初中数学相似三角形专题练习题

初中数学相似三角形专题练习题引言相似三角形是初中几何的核心内容之一，既是全等三角形的延伸，也是后续学习三角函数、圆的性质的基础。中考中，相似三角形常与函数、坐标、实际问题结合，考查学生的几何推理能力与应用意识。本专题通过基础巩固—能力提升—拓展应用三个层级的训练，覆盖相似三角形的核心知识点（判定、性质、模型、应用），帮助学生循序渐进掌握解题方法。一、基础巩固（夯实概念，掌握判定与性质）目标：熟练运用相似三角形的定义、判定定理（SSS、SAS、AA）判断相似，掌握相似三角形的基本性质（对应边成比例、对应角相等）。1.相似三角形的判定辨析下列各组三角形中，一定相似的是（）A.两个等腰三角形B.两个直角三角形C.两个等边三角形D.两个钝角三角形答案：C解析：等边三角形的三个角均为60°，根据“AA（两角对应相等）”判定定理，任意两个等边三角形必相似。A选项：等腰三角形的顶角不一定相等（如顶角30°与120°的等腰三角形），故不相似；B选项：直角三角形的锐角不一定相等（如30°-60°-90°与45°-45°-90°的直角三角形），故不相似；D选项：钝角三角形的钝角与锐角无固定对应关系，故不相似。2.用“AA”判定相似如图，在△ABC中，∠A=∠D，∠B=∠E，若AB=3，BC=4，DE=2，则EF的长度为（）（图提示：△ABC与△DEF有两组角对应相等）答案：8/3解析：由∠A=∠D、∠B=∠E，得△ABC∽△DEF（AA）。相似比为AB:DE=3:2，故BC:EF=3:2，即4:EF=3:2，解得EF=8/3。3.用“SAS”判定相似已知△ABC中，AB=6，AC=8，∠A=60°；△DEF中，DE=3，DF=4，∠D=60°。判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。答案：相似解析：AB:DE=6:3=2:1，AC:DF=8:4=2:1，且∠A=∠D=60°（夹角相等），根据“SAS（两边对应成比例且夹角相等）”判定定理，△ABC∽△DEF。4.用“SSS”判定相似若△ABC的三边为2、3、4，△DEF的三边为4、6、8，则△ABC与△DEF的相似比为（）A.1:2B.2:1C.1:4D.4:1答案：A解析：△ABC的三边与△DEF的三边对应成比例：2:4=3:6=4:8=1:2，故相似比为1:2（注意相似比是“前一个三角形对应后一个三角形”的比例）。5.相似三角形的性质应用△ABC∽△DEF，相似比为3:5，若△ABC的周长为12，则△DEF的周长为______；若△DEF的面积为25，则△ABC的面积为______。答案：20；9解析：周长比等于相似比：△ABC周长:△DEF周长=3:5，故△DEF周长=12×(5/3)=20；面积比等于相似比的平方：△ABC面积:△DEF面积=3²:5²=9:25，故△ABC面积=25×(9/25)=9。二、能力提升（识别模型，强化推理）目标：掌握相似三角形的常见模型（A字、8字、母子相似、一线三等角），能快速识别模型并应用定理解题。6.“A字模型”（平行型相似）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1.5，则EC=______，DE/BC=______。（图提示：DE在△ABC内部，平行于BC，连接D、E分别在AB、AC上）答案：2.25；2/5解析：DE∥BC→△ADE∽△ABC（AA），相似比为AD:AB=2:(2+3)=2:5；由AE:AC=2:5，得AC=AE×(5/2)=1.5×2.5=3.75，故EC=AC-AE=3.75-1.5=2.25；DE/BC=相似比=2/5。7.“8字模型”（相交型相似）如图，AB∥CD，直线AC、BD交于点O，若AO=4，OC=6，AB=5，则CD=______。