人教A版高二寒假作业06综合训练1

人教A版高二寒假作业6：综合训练1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(2024·江苏省苏州市·联考题)斜率为−43，且经过点1,−1的直线方程为(

)A.4x+3y+1=0 B.4x+3y−1=0 C.4x−3y−7=0 D.4x−3y−1=02.(2024·河南省南阳市·月考试卷)已知a=(2,0,2)，b=(3,0,0)分别是平面α，β的法向量，则平面α，β交线的方向向量可以是(

)A.(1,0,0) B.(0,1,0) C.(0,0,1) D.(1,1,1)3.(2024·江苏省·同步练习)若x=1是函数f(x)=13x3+(a+1)xA.−2 B.3 C.−2或3 D.−3或24.(2024·福建省·期末考试)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4=0A.an=2n−5 B.an=3n−10 C.5.(2024·江苏省苏州市·联考题)已知P是双曲线x216a2−y29a2=1a>0上的点，F1A.2 B.22 C.26.(2024·广西壮族自治区·模拟题)在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA.15 B.56 C.7.(2023·广西壮族自治区·期末考试)直线3x+4y=b与圆x2+y2−2x−2y+1=0相切，则A.−2或12 B.2或−12 C.−2或−12 D.2或128.(2024·湖北省·联考题)已知圆C1:(x+2)2+(y−1)2=1，圆C2:(x−2)2+(y−3)2=4，MA.42−3 B.25−3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.(2024·河北省沧州市·月考试卷)下列结论错误的是(

)A.直线(3+m)x+4y−3+3m=0(m∈R)恒过定点(−3,−3)

B.直线3x+y+1=0的倾斜角为150°

C.圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l:x−y+2=010.(2024·江苏省·模拟题)若a=lnb+1，c=ebA.a≤b B.c≤b C.a<c D.b<c11.(2024·云南省昆明市·期末考试)设椭圆x29+y23=1的右焦点为F，直线y=m(0<m<A.|AF|+|BF|为定值 B.△ABF的周长的取值范围是[6,12]

C.当m=32时，△ABF为直角三角形 D.当m=1时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(2023·天津市市辖区·期末考试)已知两点P1(9,4)，P2(3,6)，则以线段13.(2024·山东省·单元测试)设F1、F2是双曲线x2−y224=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且14.(2024·广东省·单元测试)已知函数f(x)=lnx,x>02x+1,x⩽0若方程f(x)=ax有三个不同的实数根，则a的取值范围是

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(2024·重庆市·联考题)(本小题13分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，(1)求数列{an(2)求Sn的最小值及取得最小值时n的值．16.(2024·江苏省苏州市·联考题)(本小题15分)已知⊙C:(x−a)2+(y−b)2=r2(0<a<2,r>0)与两坐标轴均相切，且过点(2,1)(1)求圆C的方程；(2)若2SΔPAC=SΔPBC，求直线17.(2024·江苏省盐城市·月考试卷)(本小题15分)

如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

(1)证明：PB //平面AEC；

(2)设PA=1，∠ABC=60°，三棱锥E−ACD的体积为38，求二面角D−AE−C的余弦值．18.(2024·广东省·月考试卷)(本小题17分)已知函数fx=xln(1)若fx存在单调递增区间，求a(2)若x1，x2(x1<19.(2024·河北省承德市·联考题)(本小题17分)已知A−3,1，B，M是椭圆C上的三点，其中A、B两点关于原点O对称，直线MA和(1)求椭圆C的标准方程；(2)点Q是椭圆C长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q作斜率不为0的直线l，l与椭圆的两个交点分别为P、N，若1PQ+1QN为定值，则称点Q为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有的“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由．1.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了直线的点斜式方程，是基础题．

