八年级数学上册苏科版 1.4 《线段垂直平分线与角平分线》同步练习（含答案）

1.4《线段垂直平分线与角平分线》同步练习【题型1线段垂直平分线的性质】1．在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，则BC的长是（

）

A．22 B．23 C．32 D．332．如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AB=8，BC=6，∠ABC=90°，则△BEC的周长是（

）A．13.5 B．16 C．10 D．9.63．如图，在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=2，则BC的长为（

）A．2 B．4 C．6 D．84．如图，△ABC中，∠BAC=115°，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，连接AE、AF，则∠EAF的度数是（）A．40° B．50° C．55° D．60°5．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE，若△BEC的周长为16，BC=6，则AB的长度为（

）A．6 B．8 C．10 D．126．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC,BC于点D，E．若△ABC的周长为23，BE=4，则△ABD的周长为（）A．14 B．15 C．16 D．177．如图，在△ABC中，∠B=72°，∠C=36°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交AC的两侧于点M、N，连接MN，交BC于点D，连接AD，则A．40° B．38° C．36° D．32°【题型2线段垂直平分线的判定】1．如图，在△ABC中，边AB,BC的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段AC的垂直平分线上．2．如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．求证：AC⊥BD．3．已知，如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D．求证：(1)OC=OD；(2)OP是CD的垂直平分线．4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．(1)求证：AD垂直平分EF；(2)若AB+AC=10,S△ABC=15,∠EAF=60°5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，(1)尺规作图：求作△ABD的高线DE；(2)在（1）的条件下，连接CE，求证：AD垂直平分CE．6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF．(1)求证：CF=EB．(2)连接CE，求证AD垂直平分CE．【题型3角平分线的性质定理】1．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AC=6，S△ACD=6，则DEA．2 B．3 C．4 D．12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4A．15 B．30 C．45 D．603．如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE=3,BC=8，则BD=（A．4 B．5 C．6 D．74．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，点E、G分别在AB、AC上且DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和40，则△EDF的面积为（

）A．4 B．5 C．6 D．75．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90∘，∠BAC的平分线AE交BC于点E，过点E作DE⊥AC于点D，若△ABC的周长为24，△DEC的周长为12，则AB=A．5 B．5.5 C．6 D．6.56．如图，△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线相交于点M，点M到BE的距离为4．若AB=7，BC=9，则四边形ABCM的面积为．7．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB=12cm，BC=18cm

8．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若BD=5，BD:CD=5:3，AB=10，则△ABD的面积是．9．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=20°．以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则∠DAB=10．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD【题型4角平分线的判定定理】1．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F．(1)求证：AE=AF；(2)若AB=6，AC=4，S△ABC=15，求2．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE=CF．求证：AD平分∠BAC．3．【定理】如图1．因为CB⊥AB于B，CD⊥AD于【运用】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°，BC=CD，求证：AC平分4．如图，BP是∠ABC内部的一条射线，点D在BP上，连接AD、CD，AD=CD，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分别是垂足，且PM=PN，求证：BP平分∠ABC．5．如图，在△ABC中，CF=EB，∠C=90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，求证：AD平分∠BAC．【题型5角平分线性质的实际应用】1．如图所示，A、B、C表示重庆市南岸区黄桷垭三个生活区，AB、BC、AC表示三条公路，现想在△ABC内设置一个快递点，若要使快递点到三条公路的距离相等，则这个快递点应修在（

）A．△ABC三条高所在直线的交点处B．△ABC三条边的垂直平分线的交点处C．△ABC三个角的角平分线的交点处D．△ABC三条中线的交点处2．如图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（

