云南省曲靖市会泽县2024-2025学年高二下学期期末教学质量检测数学试题（解析版）

第1页/共1页会泽县2024-2025学年春季学期教学质量检测高二数学试题卷（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效．3．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合,,则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解出集合的对数不等式，再利用交集运算即可.【详解】由题可得：，所以，解得，所以，所以.故选：A.2.复数，则复数在复平面对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算求出，进而求出该复数对应点的坐标.【详解】依题意，，所以复数对应点坐标为，该点在第四象限.故选：D3.向量，若，则（）A. B.1 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由向量的坐标运算求解即可.【详解】因为，所以，所以，则.故选：B.4.函数与在内的交点个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】画出函数与在内的图象，数形结合即可判断求解.【详解】画出函数与在内的图象.由图象可知，两个函数有4个交点．故选：B5.等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（）A9或10 B.8 C.9 D.10或11【答案】A【解析】【分析】根据已知条件求出，把表示为关于n的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．【详解】，∴，关于n的二次函数，其对称轴为，∵，∴当或时，最大．故选：A．6.在中，内角所对的边分别为，则的值为（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】结合三角形面积公式和正弦定理对已知条件进行处理，再利用切化弦和正弦和角公式化简要求的式子，从而可得答案．【详解】，得，又∴．故选：C．7.已知圆，点，点，点，点在圆上运动，点满足（O为坐标原点），则点到直线距离的最大值为（）A.8 B. C. D.6【答案】B【解析】【分析】根据题意先解出直线的方程，再设点，然后根据已知条件解出点的轨迹方程，即可得到结果.【详解】由点得.设，由已知且，所以.又点在上，得，故点轨迹为以为圆心，半径的圆，则点到直线距离为，所以点到直线距离的最大值为.故选：B.8.某社区开展防疫值班工作，甲乙丙三人轮流参与，规则如下：①第1天安排甲值班；②第2天从乙丙两人中随机选1人值班；③第天，从前一天未值班的2人中随机选1人值班，则第天甲值班的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设事件：甲第天值班，，则，设，则，构造等比数列即可求解．【详解】设事件：甲第天值班，，则，设，则，，又，是首项为，公比为的等比数列，，故选：C．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.统计学中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布（单位：毫米），则下列说法正确的是（）（参考数据：，）A.B.若，则C.D.若抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，应对生产线进行检修【答案】ABD【解析】【分析】根据正态分布概念可判断A；根据正太分布的对称性可判断BC；根据题设原则计算概率进行比较可判断D．【详解】A选项：由题可得均值，方差，故A正确；B选项：与关于对称，，故B正确；C选项：∵，∴，∵，∴，∴，故C错误；D选项：根据原则，零件长度大于42的概率应该小于，现在抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，其概率为，这远远大于，故应该对生产线进行检修，故D正确．故选：ABD．10.过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，自两点向准线作垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（）A.的最小值为B.以为直径的圆与直线相切C.D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】根据题目条件和抛物线的性质，逐一判断选项，即可得出结果.【详解】根据题意抛物线为开口向右的抛物线，，焦点，准线为，设.对于A，直线过最短的弦为通径，所以A错误；对于B，以为直径的圆，圆心为的中点，半径，圆心到准线的距离，又，即，故圆与直线相切，所以B正确；设直线的方程为，且有，，联立得，则，，所以，所以C正确；设直线的倾斜角为，若，因为，所以，所以，同理若，则，所以，所以D正确．故选：BCD．11.已知正方体棱长为2，点在底面内运动，则（）A.三棱锥体积为定值B.二面角为定值C.直线与平面所成角的正弦值取值范围为D.的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】利用三棱锥的体积公式即可求解选项；利用空间向量求二面角的方法即可判断选项，利用线面角的定义即可判断选项,利用作对称点的方法即可求解选项.【详解】对于选项，，点到平面的距离，所以，则正确；对于选项,以坐标原点，分别以,,为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，平面的法向量为，其中，,,则，，设平面的法向量为，则，令，则，，即，设，由此可知二面角不为定值，故错误；对于选项，设与平面的夹角为，当点在所在的直线上时，平面，此时夹角最小，，过点作平面的垂线，垂足为，即为直线与平面所成角，当点和点重合时最大，设点到平面的距离为，由得，解得，即，则直线与平面所成角的正弦值取值范围为，则正确；对于选项，若关于点的对称点，,当且仅当三点共线时等号成立，则，则正确；故选：.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.二项式的展开式中的常数项为________．【答案】60【解析】【分析】利用展开式的通项公式，可求常数项.【详解】展开式的通项为．令，得，则的常数项为．故答案为：．13.某次志愿者活动需分配4名大学生和2名老师（甲、乙）排成一列合影．要求大学生与必须相邻，两名老师不能相邻，则满足条件的排列方式共有___________种．【答案】144【解析】【分析】先对进行捆绑，再与全排，最后用插空法求解即可.【详解】由题知，先把学生与进去捆绑有种，再与进行全排，有种，最后把2名老师插入4个空中，有种，所以共有.故答案为：144.14.已知函数，直线与有两个交点，交点横坐标分别为，且，则的最小值为___________．【答案】1【解析】【分析】由题知，与图象有两个交点，则，然后解得，则，令，再利用导数求最值即可.【详解】如图所示由与图象有两个交点，得，，设，则，令，，所以在单调递增，则，即，则在单调递减，所以，即的最小值为1.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.2025年，教育部推广“人工智能线上课程”试点应用．某中学随机抽取100名学生（男生与女生的人数之比为）对该线上课程进行评分（满分100分）．规定：评分不低于80分视为满意．其得分情况的频率分布直方图如图所示，已知评分不低于70分的频率为0.85．（1）估计100名学生对人工智能线上课程评分的平均值；（每组数据用该组的区间中点值为代表）（2）结合频率分布直方图，请完成以下列联表，并回答能否有的把握认为对“人工智能线上课程是否满意与性别有关”．性别态度满意不满意合计男生