解题时直接根据点斜式方程求解即可．【解答】

解：因为直线经过点(1,−1)，且斜率为−43，

代入点斜式方程得y+1=−43(x−1)，

化简整理得

4x+3y−1=02.【答案】B

【解析】【分析】本题考查求直线的方向向量，属于基础题．

设方向向量为m=(x,y,z)，利用m【解答】

解：设平面α，β交线的方向向量为m=(x,y,z)，

则m·a=2x+2z=0m·3.【答案】B

【解析】【分析】本题考查函数的极值，属于基础题．

将函数求导，令x=1，求出a的值，再代入检验，从而得到a的值．【解答】

解：f′(x)=x2+2(a+1)x−(a2+a−3)，

所以f′(1)=1+2a+2−a2−a+3=0,即a2−a−6=0，

解得a=−2或a=3，

当a=−2时，f′(x)=x2+2(a+1)x−(x(−∞,−9)−9(−9,1)1(1,+∞)f+0−0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以x=1是函数f(x)=13x3+(a+1)4.【答案】A

【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式，属于基础题．

根据题意，设等差数列{an}的公差为d，则有4【解答】

解：设等差数列{an}的公差为d，

由S4=0，a5=5，

得4a1+6d=0a1+4d=55.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、勾股定理，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．

不妨设点P在双曲线的右支上．设|PF1【解答】

解：不妨设点P在双曲线的右支上．由PF1⋅PF2=0得PF1⊥PF2，设|PF1|=m6.【答案】C

【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，属于基础题．

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线AD【解答】

解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

∵在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=3，

∴A(1,0,0)，D1(0,0,3)，D(0,0,0)，B1(1,1,3)，

AD1=(−1,0,7.【答案】D

【解析】【分析】本题考查圆的切线方程，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题．

化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径，列式求得b值．

【解答】解：由圆x2+y2−2x−2y+1=0，化为标准方程为(x−1)2+(y−1)2=1，

∴圆心坐标为(1,1)，半径为1，

∵直线3x+4y=b与圆x2解得b=2或b=12．

故选D．8.【答案】A

【解析】【分析】本题考查圆的对称圆方程、与圆有关的最值问题，两点距离公式的应用问题，也考查了转化思想与计算能力，数形结合思想的应用问题．

根据题意画出图形，结合图形，求出圆

C1关于x轴的对称圆C1′的方程，再求出圆C1′与圆

【解答】

解：圆C1:(x+2)2+(y−1)2=1，圆心为C1(−2,1)，半径r1=1，

圆C2:(x−2)2+(y−3)2=4，圆心为C2(2,3)，半径为r2=2，

如图：

圆C1关于x轴的对称圆为圆C1′:(x+2)2+(y+19.【答案】ABD

【解析】【分析】本题主要考查直线系过定点的求法，以及直线与圆、直线的倾斜角的应用，属于中档题．

选项A:直线方程化为m(x+3)+3x+4y−3=0，即可判断，

选项B：求出斜率判断倾斜角即可，

选项C:根据圆心到直线的距离与半径作比较，判断直线和圆的位置关系，即可判断，

选项D：分别讨论截距为0和非0的情况即可．【解答】

解：对于A，直线方程可化为m(x+3)+3x+4y−3=0，

令x+3=0，3x+4y−3=0，则x=−3，y=3，

所以直线恒过定点(−3,3)，故A错误；

对于B，直线3x+y+1=0化简成y=−3x−1，

斜率k=−3，

所以倾斜角为120°，故B错误；

对于C，因为圆心(0,0)到直线l:x−y+2=0的距离等于1，

所以直线l与圆相交，而圆的半径为2，

故到直线l距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，

因此圆上有三个点到直线l:x−y+2=0的距离等于1，故C正确;

对于D，当直线l截距为0时，设l的方程为y=kx，直线与圆(x−2)2+y2=2相切，

d=2k1+k2=2，解得k=±1，则直线的方程为x±y=0，

当直线l截距不为0时，设l的方程为xa+ya=1，即x+y−a=0，

10.【答案】ACD

【解析】【分析】本题考查利用导数比较大小，属于基础题．

构造函数f(x)=lnx−x+1，【解答】

解：a−b=lnb−b+1，

构造函数f(x)=lnx−x+1，f′(x)=1x−1，

所以f(x)在(0,1]单调递增，在(1,+∞)单调递减，

所以f(x)≤f(1)=0，a≤b，

c−b=eb−b−1，

构造函数g(x)=ex−x−1，g′(x)=ex−1，

因为x>0时，g′(x)>0，

所以g(x)在11.【答案】ACD

【解析】【分析】本题考查椭圆的性质，椭圆与直线的位置关系．考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．