）

A．3个 B．4个 C．5个 D．1个3．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在△ABC三条的交点处．【题型6尺规作图-角平分线和垂直平分线】1．尺规作图：求作点P，使点P到点M，N的距离相等，同时到∠AOB的两边OA,OB的距离也相等．2．“西气东输”是造福子孙后代的创世纪工程．现有两条高速公路和A，B两个城镇（如图），准备建立一个燃气中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等．(1)请你画出中心站P的位置（不写做法，保留作图痕迹）．(2)请你运用所学知识，简要说明理由．3．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=10．(1)尺规作图：作边AC的垂直平分线交BC于点D，连接AD（要求：保留作图痕迹，不必写作法和证明）；(2)在（1）作出的图形中，求△ABD的周长．4．如图，在△ABC中，AB=AC=4．(1)作AB的垂直平分线，交AC于点M，交AB于点N；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，连接BM，若△MBC的周长是6.5，求BC的长．5．电信部门要修建一座电视信号发射塔，如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路OM，ON的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？6．如图，已知△ABC中，CD⊥AB于D．(1)尺规作图，作∠ACB的角平分线交AB于点E；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，若∠A=32°，∠B=68°，求∠DCE的度数．参考答案【题型1线段垂直平分线的性质】1．B【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到AE=BE，再由三角形周长计算公式可得BE+CE+BC=50，进而可得AC+BC=50，据此可得答案．【详解】解；∵AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，∴AE=BE，∵△BCE的周长等于50，∴BE+CE+BC=50，∴AE+CE+BC=50，∴AC+BC=50，∵AC=27，∴BC=23，故选：B．2．B【分析】此题主要考查了勾股定理及线段垂直平分线的性质，先利用勾股定理求得AC=10，再利用线段垂直平分线的性质得出AE=BE，进而得出答案．正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．【详解】解：∵AB=8，BC=6，∠ABC=90°，∴AC=A∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵AC=10，BC=6，∴△BEC的周长是：BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=16．故选：B．3．C【分析】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点．根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，求出∠CAD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质得出AD=2CD，求出AD即可得到答案．【详解】解：∵边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D∴AD=BD，∴∠B=∠DAB，∵∠B=30°，∴∠CAB=60°，∴∠CAD=60°−30°=30°，∴AD=2CD=BD，∵CD=2，∴BD=4，∴BC=2+4=6，故选：C．4．B【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到∠B+∠C=65°，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，FA=FC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB=∠B，∠FAC=∠C，结合图形计算即可．【详解】解：∵∠BAC=115°，∴∠B+∠C=180°−115°=65°，∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，∴EA=EB，FA=FC，∴∠EAB=∠B，∠FAC=∠C，∴∠EAB+∠FAC=∠B+∠C=65°，∴∠EAF=∠BAC−(∠EAB+∠FAC)=115°−65°=50°．故选：B．5．C【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的定义，由DE垂直平分AB，则BE=AE，由△BEC的周长为BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=16，BC=6，则AC=10，最后由等腰三角形的定义即可求解，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴BE=AE，∵△BEC的周长为BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=16，∵BC=6，∴AC=10，∴AB=AC=10，故选：C．6．B【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到BD=CD,BE=CE，进而求出BC的长，根据△ABC的周长求出AB+AC的长，推出△ABD的周长为AB+AC，即可得出结果．【详解】解：∵BC的垂直平分线分别交AC,BC于点D，E，∴BD=CD,BE=CE=1∴BC=8，∵△ABC的周长为AB+AC+BC=23，∴AB+AC=15，∴△ABD的周长为AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB+AC=15；故选B．7．C【分析】本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．分别求出∠BAC，∠DAC的大小，可得结论．【详解】解：∵∠B=72°，∠C=36°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=72°，由作图可知MN垂直平分线段AC，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C=36°，∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=72°−36°=36°，故选：C【题型2线段垂直平分线的判定】1．证明：∵边AB,BC的垂直平分线交于点P，∴PA=PB,PB=PC．∴PA=PC．∴点P必在AC的垂直平分线上．2．证明：∵AB=AD，BC=DC，∴点A、C在BD的垂直平分线上，∴AC是BD的垂直平分线，∴AC⊥BD．3．（1）证明：∵P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC=PD，∠PCO=∠PDO=90°，又OP=OP，∴Rt△PCO≌∴OC=OD；（2）证明：∵OC=OD，PC=PD，∴点O、P在线段CD的垂直平分线上，即OP是CD的垂直平分线；4．（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC，∴DE=DF，在Rt△AED和RtAD=ADDE=DF∴Rt△AED≌∴AE=AF，而DE=DF，∴AD垂直平分EF．（2）解：∵DE=DF，∴S△ABC∵AB+AC=10，∴12∴DE=3，∵∠EAF=60°，∴∠DAF=∠EAD=30°，∴AD=2DE=6．5．（1）解：如图所示，线段DE即为所求；（2）证明：由（1）得DE是△ABD的高线，∴DE⊥AB，∴∠AED=90°，∵∠ACB=90°，∴∠AED=∠ACD,∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD=∠BAD,在△ACD和△AED中,∠ACD=∠AED∠CAD=∠EAD∴△ACD≌△AEDAAS∴AC=AE，DC=DE，∴点A在CE的垂直平分线上，点D在CE的垂直平分线上，∴AD垂直平分CE．6．（1）证明：∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，又∵AD平分∠BAC，∠C=90°即DC⊥AC，∴DC=DE，在Rt△DCF和RtDF=DBDC=DE∴Rt△DCF∴CF=EB；（2）证明：在Rt△ACD和RtAD=ADDC=DE∴Rt△ACD∴AC=AE，∴点A在CE的垂直平分线上，∵DC=DE，∴点D在CE的垂直平分线上，∴AD垂直平分CE．【题型3角平分线的性质定理】1．A【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点D作DF⊥AC于F，由角平分线的性质得到DE=DF，再由三角形面积计算公式求出DF的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点D作DF⊥AC于F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵S△ACD∴12∵AC=6，∴DE=DF=2，故选：A．2．B【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作DE⊥AB交AB于点E，根据角平分线的性质得到DE=CD=4，再根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案．【详解】解：作DE⊥AB交AB于点E，

