人教A版高一寒假作业05三角函数

人教A版高一寒假作业5：三角函数【基础巩固】一、单选题1.(2024·江西省宜春市·期中考试)下列命题正确的是(

)A.小于90∘的角一定是锐角

B.终边相同的角一定相等

C.终边落在直线y=3x上的角可以表示为k⋅360∘+60∘2.(2024·黑龙江省·期末考试)已知cosα=−13，α∈(π,3π2)A.23 B.−23 C.23.(2024·陕西省·月考试卷)sin4π3·cosA.−34 B.34 C.−4.(2024·浙江省杭州市·期末考试)已知函数f(x)=sin(ωx),ω>0，将f(x)图象上所有点向左平移π6个单位长度得到函数y=g(x)的图象，若函数g(x)在区间[0,π6]A.0,4 B.0,2 C.(0,32]二、多选题5.(2024·广东省·期末考试)下列各式中，值为12的是(

)A.tan22.5°1−tan222.5° B.tan15°⋅6.(2024·浙江省·模拟题)函数y=sinx的图象经过怎样的平移可以得到函数y=sinx+π4A.向左平行移动π4个单位长度 B.向右平行移动π4个单位长度

C.向左平行移动7π4个单位长度 D.三、填空题7.(2024·西藏自治区·月考试卷)若f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π4，则g(x)=tan8.(2024·北京市·期中考试)水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图，一个半径为6米的水车逆时针匀速转动，水轮圆心O距离水面3米.已知水轮每分钟转动1圈，如果当水轮上一点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，经过t秒后，水车旋转到P点．

给出下列结论：

①在转动一圈内，点P的高度在水面3米以上的持续时间为30秒；

②当t=[0,15]时，点P距水面的最大距离为6米；

③当t=10秒时，PP0=6；

其中所有正确结论的序号是四、解答题9.(2024·湖北省襄阳市·月考试卷)已知函数f(x)=sin(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数的最大值及取得最大值时自变量x的取值集合；(3)求函数的单调递减区间．10.(2024·吉林省·期末考试)在股票市场上，投资者常根据股价(每股的价格)走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y(元)与时间x(天)的关系在ABC段可近似地用函数y=asin(ωx+φ)+20(a>0,ω>0,0<φ<π)的图像从最高点A到最低点C的一段来描述(如图)，并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且DEF段与ABC段关于直线l:x=34对称，点B、D的坐标分别是(12,20)、(1)请你帮老张确定a、ω、φ的值，写出ABC段的函数表达式，并指出此时x的取值范围；(2)请你帮老张确定虚线DEF段的函数表达式，并指出此时x的取值范围；(3)如果老张预测准确，且在今天买入该只股票，那么最短买入多少天后，股价至少是买入价的两倍？【拓展提升】一、单选题1.(2024·湖北省·联考题)我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深CD=4−22，锯道AB=42，则图中弧ACB与弦AB围成的弓形的面积为(

)A.4π B.8 C.4π−8 D.8π−82.(2024·广西壮族自治区北海市·期末考试)已知函数f(x)=2cosx(x∈(0,π))的图象与函数y=tanx的图象交于A，B两点，则△OAB(OA.2π2 B.π2 C.二、多选题3.(2024·广东省·单元测试)若函数y=sin2x+2acos x+a2+1最大值是最小值的4A.3 B.−3 C.2+3 4.(2024·广东省·单元测试)在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1−cosθ为角θ的正矢，记作versin θ；定义1−sinθ为角θA.函数f(x)=versin x−coversx+1的对称中心为(kπ+π4,0)k∈Z

B.若versin x−1coversx−1=12，则covers2x−versin2x+1=−25

C.若g(x)=versin x⋅coversx−1，则三、填空题：5.(2024·广东省·单元测试)已知函数f(x)=|cos2x|+1.①f(x)的最小正周期是π；②f(x)的一条对称轴方程为x=π③若函数g(x)=f(x)+b(b∈R)在区间0,9π8上有5个零点，从小到大依次记为x1④存在实数a，使得对任意m∈R，都存在x1,x2∈其中所有正确结论的序号是

．四、解答题6.(2024·河南省驻马店市·期末考试)已知函数f(x)=3sin (ωx+φ)(0<ω<1,|φ|<π2)的图象过−2π3,0，(1)求函数g(x)的解析式；(2)若函数F(x)=g(x)−32>0，求函数【基础巩固】1.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了任意角的概念，终边相同的角、象限角的概念，属于基础题．

