北师大版数学高二学案 数列的函数特性

1.1.2数列的函数特性

学习目标1.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数，了解数列的图像表示

法（重点）；2.理解数列的单调性的概念及其判断（难点）.

I课前覆习自，.学习，积沱基批

预习教材P6—8,完成下列问题:

知识点一数列的函数性质

数列可以看成以正整数集N—（或它的有限子集｛1,2,…，山）为定义域的函数

a“="h当自变量按照丛小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.

【预习评价】（正确的打“J”，错误的打“X”）

2345

列--

一…的通项公式是〃〃=二.（X）

中6

3,5*n~r1

（2）数列的图像是一群孤立的点.（J）

（3）数列1,—1,1,—1,…与数列一1,1,一1,1,…是同一数列.（X）

知识点二数列的增减性

在数列｛〃“｝中，若则翅”是递增数歹U；若则数”为递减数歹U；

若an+1=，则｛an］为常数列.

【预习评价】

1.已知〃“+i—3=0,则数列｛〃〃｝是（）

A.递增数列B.递减数列

C.摆动数列D.常数列

答案A

2.下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（）

ii1...

cA・192，3，4，

B.-1,2,-3,4,…

^,111

J-2，498，

D.1,也，小，…，\71

答案C

I课堂互动I题型剖析，互动探究

题型一数列的图像

【例1】在数列｛“1｝中，4〃=/一8〃.

⑴画出｛〃〃｝的图像；

(2)根据图像写出数列｛八｝的增减性.

解⑴列表

n123456789•••

•••

atl-7-12-15-16-15-12-709

描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列｛z｝的图像：(1,-7),(2,

-12),(3,-15),(4,-16),(5,-15),(6,-12),(7,-7),(8,0),(9,

9),…，图像如图所示.

(2)当1<〃W4(〃£N+)时，数列｛〃〃｝为递减数列；当〃>4(〃£N+)时，数列伍〃｝为递

增数列.

规律方法数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来表示，以位置序号n

为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(〃，m)描点画图，就可以得到数列的图

像.因为它的定义域是正整数集N+(或它的有限子集｛1,2,3,…，，z｝),所以其

图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的.

2

【训练1】已知数列｛〃｝的通项公式为小=芯百，画出它的图像，并判断增、

减性.

解图像如图所示，该数列在｛1,2,3,4)上是递减的，在｛5,6,…｝上也是递

减的.

2

O

题型二判断数列的增减性

『的增减性.

【例2】判断数列3〃+1

解..•如=3〃+1'

〃+1〃+1

•*a，l+1=3(〃+1)+1=3〃+4'

、土〃+1〃

法―。“+1_。"一/工7_藐匚［

(〃+1)(3〃+1)—〃(3/7+4)

(3〃+4)(3〃+1)

1

(3〃+4)(3力+1)'

n

为递增数列.

•「〃£N+,。〃>0,即，数列’3〃+1

法二・.・〃£N+,••・以>().

〃+1

..。〃+13〃+4(〃+1)(3〃+1)3层+4〃+1

=l>Chl

an〃(3〃+4)n3序+4〃1+3〃2+4〃>1'**+"

3〃+1

n

.•・数列为递增数列.

3〃+1

x

法三令兀丫）=(Q1),则

3x4-1

l（3x+11

抬尸社』-3x+lJ,

，函数段）在［1,+8）上是增函数,

几

，数列是递增数列.

3〃+1

规律方法数列增减性的判断方法

(I)如果知道数列的图像，可直接从图像是上升还是下降来判断数列的增减性；

(2)若已知数列的通项公式诙=A〃)，则常用作差比较法或作商比较法比较4〃+1与

an的大小；

(作商时，要注意“<()还是%>();对通项是多项式的数列常作差进行因式分解，

对通项含有根式的数列，常进行分子或分母有理叱)

(3)通过考察函数y=/U)(x21)的单调性来判定数列的增减性.

【训练2]已知数列伍〃｝的通项公式为an=(^j\判断此数列的单调性.

解法一因为。所以知+|一。“=@)”+1-(号”=一(3"+1<(),

所以数列｛〃〃｝是递减数列.

法二因为函数次幻=七『在R上单调递减，所以数列仅“｝是递减数列.

典例

迁移

【例3】己知数列｛0?｝的通项。〃=(〃+1)$)(〃£N+),试问数列｛〃〃｝有没有最

大顶？若有，求最大顶和最大顶的顶数；若没有，说明理由.

Un-1Wein,

解设。〃为最大项，则、即

4〃泊〃+1

解得9W〃W10.

+1

(«+1)用“2(〃+2)ioy

又〃£N

<1()\9[Qi。

••・〃=9或〃=10.・••该数列中有最大项，为第9.10项，且〃9=mo=lOX[j]J=-j-p.

【迁移11将例题中的'％“=(〃+1)(帝””换为"a“=—2川+9〃+3”如何求

｛m｝中的最大项.

解由a〃=—2〃2+9〃+3=—2（〃-2+半.

•・•〃为正整数，

，当〃=2时，所取得最大值，6/2=-2X22+9X2+3=13.

即数列｛-2层+9〃+3｝的最大项为“2=13.

【迁移2】若将例3中小的通项公式变为“以〃=肃石”写出数列｛小｝的前5项

并求出数列｛〃〃｝的最大项.

ft?当〃=］,2、394,5依为］0，［3，不，25'34'a〃=~］］~3~|Q

n__________—"一―+9_____

一〃?+9=［（九+1）2+9］（后+9）.

;函数/U）=—f—x+9=一（1+3+平在u，+8）上单调递减，

又川）=7>0,m）=3>0,火3）<（）,

「・当〃=1,2时,an+i>an,当〃23,〃£N+时，an+\<an,即。1<。2<〃3>。4>。5>….

••・数列｛m｝的前3项是递增的，从第3项往后是递减的.

，数列｛〃”｝的最大项为

规律方法求数列的最值常用的方法

（1）根据数列的单调性求最值；

Qn^Cln-\（

⑵设第〃项〃〃最大（或最小），则彳或T.从而确定出哪一项为数列

an^an+\\

的最值.

I课堂反馈自土反馈，吟湖成效

课堂达标

1.己知外=3”一2,则数列｛3｝的图像是（）

A.一条直线B.一条抛物线

C.一个圆D.一群孤立的点

解析・・・。〃=3〃-2,“£N+,・•・数列｛〃”｝的图像是一群孤立的点.

答案D

2.在数列｛〃“｝中,an=n,则｛。〃｝是()

A.递增数列B.递减数列

C常数列D.以上都不是

解析VCln+1—。〃=(〃+1)—〃=1>0,

・.・数列｛小｝是递增数列.

答案A

3.数列｛4〃｝中，若笛=1,Xn+\=—1，则X2017等于_______.

Xn\1

解析VX1=1,/.X2=—/.X3=l,

，数列｛初｝的周期为2,.•・X2O17=#=1.

答案1

4.已知递增数列伍〃｝的通项公式为m=2如+1.则实数k的取值范围是.

解析・・・｛〃〃｝单调递增，

.**an+\~a=n[2k(n+1)+1]—(2%+l)=2Q0,

：.k>0.

答案(0,+8)

5.已知数列｛〃”｝中,〃〃=层一版(〃£N+)且｛m｝递增，求实数女的取值范围.

解因为。”+1=(〃+I)?—%(〃+1),an=ir—kn,

所以如+i—〃〃=(〃+1)2—4(〃+1)—