2025年四川省巴中市自主招生数学试题（学生版+解析版）

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()2.解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是()3.如图是6个相同正方形搭成的几何体，将标有①②③④⑤的五个正方体随机拿掉1个，比较前后两个几何体，左视图不改变的概率是()4.若a=2022²,b=2021×2023,则下列式子成立的是()A.a=b-1B.a=bC.a=b+1D.a=b+25.已知三个实数a,b,c满足4a+2b+c=0,4a-2b+c>0,)A.b>0,b²-4ac≤0B.b<0,b²-4ac≤0C.b>0,b²-4ac≥0D.b<0,b²-4ac≥06.如图，点A的坐标为(-1,0),点B在直线y=2x-4上，当线段AB最短时，点B的坐标是()7.如图，○0是边长为3√3的等边三角形ABC的外接圆，点D是BC的中点，连接BD,CD.以点D为圆心，BD的长为半径在○0内画弧，则阴影部分的面积为()A.B.3π②若2M+N的值与x的取值无关，则a=-1,b=-4;③当a=2,b为整数时，若关于x的方程M-N=6的④当a=b=1时，当|2M-N+2+|2M-N-1|>7时，x的取值范围是x>3.其中正确的有()9.我们知道一元二次方程a₂x²+a₁x+达定理，那么类比推理过程，在一个一元三次方程-2x³+4x²+3x+a=0,则下列关于此一元三次方程的根的式子不正确的是()10.如图，AB,AF分别与圆O相切于点B,F,射线BO与AF的延长线相交于点C,与圆O相交于点E,连接EF和BF,若EF=2,则圆O的半径是()11.如图，反比例函数的图象经过A(2,12),B(6,b)两点，直线AB与x轴相交于点C,D是线段OA上一点.连接CD,记△ADC,△DOC的面积分别为S₁,S₂,若,且,则S₁-S₂的值为()A.18B.1712.如果A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)都在二次函数y=x²-2tx+3(t>0)图象上，且a<b<3.则m的取值范围()A.3<m<4B.3<m<4或m>6C.m>6D.m<4或m>6二、填空题(共6题，每小题4分，共24分)13.已知一次函数y=(k-1)x-2,y随x的增大而减小，那么k的取值范围是.14.广州塔是中国第一高电视塔，俗称“小蛮腰”,享有“世界第二高电视塔”的美誉.在一次综合实践活动中，如图，某数学小组用无人机在离塔中心D一定距离的B处测得塔顶C的仰角为60°,再将无人机垂直上升到离点B距离为(600-200√3)米的点A处，此时测得塔顶点C的仰角为45°,则测得小蛮腰的高度约为米.CC(600-200√3)米BD15.已知X₁,x₂是方程x²-3x+2=0的两个根，则x(x-2x₂)+x₂²的值为16.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A,C分别在x轴，y轴上，且OA=4,反比例函数的图像与正方形OABC的两边AB、BC分别相交于M、N两点，且OMN的面积为3.5,若动点P在x轴上，则PM+PN取最小值时，点P的坐标为_·17.新定义：我们把抛物线y=-ax²-bx+c,(其中a≠0)与抛物线y=ax²+bx+c称为“孪生抛物线”,例如：抛物线y=-x²-5x+3的“孪生抛物线”为y=x²+5x+3.已知抛物线C₁:y=-ax²-2ax+a+4(a为常数，且a<0)的“孪生抛物线”为C₂.抛物线C₂的顶点为A,与x轴交于B,C两点，若VABC为直角三角形，则抛物线C₁的表达式为_·18.新高考数学试卷共有3道多项选择题，每题有A,B,C,D,4个选项，每题正确选项有2个或3个.得分规则如下：每道题满分为6分，全部选对得满分，有错选或者不选得0分，答案选项为2个的，只选一个正确选项得3分，答案选项为3个的，每选一个正确选项得2分.现甲，乙，丙，丁四位同学的作答和总得分情况如下表，则丁同学的总得分情况可能为甲乙丙丁A10题11题919.(1)计算：20.为弘扬国学文化，某校开展了国学知识讲座.为了解学生的学习情况，在七、八年级各抽取了50名学生进行了国学知识测试，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图.七年级抽取的学生成绩条形统计图八年级抽取的学生成绩扇形统计图10分10分9分8分6分7分(1)求抽取的八年级学生中测试成绩为10分的人数；(2)请确定下表中a、b、C,m的值：统计量平均数众数中位数方差级88Cm级ab8(3)从上表中选择合适的统计量，说明哪个年级的成绩更稳定.21.综合与实践数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动.【探索发现】旋转90得到线段AG,连接DG,可证得△ABF≌△ADG.请写出证明过程.深入思考】系，并证明你的猜想.22.