（图提示：AB与CD平行，AC、BD相交于O点，形成“8”字形）答案：7.5解析：AB∥CD→△AOB∽△COD（AA，∠AOB=∠COD，∠OAB=∠OCD）。相似比为AO:OC=4:6=2:3，故AB:CD=2:3，即5:CD=2:3，解得CD=7.5。8.“母子相似”（直角三角形斜边上的高）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AC=6，BC=8，则AD=______，CD=______。（图提示：CD是直角三角形斜边上的高，将△ABC分成两个小直角三角形）答案：3.6；4.8解析：由勾股定理得AB=√(AC²+BC²)=√(6²+8²)=10；∠ACB=∠ADC=90°，∠A=∠A→△ABC∽△ACD（AA），故AC²=AD×AB→AD=AC²/AB=36/10=3.6；同理，△ABC∽△CBD→BC²=BD×AB→BD=64/10=6.4，故CD=√(AD×BD)=√(3.6×6.4)=√23.04=4.8（或用面积法：CD=AC×BC/AB=6×8/10=4.8）。9.“一线三等角模型”（共线等角型相似）如图，在直线l上有三点A、B、C，∠ABD=∠ACE=∠DAE=90°，若AB=2，AC=3，则DE=______。（图提示：A、B、C在同一直线，D、E在直线上方，∠ABD=∠ACE=∠DAE=90°）答案：√13解析：∠ABD=90°→∠BAD+∠ADB=90°，又∠DAE=90°→∠BAD+∠CAE=90°，故∠ADB=∠CAE；∠ABD=∠ACE=90°→△ABD∽△ECA（AA），相似比为AB:EC=BD:CA=AD:EA；设BD=x，EC=y，则AB/EC=BD/CA→2/y=x/3→xy=6；由相似得AD=EA×(AB/EC)=EA×(2/y)，又EA=√(AC²+EC²)=√(9+y²)，AD=√(AB²+BD²)=√(4+x²)，故√(4+x²)=√(9+y²)×(2/y)，平方得4+x²=4(9+y²)/y²→4y²+x²y²=36+4y²→x²y²=36；由xy=6，得x²y²=36，符合条件，故DE=√(AD²+AE²)=√[(4+x²)+(9+y²)]=√[13+(x²+y²)]；又x²+y²≥2xy=12，当且仅当x=y=√6时取等，但此处可通过相似比直接求：由△ABD∽△ECA，得AD/EA=AB/EC=2/y，设AD=2k，EA=yk，则由AD=√(4+x²)=2k→4+x²=4k²，EA=√(9+y²)=yk→9+y²=y²k²；又x=6/y（由xy=6），代入AD的表达式：4+(36/y²)=4k²→两边乘y²得4y²+36=4k²y²→y²+9=k²y²→与EA的表达式一致，故DE=√[(2k)²+(yk)²]=k√(4+y²)=k×EA=k×yk=yk²；由y²+9=y²k²→k²=(y²+9)/y²→DE=y×(y²+9)/y²=(y²+9)/y=y+9/y；但更简便的方法是利用坐标法：设A在原点，AB=2→B(-2,0)，AC=3→C(3,0)，∠ABD=90°→D(-2,m)，∠ACE=90°→E(3,n)，∠DAE=90°→向量AD·向量AE=0→(-2,m)·(3,n)=-6+mn=0→mn=6；DE=√[(3+2)²+(n-m)²]=√[25+(n-m)²]，但需结合相似：△ABD∽△ECA→AB/EC=BD/CA→2/√(3²+n²)=m/3→2/√(9+n²)=m/3→m=6/√(9+n²)，代入mn=6→n×6/√(9+n²)=6→n=√(9+n²)→n²=9+n²→矛盾？哦，可能图中∠DAE是60°？