根据任意角的概念，终边相同的角，象限角的概念逐句判断即可．【解答】

解：对于A:锐角是大于0°且小于90°的角，小于90°的角不一定是锐角，如0°的角，负角，故A错误；

对于B:终边相同的角可以表示为β=k⋅360°+α，所以终边相同的角不一定相等，比如0°和360°，故B错误；

对于C:终边落在直线y=3x的角可以表示为k⋅360°+60°或k⋅360°+240°，故C错误；

对于D:由角α是第二象限角，得2kπ+π2<α<2kπ+π,k∈Z，则kπ+π4<α2<kπ+π2.【答案】D

【解析】【分析】本题主要考查已知一个三角函数值求其它三角函数值，属于基础题．

首先由是三角函数的平方关系求得sinα=±【解答】

解：cosα=−13，∵sin2α+cos2α=1，3.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了三角函数的化简求值，属于基础题．

将sin4π3cos25π6tan5π4转化为−sinπ3cos4.【答案】C

【解析】【分析】本题考查正弦型函数的图象变换，利用正弦型函数的单调性解决参数问题，属于中档题

根据题意，先平移得到g(x)，再根据g(x)条件列出方程即可求出结果．【解答】解：将f(x)=sin(ωx),ω>0图象上所有点向左平移π6个单位长度得到函数y=g(x)=sin⁡[ω(x+π6)]=sin⁡(ωx+π6ω)的图象，

当x∈[0,所以{ω>0π3故选：C．5.【答案】AC

【解析】【分析】本题主要考查二倍角公式，辅助角公式，诱导公式的应用，属基础题．

利用二倍角的正切公式可求A；利用切化弦以及二倍角正弦公式可求B；利用二倍角的余弦公式可求解C；利用二倍角公式，以及辅助角公式，诱导公式可求解D；【解答】解：原式=12×原式=tan 15°⋅cos2 15°=原式=33原式=116cos故选AC．6.【答案】AD

【解析】【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．

由条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律结合诱导公式，可得结论．【解答】

解：y=sin(x+π4)=sin⁡(x+π4−2π)=sin⁡(x−7π4)，

y=sinx根据左加右减法则，7.【答案】π16【解析】【分析】本题主要考查三角函数周期的计算，属较易题．

结合三角函数的周期公式进行求解即可．【解答】

解：∵f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π4，

∴T=2πω=π4得ω=8，

则g(x)=tan(2ωx+π88.【答案】①③

【解析】【分析】本题考查三角函数模型的应用，考查了逻辑推理、数形结合和运算能力，属于较难题．

由题意，以水轮所在平面为坐标平面，以水轮轴心O为坐标原点，以平行于水面的直线为x轴建立平面直角坐标系，此时点P距离水面的高度ℎ关于时间t的函数为ℎ=f(t)=Asin(ωt+φ)+B，根据最大值和最小值求出A和B的值，再利用周期和f(0)=0求出函数解析式，对结论进行逐一分析，进而即可求解．【解答】

解：以水轮所在平面为坐标平面，以水轮轴心O为坐标原点，以平行于水面的直线为x轴建立平面直角坐标系，

点P距离水面的高度ℎ关于时间t的函数为ℎ=f(t)=Asin(ωt+φ)+B，

因为一个半径为6米的水车逆时针匀速转动，水轮圆心O距离水面3米，

所以A+B=9−A+B=−3，

解得A=6，B=3，

因为水轮60秒转动一周，

此时ω=2π60=π30，

所以f(t)=6sin(π30t+φ)+3，

因为f(0)=0，

解得sinφ=−12，

可得φ=−π6，

所以f(t)=6sin(π30t−π6)+3．

对于①，易得f(t)=6sin(π30t−π6)+3>3，

即0<π30t−π6<π，

所以5<t<35，

则在转动一圈内，点P的高度在水面3米以上的持续时间为35−5=30秒，故①正确；

对于②，若t=[0,15]，

当t=15时，f(15)=6sin(π30×15−π9.【答案】解：(1)函数f(x)=sin2x+3sinxcosx+12

=1−cos2x2+32sin2x+12

=sin(2x−π6)+1，

故函数f(x)的最小正周期为2π2=π;