某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图1所示，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中.图2是其截面图，已知绿道路面宽OA=3.5米，河道坝高AE=5米，坝面AB的坡比为i=1:0.5(即i=tan∠ABE),当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离达轴，建立平面直角坐标系，解决问题：(1)求水柱所在抛物线的解析式；(2)出于安全考虑，在河道的坝边A处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由；(3)河水离地平面AD距离为多少米时，刚好使水柱落在坝面截线AB与水面截线的交点处?图1图2图3(1)若∠MON=40°,则∠ABD=_°;(2)如图2,若BO=BD,点D在OP的延长线上，求证：ON是◎P的切24.如图所示，二次函数y=ax²+2x+c图象的对称轴为直线x=2,顶点为A,与y轴相交于点B,且经过点C(4,2),直线l:与y轴交于点D,P为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m,连接PA,过点P作直线PM//y轴，与直线l交于点M.(1)求二次函数的表达式；(2)如图1,过点P作PQ⊥1,垂足为Q,连接AM,当△PMQ与△PMA面积相等时，求m的值；(3)如图2,当0<m<2时，连接OC,直线MP与OC相交于点N,连接BN,求AM+BN的最小值并直接写出此时m的值.②余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA,b²=a²+c²-2accosB,c²=,其中SABC表示VABC面积.(1)在锐角VABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边，若b=3,a+c=4,2bsinA=√3a,求∠B的大小及VABC的面积.(2)在四边形ABCD中，,CD=6sin∠DAC,求BD的最大值.2025年四川省巴中市自主招生数学试题(时间：120分钟满分：150分，其中附加题20分)1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()【答案】D【解析】【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键.B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；【答案】A【解析】【分析】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键.先分别算出每个不等式组的解集，再取它们公共部分的解集，然后再在数轴上表示出来，即可作答.∴解不等式①,得x<2,解不等式②,得x≤-3,在数轴上表示如图所示.故选A.3.如图是6个相同的正方形搭成的几何体，将标有①②③④⑤的五个正方体随机拿掉1个，比较前后两个几何体，左视图不改变的概率是()正面【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图、概率的定义等知识点，掌握从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图成为解题的关键.根据三视图的定义以及概率的定义即可解答.【详解】解：去掉①的小正方体，左视图改变；去掉②~⑤的小正方体中的一个，左视图不变，则左视图不发生改变的概率是4.若a=2022²,b=2021×2023,则下列式子成立的是()A.a=b-1B.a=bC.a=b+1D.a=b+2【解析】【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.根据b=2021×2023=(2022-1)×(2022+1)=2022²-1,再判断a、b的关系即可.故选：C.5.已知三个实数a,b,c满足4a+2b+c=0,4a-2b+c>0,)A.b>0,b²-4ac≤0B.b<0,b²-4ac≤0C.b>0,b²-4ac≥0D.b<0,b²-4ac≥0【解析】【分析】本题考查了不等式的性质，等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键.将4a+2b+c=0整理得到4a+c=-2b,代入4a-2b+c>0,即可判断b<0,再将代入b²-4ac即可进行解答.详解】解：∵4a+2b+c=0,6.如图，点A的坐标为(-1,0),点B在直线y=2x-4上，当线段AB最短时，点B的坐标是()【解析】【分析】本题考查了求一次函数解析式，垂线段最短，求两个一次函数的交点坐标及勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键.AB'⊥CD于B',AB′为AB的最小值，先求出点C、D坐标，设E(0,a),利用勾股定理可求出a=1,利用待定系数法求出直线CE解析式为根据CE||AB′可设直线AB'解析式为,代入A(-1,0)求出b₁的值，与CD的解析式组成方程组，求出其交点坐标即可得答案.