，由基本尺规作图可知，AD是∠CAB的平分线，∵∠C=90°，∴DC⊥AC，∵DE⊥AB，∴DE=CD=6，∴S故选：B．3．B【分析】本题主要考查了角平分线的性质，先根据角平分线的性质得CD=DE=3，再根据BD=BC−CD得出答案．【详解】解：∵AD平分∠BAC，∠DEA=∠C=90°，∴CD=DE=3．∵BC=8，∴BD=BC−CD=8−3=5．故选：B．4．B【分析】本题主要考查了角平分线的性质，直角三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质．过点D作DH⊥AC交AC于点H，得到Rt△DFE≌Rt△DHG【详解】解：如图，过点D作DH⊥AC交AC于点H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DH又∵DE=DG，∴∵∴Rt∴∴∴S故选：B．5．C【分析】本题考查了角平分的性质，理解角平分线的性质是解答关键．根据角平分线的性质得到BE=DE，AB=AD，再利用三角形周长来求解．【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90∘，∠BAC的平分线AE交BC于点E，过点E作DE⊥AC∴BE=DE，△AEB≌△AEDASA∴AB=AD．∵△DEC的周长为12，∴CE+DE+DC=CE+BE+CD=12，即BC+CD=12．∵△ABC的周长为24，∴AB+BC+AD+CD=24，即AB+BC+AB+CD=24，∴AB+AB=24−12=12，∴AB=6．故选：C．6．32【分析】本题考查角平分线的性质及三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．如图，过点M作MF⊥BE于F，MG⊥AC于G，MH⊥BD于H，连接BM，根据角平分线的性质得出MF=MG=MH=4，根据S四边形【详解】解：如图，过点M作MF⊥BE于F，MG⊥AC于G，MH⊥BD于H，连接BM，∵△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线相交于点M，点M到BE的距离为4，∴MF=MG=4，MG=MH，∴MH=4，∴S四边形∵AB=7，BC=9，∴S四边形故答案为：327．2【分析】本题考查了角平分线的性质，“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”．过点D作DF⊥BC，垂足为F，根据角平分线性质可得DE=DF，根据三角形的面积S△ABC=1【详解】解：过点D作DF⊥BC，垂足为F，

∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，∵△ABC的面积是30cm2，AB=12cm∴S即12∵DE=2cm故答案为：2cm8．15【分析】本题考查了角平分线的性质，能根据角平分线性质得出DE=CD是解此题的关键；过D作DE⊥AB于E，由BD=5，BD:CD=5:3，即可求得CD的长，然后由角平分线的性质，求得DE的长，继而求得答案．【详解】解：过D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，∴DE=DC，∵BD=5，BD:CD=5:3，∴CD=3，∵在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，∴DE=CD=3，∵AB=10，∴△ABD的面积是：12故答案为：159．35【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．由作图可知AD是∠CAB的角平分线，利用角平分线的性质和三角形内角和定理，然后即可求解；【详解】解：在△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，∴∠BAC=180°−∠C−∠B=180°−90°−20°=70°，∵由题可得：AD是∠CAB的角平分线，∴∠DAB=1故答案为：35；10．3【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积．过点D作DE⊥AB，交AB于点E，再根据角平分线的性质定理得出DE=CD，然后根据S△ABD=1【详解】解：过点D作DE⊥AB，交AB于点E，∵AD平分∠BAC，∠C=∠AED=90°，∴DE=CD．∵AB=10，∴S△ABD解得DE=3，∴CD=3．故答案为：3．【题型4角平分线的判定定理】1．（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在Rt△ADE和RtAD=ADDE=DF∴Rt∴AE=AF；（2）解：∵S△ABC=S△ADB+S△ADC=∴1∴5DE=15，∴DE=3．2．证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，在△BED与△CFD中，∠B=∠CBE=CF∴△BED≌△CFD(ASA∴DE=DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC．3．解：定理：∵CB⊥AB于B，CD⊥AD于∴AC平分∠BAD，故答案为：AC平分∠BAD；运用：如图所示，过点C作CM⊥AB于点M，过点C作CN⊥AD交AD的延长线于点N，∵CN⊥AD，CM⊥AB，∴∠N=∠BMC=90°，∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠ADC+∠B=180°，∵∠CDN+∠ADC=180°，∴∠B=∠CDN，∵BC=CD，∴△CBM≌△CDNAAS∴CM=CN，∵CN⊥AD，CM⊥AB，∴AC平分∠BAD．4．证明：∵PM⊥AD，PN⊥CD，PM=PN，∴DP为∠ADC的角平分线，∴∠ADP=∠CDP，∴∠ADB=∠CDB，在△ABD和△CBD中，AD=CD,∴△ABD≌△CBD(SAS∴∠ABP=∠CBP，∴BP平分∠ABC．5．证明：∵DE⊥AB于点E，∴∠DEB=90°，∵∠C=90