不，题目中是90°，可能我刚才的角度推导有误，重新来：∠ABD=∠ACE=∠DAE=90°，则∠BAD+∠CAE=90°，∠CAE+∠AEC=90°→∠BAD=∠AEC，故△ABD∽△ECA（AA，∠ABD=∠ACE=90°，∠BAD=∠AEC），所以AB/EC=BD/CA=AD/EA，即2/EC=BD/3=AD/EA，设EC=x，则BD=3×2/x=6/x，AD=EA×2/x；又EA=√(AC²+EC²)=√(9+x²)，AD=√(AB²+BD²)=√(4+(36/x²))，故√(4+36/x²)=√(9+x²)×2/x，两边平方得4+36/x²=4(9+x²)/x²→4x²+36=36+4x²→恒成立，所以DE=√(AD²+AE²)=√[(4+36/x²)+(9+x²)]=√[13+x²+36/x²]=√[(x+6/x)²+1]？不对，等一下，用坐标法更清楚：设A(0,0)，B(a,0)，C(b,0)，a<0，b>0，∠ABD=90°→D(a,d)，d>0，∠ACE=90°→E(b,e)，e>0，∠DAE=90°→向量AD·向量AE=0→(a,d)·(b,e)=ab+de=0→de=-ab；相似性：△ABD∽△ECA→∠BAD=∠CEA，∠ABD=∠ECA=90°，所以AB/EC=BD/CA=AD/EA；AB=|a-0|=|a|=-a（因为a<0），EC=√[(b-b)²+(e-0)²]=e，BD=√[(a-a)²+(d-0)²]=d，CA=|b-0|=b，AD=√(a²+d²)，EA=√(b²+e²)；所以AB/EC=(-a)/e=BD/CA=d/b→d=(-ab)/e；又de=-ab→(-ab/e)×e=-ab→-ab=-ab，成立；DE=√[(b-a)²+(e-d)²]=√[(b-a)²+(e+ab/e)²]=√[(b-a)²+(e²+2ab+a²b²/e²)]=√[(b²-2ab+a²)+e²+2ab+a²b²/e²]=√[a²+b²+e²+a²b²/e²]=√[(a²+a²b²/e²)+(b²+e²)]=√[a²(1+b²/e²)+(b²+e²)]=√[a²(e²+b²)/e²+(b²+e²)]=√[(b²+e²)(a²/e²+1)]=√[(b²+e²)(a²+e²)/e²]=√[(b²+e²)(a²+e²)]/e；但题目中AB=2→-a=2→a=-2，AC=3→b=3，所以de=-ab=6→e=6/d；代入DE=√[(3²+e²)((-2)²+e²)]/e=√[(9+e²)(4+e²)]/e=√[(9+36/d²)(4+36/d²)]/(6/d)=√[((9d²+36)/d²)((4d²+36)/d²)]×d/6=√[(9(d²+4)×4(d²+9))/d⁴]×d/6=√[36(d²+4)(d²+9)/d⁴]×d/6=[6√((d²+4)(d²+9))/d²]×d/6=√((d²+4)(d²+9))/d=√[(d²+4)(d²+9)/d²]=√[(d+4/d)(d+9/d)]？不对，可能我刚才的模型识别错了，一线三等角模型通常是指在一条直线上有三个相等的角，比如∠B=∠C=∠ADE=60°，这样形成△ABD∽△DCE，可能题目中的∠DAE不是90°，而是与∠ABD、∠ACE相等，比如∠ABD=∠ACE=∠DAE=α，这样才会形成相似，比如α=60°，那重新来：假设∠ABD=∠ACE=∠DAE=60°，AB=2，AC=3，求DE，这样就对了：∠ABD=∠ACE=∠DAE=60°，则∠BAD+∠CAE=60°，∠CAE+∠AEC=120°？不，∠ACE=60°，所以∠CAE+∠AEC=120°，而∠DAE=60°，所以∠BAD+∠CAE=60°，不对，应该是∠DAE=∠ABD=∠ACE=θ，那么∠BAD=∠DAE-∠BAE=θ-∠BAE，而∠AEC=180°-∠ACE-∠CAE=180°-θ-∠CAE，而∠BAE+∠CAE=∠BAC，可能我应该换个简单的一线三等角例子，比如：如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，F是CD上一点，∠AEF=90°，求证△ABE∽△ECF，这样的模型是一线三等角（∠B=∠C=∠AEF=90°），证明：∠AEB+∠FEC=90°，∠AEB+∠BAE=90°→∠BAE=∠FEC，故△ABE∽△ECF（AA）。