【详解】解：如图，设直线y=2x-4与x轴、y轴分别交于C、D,过点C作CE⊥CD,交y轴于E,过点A作AB'⊥CD于B',根据垂线段最短的性质，得当线段AB最短时，点B与点B'重合，此时AB'⊥BD,设E(0,a),则CE²=a²+2²设CE解析式为y=kx+b,∴设AB'解析式为∴直线AB′的函数解析式为联立两直线解析式组成方程组得·,,7.如图，O是边长为3√3的等边三角形ABC的外接圆，点D是BC的中点，连接BD,CD.以点D为圆心，BD的长为半径在◎0内画弧，则阴影部分的面积为()A.B.3π【解析】【详解】解：∵○0是边长为3√3的等边三角形ABC的外接圆，点D是BC的中点，作DE⊥BC,则：故选B.8.已知M=ax²-2x+3,N=2x²-bx-1,则下列说法：②若2M+N的值与x的取值无关，则a=-1,b=-4;③当a=2,b为整数时，若关于x的方程M-N④当a=b=1时，当|2M-N+2+|2M-N-1|>7时，x的取值范围是x>3.其中正确的有()【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了多项式的加减混合运算，解一元一次不等式等知识，绝对值的性质，掌握多项式的加减混合运算以及分类讨论的思想是解答本题的关键.①将a=2和b=2代入进行多项式的加减混合运算即可；②将M和N代入2M+N作整式的混合运算，再取对应系数为零即可；③将a=2代入M,再结合关于x的方程M-N=6解得为整数，则b-2=±1或b-2=±2,解得b即可；④将a=b=1代入M和N求得2M+N=-3x+7,分情况讨论求解即可.【详解】解：①若a=2,b=2,则M-N=2x²-2x+3-(2x²-2x-1)=2x²-2x+3-2x²+2x+1=4,故①正确；∴M-N=2x²-2x+3-(2x²-bx-1)=6,,解得.∵关于x的方程M-N=6的④当a=b=1,即：2M-N=2x²-4x+6-(2x²-x-1)=-3x+7,当x>3时，或综上所述，|2M-N+2+|2M-N-1|>7或【解析】ax³-a'(x₁+x₂+x₃)x²+a(xx₂+xx+x₂x₃)x-ax₁x₂x₃=0,则可得b=-a'(x+x₂+x₃),c=a(x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃),d=-a'x₁x₂x₃,据此可得答案.对比可得，b=-a'(x₁+x₂+x₃),c=a'(xx₂+xx₃+x₂x3),d=-a'10.如图，AB,AF分别与圆0相切于点B,F,射线BO与AF的延长线相交于点C,与圆O相交于点E,连接EF和BF,若EF=2,则圆O的半径是()A.√5B.2D.【答案】A【解析】切线长定理及切线的性质得AB=AF,OB⊥AB,OF⊥AC,股定理求出BE即可求解，掌握以上知识点是解题的关键.【详解】解：连接OF,即故选：A.的图象经过A(2,12),B(6,b)两点，直线AB与x轴相交于点C,D是线段OA上一点.连接CD,记△ADC,△DOC的面积分别为S₁,S₂,若,且,则S₁-S₂的值为()【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数相结合、相似三角形的判定与性质、两点间的距离公式等知识点，熟练掌握各函数的性质并通过坐标求出三角形的面积成为解题的关键.BD//OC,即D点纵坐标为4,易得S₂=16,再根据可得S₁=32,最后作差即可解答.,解得，如图：连接BD,即即∴BD//OC,∴D点纵坐标为4,解得：S₁=32,12.如果A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)都在二次函数y=x²-2tx+3(t>0)的图象上，且a<b<3.则m的取值范围()A.3<m<4B.3<m<4或m>6C.m>6D.m【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标由t>0可知m-1>0,求得m>1,即可判断点A(m-2,a)在对称轴的左侧，点C(m,a)在对称轴的右侧，分两种情况讨论，得出关于m的不等式(组),即可求得a的取值范围.根据题意得出关于m的不等式(组)是解题的关键.【详解】解：点A(m-2,a),点B(4,b),点C(m,a)都在二次函数y=x²-2tx+3(t>0)的图象上，二点(0,3)和(2m-2,3)也在二次函数y=x²-2tx+3(t>0)的图象上，【答案】600二点A(m-2,a)在对称轴的左侧，点C(m,a)在对称轴的右侧，∴x<m-1时，y随x的增大而减小，x>m-1,y时随x的增∴当B在对称轴的左侧时，则有m-2>4,解得m>6,解得3<m<4.故a的取值范围为3<m<4或m>6.