2026年高考总复习优化设计一轮复习数学（福建版）-11.4　离散型随机变量的数字特征

11.4

离散型随机变量的数字特征第十一章2026高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI内容索引0102第一环节必备知识落实第二环节关键能力形成第一环节必备知识落实【知识筛查】

1.离散型随机变量的均值一般地,若离散型随机变量X的分布列如表所示,温馨提示均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平.2.离散型随机变量的方差设离散型随机变量X的分布列如表所示.考虑X的所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1-E(X))2,(x2-E(X))2,…,(xn-E(X))2.因为X取每个值的概率不尽相同,所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均,来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度.我们称温馨提示随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.问题思考随机变量的均值、方差与样本的均值、方差有怎样的关系?随机变量的均值、方差是一个常数,而样本均值、方差是随机变量,随着观测次数的增加或样本量的增加,样本的均值、方差趋于随机变量的均值、方差.3.离散型随机变量的均值与方差的性质(1)E(aX+b)=aE(X)+b.(2)D(aX+b)=a2D(X).1.如果X1,X2相互独立,那么E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).2.E(X+Y)=E(X)+E(Y).3.均值与方差的关系:D(X)=E(X2)-E2(X).【知识巩固】

1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)均值是算术平均数概念的推广,与概率无关.(

)(2)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.(

)(3)离散型随机变量的方差越大,随机变量越稳定.(

)(4)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离均值的平均程度.(

)×××√×DBC4.已知X的分布列为

设Y=2X+3,则E(Y)的值为

.

5.在一个不透明的袋中放入四种不同颜色的球,每种颜色的球各2个,这些球除颜色外完全相同.现玩一种游戏:游戏参与者从袋中一次性随机抽取4个球,若抽出的4个球恰含两种颜色,则获得2元奖金;若抽出的4个球恰含四种颜色,则获得1元奖金;其他情况游戏参与者需交费1元.设某人参加一次这种游戏的收益为X,则E(X)=

.

第二环节关键能力形成能力形成点1离散型随机变量的均值与方差例1

已知随机变量X的分布列为

(1)求X2的分布列;(2)求X的方差;(3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.解题心得1.求离散型随机变量X的均值与方差的步骤(1)写出X的全部可能取值.(2)求X取每个值的概率.(3)写出X的分布列.(4)由均值的定义求E(X).(5)由方差的定义求D(X).2.注意均值、方差性质的应用:若随机变量X的均值为E(X),方差为D(X),则随机变量aX+b的均值为aE(X)+b,方差为a2D(X).对点训练1(多选)已知离散型随机变量X的分布列为若离散型随机变量Y=-3X+1,且E(X)=3,则(

)A.m=0.1

B.n=0.1

C.E(Y)=-8 D.D(Y)=-7.8BC由E(X)=m+0.2+0.6+4n+1.5=3,得m+4n=0.7,由m+0.1+0.2+n+0.3=1,得m+n=0.4,从而解得m=0.3,n=0.1,故A错误,B正确.E(Y)=-3E(X)+1=-8,故C正确.因为D(X)=0.3×(1-3)2+0.1×(2-3)2+0.2×(3-3)2+0.1×(4-3)2+0.3×(5-3)2=2.6,所以D(Y)=(-3)2D(X)=23.4,故D错误.X12345Pm0.10.2n0.3能力形成点2离散型随机变量的均值与方差的应用例2

根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如表所示:历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求:(1)工期延误天数Y的均值与方差;(2)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.解

(1)由已知条件和概率的加法公式,得P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2,P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.所以Y的分布列为所以E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3,D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.(2)由概率的加法公式,得P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7,P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6,则P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)解题心得在实际问题中求离散型随机变量的均值与方差,要先根据实际情境,理解随机变量的含义,进而写出随机变量的所有可能取值,再求出随