∴∠DAC=∠B+∠C=76°，∵∠EFC=70°，∴∠AFD=70°，∴∠D=180°-∠DAC-∠AFD=34°，故答案为：34°．【考点】本题考查三角形内角和定理及三角形一个外角等于不相邻的两个内角的和，解题的关键是掌握三角形内角和定理．三、解答题1、(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）利用四边形内角和进行角的计算即可；（2）利用四边形内角和及角平分线的计算得出，再由三角形外角的性质求解即可；（3）利用角平分线得出，，结合三角形内角和定理即可得出结果．(1)解：∵四边形的内角和是360°，，∴∵∴(2)∵，，∴，∵CE平分∴∵∴(3)∵BE，CE分别平分和∴，∴∴在中，．【考点】题目主要考查四边形内角和及平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．2、(1)见解析(2)35°【解析】【分析】（1）根据，可得BM∥CN，从而得到∠CBM=∠BCN，再由，可得∠ABC=∠BCD，即可求证；（2）根据对顶角相等可得∠ABD=110°，再由三角形的内角和定理可得∠BAD=35°，然后根据AB∥CD，即可求解．(1)解：∵，∴BM∥CN，∴∠CBM=∠BCN，∵，∴∠3+∠CBM=∠4+∠BCN，即∠ABC=∠BCD，∴AB∥CD；(2)解：∵∠ABD=∠EBF，，∴∠ABD=110°，∴∠BAD+∠BDA=70°，∵，∴∠BAD=35°，∵AB∥CD，∴∠ADC=∠BAD=35°．【考点】本题主要考查了平行线的性质和判定，对顶角的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质和判定，对顶角的性质，三角形的内角和定理是解题的关键．3、见解析【解析】【分析】由AB∥CD，可知∠1=∠CFE；由AE平分∠BAD，得到∠1=∠2，再由已知可得∠2=∠E，即可证明AD∥BC．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠1=∠CFE，∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵∠CFE=∠E，∴∠2=∠E，∴AD∥BC．【考点】本题考查角平分线的性质以及平行线的判定定理．关键是利用平行线的性质以及角平分线的性质解答．4、(1)①45°；②∠PHE

是一个定值，∠PHE

=45°，理由见解析(2)，理由见解析【解析】【分析】（1）①先根据垂直的定义求出∠POQ=90°，即可利用三角形内角和定理和邻补角的定义求出∠QPO=30°，∠AQP=120°，再由角平分线的定义分别求出，，最后根据三角形外角的性质求解即可；②同①方法求解即可；（2）如图所示，连接，先求出∠CPQ+∠PQA=270°，再由角平分线的定义求出，则∠PEQ=45°，由折叠的性质可知，进而推出即可得到答案．(1)解：①∵AB⊥CD，∴∠POQ=90°，∴∠PQO+∠QPO=90°，∵∠PQB=60°，∴∠QPO=30°，∠AQP=120°，∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，∴，，∴，故答案为：45；②∠PHE是一个定值，∠PHE=45°，理由如下：∵AB⊥CD，∴∠POQ=90°，∴∠PQO+∠QPO=90°，∴∠QPO=90°-∠PQO，∠AQP=180°-∠PQO，∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，∴，，∴；(2)解：，理由如下：如图所示，连接，∵AB⊥CD，∴∠POQ=90°，∴∠PQO+∠QPO=90°，∵∠CPQ+∠QPO=180°，∠PQA+∠PQO=180°，∴180°-∠CPQ+180°-∠PQA=90°，∴∠CPQ+∠PQA=270°，∵QE，PE分别平分∠PQA，∠CPQ，∴，∴，∴∠PEQ=180°-∠EPQ-∠EQP=45°，由折叠的性质可知，∵，∴，∴，∵，∴．【考点】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，邻补角，熟知三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键．5、(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．（2）根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可．(1)证明：（1），，，，在与中，，．(2)（2），，