(2)函数f(x)的最大值为1+1=2，

此时2x−π6=2kπ+π2，k∈Z，

得x=kπ+π【解析】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、最值以及单调性，属于基础题．

(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数f(x)的最小正周期．

(2)根据正弦函数的最值求得函数的最大值及取得最大值时自变量x的取值集合．

(3)利用正弦函数的单调性求得函数的单调递减区间．10.【答案】解：(1)由图以及B,D两点的纵坐标可知：a=20−12=8，T4=12，可得：则ω=2π由题意知C、D关于直线l:x=34对称，则C的坐标为(24,12)，

则π24×24+φ=3π又0<φ<π，所以k=0，φ=π所以ABC段的函数表达式为y=fx=8(2)由题意结合对称性可知：DEF段的函数解析式为：y=8cosπ24(3)由8cosπ2468−x+20=24所以买入60−44=16天后，股票至少是买入价的两倍．

【解析】本题考查三角函数在实际生活中的应用，由部分图像求三角函数解析式，属于中档题．

(1)由已知图中B,D两点的坐标求得a与T，进而可得ω的值，再由五点法作图的第三个点求解φ，即可得函数的解析式，并求得x的范围；(2)由对称性求解DEF段的函数表达式，以及x的取值范围；(3)由8cosπ2468−x+20=24【拓展提升】1.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了扇形面积，勾股定理，考查了运算求解能力，属于基础题．

根据题意先求出半径r=OA=4，∠AOB=π2，再根据面积公式即可求出．

【解答】

解：设半径为r，则OD=OC−CD=r−4+22，

∵AB=42，

∴AD=22，

∴OD2=OA2−AD2，

即(r−

4+22)

 2=r

 ​22.【答案】B

【解析】【分析】本题考查余弦函数的图象，正切函数的图象，利用同角三角函数基本关系化简，定比分点坐标公式、中点坐标公式，属于中档题．

先求出A、B的坐标，根据线段AB中点的坐标为(π2,0)【解答】

解：由题意有2cosx=tanx，有2cosx=sinxcosx，

有2(1−sin2x)=sinx，解得sinx=22，或sinx=−2(舍去)，

由x∈(0,π)可得x=π4或3π4，

则点A的坐标为(π3.【答案】ABD

【解析】【分析】本题重点考查函数的最值，属于较难题．

令cosx=t(−1≤t≤1)，g(t)=−(t−a)2【解答】

解：令f(x)=y=sin2x+2acos x+a2+1

f(x)=sin2x+2acosx+a2+1

=1−cos2x+2acosx+a2+1

=−(cosx−a)2+2a2+2

当x∈R时，−1≤cosx≤1，

令cosx=t(−1≤t≤1)

则g(t)=−(t−a)2+2a2+2

 ①当a≤−1时，f(x)max=g(−1)=a2−2a+1，

f(x)min=g(1)=a2+2a+1

则有a2−2a+1=4(a2+2a+1)，解得a=−3或a=−13(舍去)

 ②当a≥1时，f(x)max=g(1)=a4.【答案】BCD

【解析】【分析】本题考查函数的新定义问题，三角函数的图象与性质，三角恒等变换的综合应用，属于中档题．A选项，化简出f(x)=B选项，化简得tan x=2C选项，由题可得g(x)=−(sin x+cosD选项，ℎ(x)=2sin2x+sin x【解答】解：对于A选项，f(x)=1−cos x−(1−令x−π4=kπ，解得x=π4+kπ,k∈Z，对于B选项，versin x−1coversx−1=1−故covers2x−versin 2x+1=2cos2对于C选项，g(x)=(1−cos x)⋅(1−sin令t=sin则g(t)=−t+t故gt开口向上，且对称轴为t=1，所以当t=−2时，取到最大值，此时g(x)=对于D选项，ℎ(x)=1−cos 2x−(1−sin因为ℎ(α)=1，所以2sin2α+sin因为0<α<π2，所以sin α=12故选：BCD．5.【答案】②③

【解析】【分析】本题考查函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决．

画出函数图像，可判断①②，对于③，转化为y=−b与y=f(x)在x∈0,9π8上交点问题，数形结合得到5个根的对称性，从而得到答案；对于④，x∈−π6,0时，f(x)=|cos2x|+1【解答】解