福建省厦门市2024-2025学年高中毕业班第一次质量检测数学试卷（解析版）

第1页/共1页厦门市2025届高中毕业班第一次质量检测数学试题2025.1本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据已知化简复数得出对应点的坐标进而判断选项.【详解】，所以对应的点为，位于第二象限，故选：B．2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集定义计算判断即可.【详解】集合集合，，所以，故选：A．3.已知等轴双曲线C的焦点到其渐近线的距离为1，则C的焦距为（）A. B.2 C. D.4【答案】C【解析】【分析】根据等轴双曲线，结合点到直线距离公式计算得出焦距.【详解】设等轴双曲线的焦距为2c，设焦点坐标为，渐近线为因为焦点到其渐近线的距离为，又因为，所以，双曲线的焦距为，故选：C．4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】根据线面平行的性质判断A的真假；根据线面平行的判定判断B的真假；根据线面垂直的判定判断C的真假；根据线面垂直的性质判断D的真假.【详解】若，则m，n平行或异面，A选项错误；若，则或，B选项错误；若，则m，不一定垂直，也可能平行或相交，C选项错误；若，，则，D选项正确.故选：D5.已知随机变量X服从正态分布，若，且，则（）A.-1 B. C.0 D.【答案】C【解析】【分析】根据正态分布的对称性，即可求得答案.【详解】由题意知随机变量X服从正态分布，，如图所示，结合，得，可知关于对称，所以，解得，故选：C．6.已知，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题运用两角和正切公式转化，再结合同角三角函数的基本关系化简式子，结合已知条件判断式子特征以简化等式，最后通过对常见三角恒等式的变形运用，建立与的联系从而得出结果即可.【详解】由两角和的正切公式得，由同角三角函数的基本关系得，，故，因为，所以，因为，所以，故，则得到，解得，故，而，则，解得，故C正确.故选：C7.过抛物线C：的焦点F的直线l交C于A，B两点，交直线于点P，若，则与的面积之比为（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】求出抛物线的准线，过点作出准线的垂线段，利用抛物线定义，结合几何图形求解.【详解】抛物线C：的焦点，准线方程为，过A，B分别作直线的垂线，垂足分别为M，N，，由，得，即，所以与的面积之比为.故选：B8.若函数的图象关于直线对称，则的值域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用特殊值结合对称性求出a的值，可得函数解析式，再利用基本不等式，即可求得答案.【详解】依题意，，其图象关于直线对称，则，所以，所以，解得，所以，此时，满足题意；因为，当且仅当，即时等号成立，所以，故选：B．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知平面向量，，则（）A.，不可能垂直 B.，不可能共线C.不可能为5 D.若，则在方向上的投影向量为【答案】ACD【解析】【分析】根据向量数量积的坐标运算及模长公式结合正弦函数值域计算判断A，C，再应用平行向量坐标运算判断B，应用投影向量公式计算判断D.【详解】，A选项正确；若向量，共线，则，解得，所以向量，可能共线，B选项错误；，所以，C选项正确；若，则，，所以在方向上的投影向量为，D选项正确；故选：ACD．10.药物临床试验是验证新药有效性和安全性必不可少的步骤．在某新药的临床实验中，志愿者摄入一定量药物后，在较短时间内，血液中药物浓度将达到峰值，当血液中药物浓度下降至峰值浓度的20%时，需要立刻补充药物．已知血液中该药物的峰值浓度为120mg/L，为探究该药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度y（mg/L）与代谢时间x（h）的相关数据，如下表所示：x012345678y120110103938268594738根据表中数据可得到经验回归方程，则（）A. B.变量y与x的相关系数C.当时，残差为-1.5 D.代谢约10小时后才需要补充药物【答案】AC【解析】【分析】根据样本中心点计算求解判断A，根据单调性判断B，应用回归直线计算求解得出残差判断C，计算判断得出D.【详解】因为样本中心点在直线上，所以，A选项正确；血液中药物浓度y（mg/L）随代谢时间x（h）的增大而减小，所以变量y与x的相关系数，B选项错误；当时，，残差为，C选项正确；令，解得，D选项错误；综上所述，应选AC．