利用椭圆的性质以及定义，直线与椭圆的位置关系，向量的数量积以及三角形的面积，分析判断选项的正误即可．【解答】

解：设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|=|BF|，

所以|AF|+|BF|=|AF|+|AF′|为定值6，A正确；

△ABF的周长为|AB|+|AF|+|BF|，

因为|AF|+|BF|为定值6，易知|AB|的范围是(0,6)，

所以△ABF的周长的范围是(6,12)，B错误；

将y=32与椭圆方程联立，

可解得A−332,32,B332,32，又易知F6,0，

所以AF·BF=12.【答案】(x−6)【解析】【分析】本题考查了圆的标准方程，属于基础题．

根据中点坐标公式求出圆心坐标，根据两点间距离公式求出半径，再代入圆的标准方程可得结果．【解答】

解：依题意可得圆心坐标为

(6,5)

，

半径为

12(9−3所以以线段

P1P2

为直径的圆的标准方程为：

故答案为：

(x−6)213.【答案】24

【解析】【分析】本题考查双曲线的性质和应用，考查三角形面积的计算，属于基础题．

先由双曲线的方程求出|F1F2|=10，再由3|PF1【解答】

解：双曲线x2−y224=1的两个焦点F1(−5,0)，F2(5,0)，|F1F2|=10，

由3|PF1|=4|PF2|，设|PF2|=x，则|PF1|=4314.【答案】(0,1【解析】【分析】本题考查了函数零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．

令直线y=ax与f(x)的函数图象有三个交点，利用导数的几何意义求出切线斜率，从而得出a的范围．【解答】

解：∵f(x)=ax有三个不同的实数根，∴f(x)的图象与直线y=ax有3个交点，

作出f(x)的图象如图所示：

设y=kx与曲线y=lnx相切，切点为(x0,y0)，

则1x0=ky0=kx0y0=ln15.【答案】解：(1)设等差数列an的公差为d由a4=−2，S10=25，得a1+3d=−2，10a所以an(2)方法一：由d=3知an当n≤4时，an<0；当n≥5时，所以S1>S2所以当n=4时，Sn最小，最小值为S方法二：Sn又n∈N∗，所以当n=4时，Sn

【解析】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，等差数列前n项和的最值问题，属于中档题．

(1)根据等差数列的通项公式和求和公式列方程，解方程得到a1=−11，(2)方法一：根据等差数列的性质求最小值即可；方法二：根据前n项和的函数性质求最小值．16.【答案】解：(1)因为

⊙C

与两坐标轴均相切，且过点

(2,1)

，

∴a=b=r，则

(2−a)2+(1−a)2=∴a=1

或

a=5

，又

0<a<2

，故

a=1

，则

⊙C

的方程为

(x−1)(2)

∵2SΔPAC=SΔPBC

，

∴A

作

CD⊥AB

于

D

，设

AD=m

，

CD=d

则故

m2+d2=r2=1(3m)设

l:y−1=k(x+1)

，即

kx−y+k+1=0

，则圆心

C(1,1)

到

l

的距离为

d=2k1+k2=104

，得

【解析】本题考查圆的方程、直线与圆的位置关系应用，以及圆中的面积问题，属于一般题，

(1)由题意得a=b=r，代入点(2,1)，求解即可；

(2)由面积以及勾股定理得圆心到直线的距离d=17.【答案】(1)证明：连接BD交AC于点O，连接OE，

∵底面ABCD为菱形，

∴O为BD的中点，

又E为的PD的中点，

∴EO//PB，

∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，

∴PB/​/平面AEC；

(2)解：由题可知VE−ACD=38，

则VP−ABCD=2VE−ABCD=4VE−ACD=32，

设菱形ABCD的边长为a，

则VP−ABCD=13S菱形ABCD×PA=13×(2×34a2)×1=32，

则a=3，

取BC中点M，连接AM，以点A为坐标原点，分别以AM，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(0,3,0)，A(0,0,0)，E(0,32,12)，C(【解析】本题考查线面平行的判