女生

10

合计

100，其中．0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1）80（2）列联表见解析，有的把握认为对“人工智能线上课程是否满意与性别有关”【解析】【分析】（1）结合频率分布直方图，根据评分不低于70分的频率为0.85即可列式求出a，b；再根据平均数的求解即可求解；（2）完成列联表，求出与表格中数据对比即可判断．【小问1详解】由已知得，解得，又，解得，评分的平均值为．【小问2详解】不满意的学生人数为人，完成列联表如下表：态度性别满意不满意合计男生253560女生301040合计5545100则，有的把握认为对“人工智能线上课程是否满意与性别有关”．16.给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“固点”．经研究发现所有的三次函数都有“固点”，且该“固点”也是函数的图象的对称中心．根据以上信息和相关知识回答下列问题：已知三次函数．（1）当时，求的对称中心；（2）若函数存在极大值与极小值，，求的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题设求出，令即可求解；（2）求并令，求出，根据已知条件确定的范围，从而可求解．【小问1详解】时，，∴，∴，令得，，又，对称中心；【小问2详解】，令，得，∵为极大值，为极小值，，则，随x的变化如下：x02＋0－0＋极大值极小值∵，，，的值域为．17.四棱锥底面为菱形，底面，点在上，．（1）证明：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）证明平面即可；（2）取的中点，连接，以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量公式即可求解．【小问1详解】连接与交于点，在菱形中，，底面平面，平面，，平面，平面；【小问2详解】取的中点，连接，为中点，中，，底面底面，以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，，，设，，即，由此可求，设平面，平面的法向量分别为，，∴即取；同理，即，取；设二面角的平面角为，则，二面角为锐二面角，二面角的余弦值为．18.椭圆的左、右焦点分别为，且，设不过原点的直线与椭圆交于两点连接．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线，，之间的斜率，，成等比数列，求面积的取值范围；（3）直线交椭圆于两点，将平面沿轴翻折，使轴负半轴和轴所确定的半平面与平面垂直，如图2所示，连接，求三棱锥外接球表面积的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题意列方程求解即可；（2）设直线，联立得到，由斜率，，成等比数列，可得，求出原点到直线的距离为，即弦长，再表示出三角形的面积，结合二次函数特性求范围即可；（3）由题知，直线过也在曲线上，不妨设为点，则，建立空间直角坐标系，可求外心为，再设三棱锥外接球球心，再利用求得，继而得到，结合基本不等式求最值即可.【小问1详解】由题意，，由得，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】设直线联立，，成等比数列，，整理得：，由，得·设原点到直线的距离为，则，，又，，令，则，二次函数在值域为（0，1），所以.【小问3详解】直线由（2）可得的坐标，将椭圆上半部分沿轴翻折，使得平面平面，翻折后建立如图所示空间直角坐标系，点移至，设等腰三角形外接圆圆心，由对称性和可得，，设外接球球心平面，所以，，设，球心到点和距离相等，，①，令，代入①得，，令，则，，当且仅当时，，所以最小值为4，则三棱锥外接球表面积的最小值.19.已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足（1）证明：数列是等比数列；（2）设，数列的前项和；①求；②若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）①