故选B.13.已知一次函数y=(k-1)x-2,,y随x的增大而减小，那么k的取值范围是【解析】【分析】本题考查了一次函数的性质，属于基本题型，熟练掌握一次函数的性质是解题关键.一次函数y=kx+b(k≠0),当k<0时，y随x的增大而减小.据此列式解答即可.【详解】解：∵一次函数y=(k-1)x-2,y随x的增大而减小，故答案为：k<114.广州塔是中国第一高电视塔，俗称“小蛮腰”,享有“世界第二高电视塔”的美誉.在一次综合实践活动中，如图，某数学小组用无人机在离塔中心D一定距离的B处测得塔顶C的仰角为60°,再将无人机垂直上升到离点B距离为(600-200√3)米的点A处，此时测得塔顶点C的仰角为45°,则测得小蛮腰的地面【答案】1【解析】AB=DE=(600-200√3)米，设BD=x米，则AE=BD=x米，证明△ACE为等腰直角三角形，设DE=CD-CE=√3x-x=600-200√3,解方程即可.【详解】解：如图，过点A作AE⊥CD于点E.地面15.已知x₁,x₂是方程x²-3x+2=0的两个根，则x(x-2x₂)+x₂²的值为.【解析】【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，将所求代数式恒等变形为两根之和与两根之积的形式是解决问题的关键.根据根与系数的关系得到,代值求解即可.【详解】解：∵方程x²-3x+2=0的两个根分别是X₁,x₂,∴根据根与系数的关系可得故答案为：1.16.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A,C分别在x轴，y轴上，且OA=4,反比例函数(k≠0,x>0))的图像与正方形OABC的两边AB、BC分别相交于M、N两点，且△OMN的面积为3.5,若动点P在x轴上，则PM+PN取最小值时，点P的坐标为.【答案】【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数的图象与性质，轴对称的性质，先求得再列出方程求得k的值，可求出点M、N的坐标，作点M关于x轴的对称点M',连接MN交x轴于点P,连接PM,此时PM+PN最小，设直线MN的表达式为y=kx+b,将点M'、N的坐标代入即可求出其表示，直线MN与x轴的交点即可求得点P的坐标.【详解】解：正方形OABC中，OA=AB=BC=4,∴点M的横坐标和点N的纵坐标都是4,解得：k=12(负值舍去),如图，作点M关于x轴的对称点M',连接MN交x轴于点P,连接PM,此时PM+PN最小，∵点M关于x轴的对称点M',设直线MN的表达式为y=kx+b,∴直线MN的表达式为y=-7x+25,令y=0,则∴点P的坐标为17.新定义：我们把抛物线y=-ax²-bx+c,(其中a≠0)与抛物线y=ax²+bx+c称为“孪生抛物线”,例如：抛物线y=-x²-5x+3的“孪生抛物线”为y=x²+5x+3.已知抛物线C₁:y=-ax²-2ax+a+4(a为常数，且a<0)的“孪生抛物线”为C₂.抛物线C₂的顶点为A,与x轴交于B,C两点，若VABC为直角三角形，则抛物线C₁的表达式为_·【答案】【解析】【分析】本题考查二次函数中的新定义问题.理解新定义的意义是解决本题的关键.先求出抛物线C₂为y=ax²+2ax+a+4,可得A(-1,4),设B(x,0),C(x₂,0),得出x₁+x₂=-2,,从而求得【详解】解：∵抛物线C₁:y=-ax²-2ax+a+4(a为常数，且a<0)的“孪生抛物线”为C₂,∴抛物线C₂为y=ax²+2ax+a+4,设B(x,0),C(x₂,0),令y=0,则ax²+2ax+a+4=0,由抛物线的对称性得AB=AC故答案为：得分情况如下表，则丁同学的总得分情况可能为甲乙丙丁9题A10题11题9【解析】对，另一题有错选，假设第11题正确答案为CD,则甲、丙第11题均不得分，此时甲、丙的得分不可能都是10分，故不满足综上可得：丁的得分为0或12.故答案为：0或12.19.(1)计算：(2)先化简，再求代数式的值：;其中【答案】(1)√2+1;(2)【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键.(1)先计算算术平方根、特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂、零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可得解；(2)括号内先通分，再将除法转化为乘法约分即可化简，最后代入x的值计算即可得解.【详解】解：(1)20.为弘扬国学文化，某校开展了国学知识讲座.为了解学生的学习情况，在七、八年级各抽取了50名学生进行了国学知识测试，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图.