故选：AC.11.已知定义在上的函数满足，其中表示不超过x的最大整数，如[，．当时，，设为从小到大的第n个极小值点，则（）A. B.C.数列是等差数列 D.【答案】BC【解析】【分析】应用已知计算判断A，化简计算判断B，应用极值点定义结合等差数列定义判断C，应用递推公式得出等比数列计算判断D.【详解】因为，故A选项错误；当时，，等式两边同时加，得，故，，故B选项正确；当时，设，则极小值点为，所以当时，，此时，的极小值点为，即，所以，数列是等差数列，故C选项正确；所以设，则，，，为首项是，公比为2的等比数列，所以，当时，，故D选项错误．综上所述，应选BC．故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知圆锥的母线长为6，且其轴截面为等边三角形，则该圆锥的体积为______．【答案】【解析】【分析】应用圆锥的几何特征结合圆锥的体积公式计算即可.【详解】设圆锥的底面半径为r，轴截面为等边三角形，则，解得，所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为，故答案为：.13.已知函数的图象经过，两点，若在区间上单调递减，则______；______．【答案】①.##②.##【解析】【分析】由条件可得，结合列方程，结合的范围解不等式可得结论.【详解】依题意，，所以，即，解得，所以，因，所以，故答案为：，.14.从集合的所有非空子集中任选两个，则选中的两个子集的交集为空集的概率为______．【答案】【解析】【分析】（1）先求集合的非空子集的个数，确定样本空间中样本点的个数，方法一：分，，三种情况确定满足条件的样本点的个数，结合古典概型概率公式求结论；方法二：分，，三种情况确定满足条件的样本点的个数，结合古典概型概率公式求结论；方法三：由条件对于集合中的任意元素均有，且；，且；这三种选法，且集合，都不为空集，由此确定满足条件的样本点的个数，结合古典概型概率公式求结论；【详解】设，，且，易知集合的非空子集个数为，任取两个集合，共有种选法．（方法一）①若，则共有种选法；②若，从个元素里选个，再分成两组（不平均），有种选法；③若，个元素平均分为两组共有种；不平均分组共有种，小计共有种选法；所以选中的两个子集的交集为空集的概率为．（方法二）①当时，个元素里任选一个放入集合中，集合共有种情况，故有种情况；②当时，个元素里任选两个放入集合中，集合共有种情况，故有种情况；③当时，个元素里任选三个放入集合中，集合共有种情况，故有种情况；总共有种情况，所以选中的两个子集的交集为空集的概率为．（方法三）对于集合中的任意元素均有，且；，且；这三种选法，再减去集合，其中一个为空集的情况，故共有种，所以选中的两个子集的交集为空集的概率为．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）设D为边AB的中点，若，且，求a．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解即得.（2）利用和角的正弦公式，正弦定理及余弦定理求解即得.【小问1详解】在中，由及正弦定理得，即，即，而，即，则，又，所以.【小问2详解】依题意，，则，或，当时，由，得，在中，由正弦定理得，，则，在中，由余弦定理得，因此，当时，，，，所以或16.如图，在三棱柱中，，，．（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）法1：取中点，先证平面，再根据面面垂直的判定定理判定平面平面；法2：设为在底面的射影，证明点恰为斜边的中点，得平面，再证面面垂直.（2）法1：根据（1）的结果建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦；法2：根据二面角的平面角的概念构造平面与平面夹角的平面角，利用直角三角形的边角关系求角的余弦值.【小问1详解】方法1：取的中点，连接，，因为，所以，且，因为，，为的中点，所以，所以，所以，因为，平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．方法2：设为在底面的射影，则平面，因为，所以射影为底面的外心，又为直角三角形，所以恰为斜边的中点，因为平面，所以平面平面．【小问2详解】由（1）可知，平面，所以与平面所成角即为，所以，因为，所以，所以，，因为，为的中点，所以，方法1：如图所示，以为原点，分别以，，所在方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，所以，，设平面的法向量为，则有，即令，则，，所以，易知平面ABC的一个法向量为，设平面与平面ABC的夹角为，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为．