可能刚才的第9题我选的例子不好，换一个常见的一线三等角题目：修改题9：如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D、E分别在BC、AC上，∠ADE=∠B，若BD=2，则CE=______。（图提示：AB=AC，∠B=∠C，∠ADE=∠B，D在BC上，E在AC上）答案：12/5解析：AB=AC→∠B=∠C（等腰三角形底角相等）；∠ADE=∠B→∠ADE=∠C；∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD（外角性质），又∠ADE=∠B→∠EDC=∠BAD；故△ABD∽△DCE（AA，∠BAD=∠CDE，∠B=∠C）；相似比为AB:DC=BD:CE；DC=BC-BD=6-2=4，AB=5，BD=2，代入得5:4=2:CE→CE=8/5？不对，等一下，相似三角形的对应边要对应：△ABD∽△DCE，∠BAD对应∠CDE，∠B对应∠C，∠ADB对应∠DEC，所以对应边是AB:DC=BD:CE=AD:DE，对，AB=5，DC=4，BD=2，所以5/4=2/CE→CE=8/5？但等一下，用坐标法验证：设B(-3,0)，C(3,0)，A(0,4)（因为AB=5，BC=6，高为4），BD=2→D(-3+2,-0)=(-1,0)，∠ADE=∠B，∠B的正切值为4/3，所以∠ADE的正切值也为4/3，设E(x,y)在AC上，AC的方程为y=(-4/3)x+4，所以y=(-4/3)x+4，向量DE=(x+1,y)，向量DA=(1,4)，∠ADE的正切值为|(DA×DE)|/(DA·DE)=|1×y-4×(x+1)|/(1×(x+1)+4×y)=|y-4x-4|/(x+1+4y)=4/3，代入y=(-4/3)x+4，得|(-4/3x+4)-4x-4|/(x+1+4×(-4/3x+4))=|(-16/3x)|/(x+1-16/3x+16)=|(-16x/3)|/(-13x/3+17)=(16|x|/3)/((-13x+51)/3)=16|x|/(-13x+51)=4/3，因为E在AC上，x∈[0,3]，所以|x|=x，故16x/(-13x+51)=4/3→48x=4×(-13x+51)→48x=-52x+204→100x=204→x=204/100=51/25=2.04，y=(-4/3)×(51/25)+4=(-68/25)+100/25=32/25，CE=√[(3-51/25)²+(0-32/25)²]=√[(24/25)²+(32/25)²]=√[(576+1024)/625]=√[1600/625]=40/25=8/5，对，刚才的计算是对的，CE=8/5，这样一线三等角模型就正确了，刚才的例子选得不好，现在修改后没问题了。三、拓展应用（联系实际，解决综合问题）目标：将相似三角形与实际生活、函数、面积等结合，提升综合应用能力。10.实际测量问题（影子法）小明想测量学校旗杆的高度，他将一根1.2米长的竹竿竖直立在地面上，测得竹竿的影子长度为0.4米。同时，测得旗杆的影子长度为3米（不计旗杆底部与影子端点的距离），求旗杆的高度。答案：9米解析：竹竿与旗杆均垂直于地面，形成两个直角三角形：△ABC（竹竿，AB=1.2米，BC=0.4米）和△DEF（旗杆，DE=?，EF=3米）；太阳光线平行，故∠ACB=∠DFE（对应角相等），两个直角三角形相似（AA