七年级抽取的学生成绩条形统计图八年级抽取的学生成绩扇形统计图10分10分9分8分6分7分(1)求抽取的八年级学生中测试成绩为10分的人数；(2)请确定下表中a、b、C,m的值：统计量平均数众数中位数方差级88Cm级ab8直接写出：a=,b=,C=(3)从上表中选择合适的统计量，说明哪个年级的成绩更稳定.【答案】(1)6(2)8,9,8,1.16(3)七年级的成绩更稳定，理由见解析【解析】【分析】本题考查条形统计图、扇形的统计图，加权平均数、众数、中位数和方差的求解，(1)先根据扇形统计图求出测试成绩为10分的人数所占的百分比，再乘以50即可；(2)根据加权平均数、众数、中位数和方差的定义即可求解；(3)结合方差的意义即可作出判断；掌握统计图中各个数量之间的关系是正确解答的前提.【小问1详解】解：∵测试成绩为10分的人数所占的百分比：1-14%-24%-22%-28%=12%,∴50×12%=6(人),∴抽取的八年级学生中测试成绩为10分的人数为6人；【小问2详解】∵八年级学生中测试成绩为6分的人数为：50×14%=7(人),测试成绩为7分的人数为：50×24%=12(人),测试成绩为8分的人数为：50×22%=11(人),测试成绩为9分的人数为：50×28%=14(人),测试成绩为9分的人数最多，∴众数是9,∵七年级抽取的学生测试成绩排在第25、26名的成绩都是8分，【小问3详解】七年级抽取的学生测试成绩方差为1.16,八年级抽取的学生测试成绩方差为1.56,且1.16<1.56,∴七年级的成绩更稳定.21.综合与实践数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动.【探索发现】旋转90得到线段AG,连接DG,可证得△ABF≌△ADG.请写出证明过程.【深入思考】(2)在(1)的条件下，如图②,延长BE,GD交于点H,试猜想线段BF,FH,DH之间的数量关系，并证明你的猜想.【答案】(1)证明见解析(2)FH=BF+DH,证明见解析【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，对于(1),根据正方形的性质可得AB=AD,∠BAD=90°,再根据旋转的性质得AF=AG,∠FAG=90°,对于(2),先说明四边形AFHG是正方形，可得FH=GH=DG+DH,进而得出答案.【详解】(1)解：∵四边形ABCD是正方形，根据旋转的性质得AF=AG,∠FAG=90°,(2)FH=BF+DH.22.某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图1所示，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中.图2是其截面图，已知绿道路面宽OA=3.5米，河道坝高AE=5米，坝面AB的坡比为i=1:0.5(即i=tan∠ABE),当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离达最大值，其最大值为3米.以0为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，解决问题：图1图2(1)求水柱所在抛物线的解析式；(2)出于安全考虑，在河道的坝边A处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护(3)河水离地平面AD距离为多少米时，刚好使水柱落在坝面截线AB与水面截线的交点处?【答案】(1)(2)不能，理由见解析【解析】解题的关键.(1)根据题意可得，抛物线的顶点坐标为(2,3),且过0(0,0),设抛物线解析式为y=a(x-2)²+3(a≠0),(2)根据题意，当x=3.5时，(米),再与护栏高度进行比较，即可求解；(3)根据坡比得到BE=2.5(米),则点B到原点O的水平距离为3.5+2.5=6(米),即B(6,-5),且A(3.5,0),可求出直线AB的解析式为y₁=-2x+7(3.5≤x≤6),联立方程得由此求解即可.【小问1详解】解：当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米，∴抛物线的顶点坐标为(2,3),设抛物线解析式为y=a(x-2)²+3(a≠0),把点0(0,0)代入得，a(0-2)²+3=0,【小问2详解】【小问3详解】解：∵河道坝高AE=5米，坝面AB的坡比为i=1:0.5(其中i=tan∠ABE),则点B与原点O的水平距离为3.5+2.5=6,二点B的坐标为(6,-5),又∵点A的坐标为(3.5,0),设AB的解析式为y₁=kx+b(k≠0),解得x₁=2(不合题意，舍去),即河水离地平面AD距离为米时，水柱刚好落在水面上.23.如图1,在锐角∠MON内找一点A,过点A作AB⊥OM于点B,以AB为直径作◎P,过点A作图1图3(1)若∠MON=40°,则∠ABD:°;(2)如图2,若BO=BD,点D在OP的延长线上，求证：ON是◎P的切线；【答案】(1)50(2)见解析【解析】即可得出结果；(2)连接OD,证明OP于点H,过点B作BR⊥ON于点R,可得四边形CDBR是矩形；设AH