方法2：如图，过作的平行线，因为，所以，过作，垂足为，因为平面平面，所以，又，，平面，所以平面，因为平面，所以，所以平面与平面的夹角即为，易知，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为．17.已知动圆M与圆：内切，且与圆：外切，记圆心M的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）设点在C上，且以为直径的圆E经过坐标原点O，求圆E面积的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设圆M半径，表示出，，由椭圆的定义推出点M轨迹为椭圆，求出a，b，c，即得C的方程．（2）方法1：考虑直线的斜率不存在的情况，并计算圆E的面积；联立直线与椭圆，设点写出韦达关系，由，垂直关系，得到k，m的关系式，写出的表达式，求其最小值即得；方法2：考虑直线OP或者OQ斜率不存在的情况，并计算圆E的面积，联立直线与椭圆方程，得到，与k的关系，写出的表达式，求得其最小值即得；方法3：由参数方程分别写出的坐标，由与的垂直关系，得到两参数关系，写出的表达式，求出最小值即得；方法4：设，，，利用两点在椭圆上推得，写出的表达式，利用常值代换法和基本不等式求出的最小值即得．【小问1详解】设圆M的半径为，由题意可知，，且，且，因，故圆心M的轨迹为椭圆，易知椭圆C的长轴长为，焦距为，则，，，故C的方程为：．【小问2详解】方法1：设，，由题意可得，则，即得，当直线的斜率不存在时，设直线，则，，由可得，，所以，解得，则，此时，圆E的面积为．当直线的斜率存在时，设直线，由可得，，所以，，所以，所以，即，代入，所以，当且仅当时，取得最小值，所以圆E面积的最小值为．方法2：因为以为直径圆E经过坐标原点O，所以，①当直线中有一条斜率不存在时，则另一条斜率为0，易知，所以圆E的半径为，所以圆E的面积为．②若直线的斜率均存在，设直线，直线，，，所以由可得，同理可得所以，所以，当且仅当时，取得最小值，所以此时，圆E面积的最小值为，因为，所以圆E面积的最小值为．方法3：设，，因为，所以，所以，由可得：，整理得，，由基本不等式，有，所以，设，则，即，解得，所以，所以圆E面积的最小值为．方法4：设，，因为，所以可设，且，因为点在C上，所以，所以，同理可得，，所以，所以，所以，当且仅当，，或，，时等号成立，所以圆E面积的最小值为．18.设函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若是增函数，求a的取值范围；（3）当时，设为的极小值点，证明：．【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为．（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）在时，根据导函数的符号即可求得原函数的单调区间；（2）求出，设，求导推得，根据参数分，和三种情形，讨论函数的单调性和零点情况，即得其取值范围；（3）设为的零点，推得，，分段讨论函数的单调性，推出，即得，即，则，设，求导得出在上的单调性，即可求出其范围，即得证.【小问1详解】当时，，，因当时，，当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为．【小问2详解】因，设，，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，故时，取得极小值，（ⅰ）所以当时，，，所以，单调递增，符合题意；（ⅱ）当时，，因趋近于时，趋近于，趋近于时，趋近于，所以存在两个零点，即存在区间使得，所以不恒成立，不合题意；（ⅲ）当时，若，因为的零点为，且，则与有唯一相同零点且零点两侧函数值符号相同，所以，解得，此时，当时；当时，则所以综上a的取值范围为.【小问3详解】当时，，，设为的零点，则，因为，所以，当时，，，故，在单调递增，当时，，，所以，在单调递减，当时，，，所以，在单调递增，所以，且，即，所以，设，则，在上单调递增，所以，且，故得．【点睛】思路点睛：本题主要考查根据函数的单调性、极值点求参数范围的问题，属于较难题.对于已知函数的单调性求参问题，一般考虑对函数求导，根据参数分类讨论函数的图象性质进行分析取舍；对于已知极值点问题，一般利用导函数方程的根的情况进行简化所求式，结合函数的值域即可.19.若数列满足数列是等差数列，则称为“绝对等差数列”，的公差称为的“绝对